1、第7讲 等腰三角形中的分类讨论【知识点睛】v 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形；v 没有明确指明角是顶角或底角时，也要进行分类讨论设等腰三角形中有一个角为时对应结论当为顶角时底角=当为直角或钝角时不需要分类讨论，该角必为顶角当为锐角时可以为顶角；也可以为底角当等腰三角形的一个外角为时对应结论若为锐角、直角必为顶角的外角若为钝角可以是顶角的外角，也可以是底角的外角v 动态环境下的等腰三角形存在性问题【类题训练】1ABC中，ABAC，一腰上的中线BD把三角形的周长分为9cm和12cm两部分，则此三角形的腰长是 8cm或6c
2、m【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12厘米和18厘米两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是9cm，哪个是12cm，因此，有两种情况，需要分类讨论【解答】解：根据题意画出图形，如图，设等腰三角形的腰长ABAC2x，BCy，BD是腰上的中线，ADDCx，若AB+AD的长为12，则2x+x12，解得x4cm，则x+y9，即4+y9，解得y5cm；若AB+AD的长为9，则2x+x9，解得x3cm，则x+y12，即3+y12，解得y9cm；所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm故答案为：8cm或6cm2（1）等腰三角形中有一个角是70，则它的顶角是70或40（2）等腰三
3、角形中有一个角是100，则它的另两个角是40，40（3）等腰三角形的一个内角为70，它一腰上的高与底边所夹的度数为35或20【分析】（1）等腰三角形一内角为70，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况（2）由于等腰三角形的两底角相等，所以100的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角（3）题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解【解答】解：（1）当70角为顶角，顶角度数即为70；当70为底角时，顶角18027040（2）等腰三角形的两底角相等两底角的和为18010080两个底角分别为40，40（3）当A70时，则ABCC55，因为BDAC，所以DBC90553
4、5；当C70时，因为BDAC，所以DBC907020故答案为：70或40；40，40；35或203如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是 9cm或cm【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为xcm，则底边长为（192x）cm，再根据两个三角形的周长差是4cm求出x的值即可【解答】解：如图所示，等腰ABC中，ABAC，点D为AC的中点，设ABACxcm，点D为AC的中点，ADCD，BC25（AB+AC）352x，当ABD的周长大于BCD的周长时，AB+AD+BD（BC+CD+BD）4，即x+（352x）4，解得x13
5、，底边长为351329（cm）；当BCD的周长大于ABD的周长时，则BC+CD+BD（AB+AD+BD）4，即352x+（x+）4，解得x，底边长为352（cm）综上所述，这个等腰三角形的底边长为9cm或cm故答案为：9cm或cm4已知ABC中，CACB，ADBC于D，CAD50，则B70或20【分析】利用直角三角形两锐角互余可求得C，再利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求得B【解答】解：若ACB是锐角三角形，如图1ADBC，CAD50，C90CAD905040，CACB，BCAB，且2B+C180，B70，若ACB是钝角三角形，如图2ADBC，CAD50，DCA90CAD905040，
6、CACB，BCAB，且DCAB+CABB20故答案为：70或205如图，已知RtABC中，C90，A30，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A5个B6个C7个D8个【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BAAP；第2个点在CB延长线上，取一点P，使ABPB；第3个点在AC延长线上，取一点P，使ABPB；第4个点在BC延长线上，取一点P，使ABPA；第5个点在AC延长线上，取一点P，使ABAP；第6个点在AC上，取一点P，使PBAPAB；符合条件的点P有6个点故选：B6用一根长为21厘米
7、的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（）A5B6C7D8【分析】设等腰三角形的腰为x，底边为y，根据三角形的周长求出y212x，根据三角形三边关系定理得出x+xy，求出x+y212x，再求出不等式组的解集即可【解答】解：设等腰三角形的腰为x，底边为y，则x0，y0，x+xy，则x+x+y21，即y212x0，所以x+x212x，解得：5x10.5，所以整数x可以为6，7，8，9，10，共5种，故选：A7如图，AOB60，OC平分AOB，如果射线OA上的点E满足OCE是等腰三角形，那么OEC的度数为120或75或30【分析】求出AOC，根据等腰得出三种情况，OECE，O
8、COE，OCCE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可【解答】解：AOB60，OC平分AOB，AOC30，当E在E1时，OECE，AOCOCE30，OEC1803030120；当E在E2点时，OCOE，则OECOCE（18030）75；当E在E3时，OCCE，则OECAOC30；故答案为：120或75或308如图，AOB60，C是BO延长线上一点，OC12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t4或12s时，POQ是等腰三角形【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点
9、P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时分别列式计算即可求【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后POQ是等腰三角形，有OPOCCPOQ，即122tt，解得，t4s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，当POQ是等腰三角形时，POQ60，POQ是等边三角形，OPOQ，即2（t6）t，解得，t12s故答案为4s或12s9如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）ABCD【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可【解答】解：A、如图所示，
10、ACD和BCD都是等腰三角形；B、如图所示，ABC不能够分成两个等腰三角形；C、如图所示，ACD和BCD都是等腰三角形；D、如图所示，ACD和BCD都是等腰三角形；故选：B10已知ABC的三条边长分别为3，4，6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A5条B6条C7条D8条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可【解答】解：如图所示：当BC1AC1，ACCC2，ABBC3，AC4CC4，ABAC5，ABAC6，BC7CC7时都能得到符合题意的等腰三角形故选：C11如图，ABC中，B60
11、，C90，在射线BA上找一点D，使ACD为等腰三角形，则ADC的度数为 75或120或15【分析】分三种情形分别求解即可【解答】解：ABC中，B60，C90，BAC180609030，如图，有三种情形：当ACAD时，ADC75当CDAD时，ADC1803030120当ACAD时，ADC15，故答案为：75或120或1512如图，等边ABC的边长为6，点P沿ABC的边从ABC运动，以AP为边作等边APQ，且点Q在直线AB下方，当点P、Q运动到使BPQ是等腰三角形时，点Q运动路线的长为3或9【分析】如图，连接CP，BQ，由“SAS”可证ACPABQ，可得BQCP，可得点Q运动轨迹是AHB，分两种情
12、况讨论，即可求解【解答】解：如图，连接CP，BQ，ABC，APQ是等边三角形，APAQPQ，ACAB，CAPBAQ60，ACPABQ（SAS）BQCP，当点P运动到点B时，点Q运动到点H，且BHBC6，当点P在AB上运动时，点Q在AH上运动，BPQ是等腰三角形，PQPB，APPB3AQ，点Q运动路线的长为3，当点P在BC上运动时，点Q在BH上运动，BPQ是等腰三角形，BQPB，BPBQ3，点Q运动路线的长为3+69，故答案为：3或913如图，在ABC中，ACB2A，过点C的直线能将ABC分成两个等腰三角形，则A的度数为45或36或或【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论【解答
13、】解：过点C的直线能将ABC分成两个等腰三角形，如图1，ACB2A，ADDCBD，ACB90，A45；如图2，ADDCBC，AACD，BDCB，BDC2A，A36，ADDC，BDBC，BDCBCD，AACD，BCDBDC2A，BCD2A，ACB2A，故这种情况不存在如图3，ADAC，BDCD，ADCACD，BBCD，设BBCD，ADCACD2，ACB3，A，A+B+ACB180，+3180，A，如图4，ACCDDB，ACDA，BDCB，CDB180CDA180A，BDCB，ACBA180，ACB2A，1802A，综上所述，A的度数为45或36或或故答案为：45或36或或14已知等边ABC的边长
14、为3，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且EDEC，若AE6，则CD的长为3或9【分析】E在线段AB的延长线上时，过E点作EFCD于F，当E在线段AB的延长线时，过E点作EFCD于F，根据等边三角形的性质求出BE长和ABC60，解直角三角形求出BF，求出CF，即可求出答案【解答】解：点E在直线AB上，AE6，点E位置有两种情况：E在线段AB的延长线上时，过E点作EFCD于F，ABC是等边三角形，ABC的边长为3，AE6，BE633，ABC60，EBF60，BEF30，BFBE，CF+3，EDEC，CFDF，CD29；如图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EFCD于F，ABC是等边三角形，
15、ABC的边长为3，AE6，BE6+39，ABC60，EBF60，BEF30，BFAE，CF3，EDEC，CFDF，CD23；即C9或3，故答案为：3或915ABC的高AD、BE所在的直线交于点M，若BMAC，求ABC的度数【分析】分两种情况考虑：当ABC为锐角时，如图1所示，由AD垂直于BC，BE垂直于AC，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，得到CADMBD，根据一对直角相等，再由BMAC，利用AAS得出三角形BMD与三角形ACD全等，由全等三角形对应边相等得到ADBD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，可得出ABC45；当ABC为钝角时，如图2所示，同理利用AAS得出三角形
16、ADC与三角形DBM全等，由全等三角形对应边相等得到ADBD，得出三角形ABD为等腰直角三角形，求出ABD45，利用邻补角定义即可求出ABC135【解答】解：分两种情况考虑：当ABC为锐角时，如图1所示，ADDB，BEAC，MDBAEM90，AMEBMD，CADMBD，在BMD和ACD中，BMDACD（AAS），ADBD，即ABD为等腰直角三角形，ABC45；当ABC为钝角时，如图2所示，BDAM，BEAC，BDMBEC90，DBMEBC，MC，在BMD和ACD中，BMDACD（AAS），ADBD，即ABD为等腰直角三角形，ABD45，则ABC13516已知点P为线段CB上方一点，CACB，P
17、APB，且PAPB，PMBC于M，若CA1，PM4求CB的长【分析】根据全等三角形的判定得出PMBPNA，进而分类讨论得出答案即可【解答】解：此题分以下两种情况：如图1，过P作PNCA于N，PAPB，APB90，NPM90，NPABPM，在PMB和PNA中，PMBPNA，PMPN4CM，BMAN3，BC7；如图2，过P作PNCA于N，PAPB，APB90，NPM90，NPABPM，在PMB和PNA中，PMBPNA，PMPN4CM，BMAN5，可得BC9综合上述CB7或917如图，ABC中，ABCACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且ADAE，连接DE（1）如图，若BC35，BAD
18、80，求CDE的度数；（2）如图，若ABCACB75，CDE18，求BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究BAD与CDE的数量关系，并说明理由【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BAC110，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到E751857，于是得到结论；（3）设ABCACBy，ADEAEDx，CDE，BAD，如图1，当点D在点B的左侧时，ADCx，如图2，当点D在线段BC上时，ADCx+，如图3，当点D在点C右侧时，ADCx，根据题意列方程组即可得到结论【解答】解：（1）BC35，BAC110，BAD80，DAE30，AD
19、EAED75，CDE18035307540；（2）ACB75，CDE18，E751857，ADEAED57，ADC39，ABCADB+DAB75，BAD36；（3）设ABCACBy，ADEAEDx，CDE，BAD如图1，当点D在点B的左侧时，ADCx，（1）（2）得20，2；如图2，当点D在线段BC上时，ADCx+，（2）（1）得，2；如图3，当点D在点C右侧时，ADCx，（2）（1）得20，2综上所述，BAD与CDE的数量关系是2CDEBAD18.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（1）图是顶角为36的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画
20、出，请你在图中用不同于图的方法画出顶角为36的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）图是顶角为45的等腰三角形，请你在图中画出顶角为45的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数 （3）ABC中，B30，AD和DE是ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且ADBD，DECE，设Cx，则x所有可能的值为 【分析】（1）在图中用不同于图的方法画出顶角为36的等腰三角形的三分线即可；（2）在图中画出顶角为45的等腰三角形的三分线即可；（3）分两种情况：AD为等腰三角形的腰或底作图即可得结论【解答】解：（1）
21、在图中用不同于图的方法画出顶角为36的等腰三角形的三分线；（2）在图中画出顶角为45的等腰三角形的三分线每个等腰三角形顶角的度数为：90、135、45故答案为：90、135、45（3）如下图作ABC，如图1：当ADAE时，2x+x30+30，x20如图2：当ADDE时，2x+x+30+30180x40所以x的所有可能的值为20或40故答案为20或4019如图，在四边形ABCD中，ABCD，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点（1）求证：点P也是BC的中点；（2）若CBAB，且DP，CD，AB4，求AP的长；（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得ABQ是等腰三角形
22、，求AQ的长【分析】（1）由平行线的性质得出CEPBAP，ECPABP，由点P为AE的中点，得出PEPA，由AAS证得CEPBAP，即可得出结论；（2）由CBAB，ABCD，得出DCPABP90，在RtDCP中，CP3，由（1）得CPPB3，在RtABP中，AP5；（3）当AQAB时，AQAB4；当BABQ时，过点B作BNAQ于N，则ANNQ，由SABPABBPAPBN，求出BN，在RtABN中，AN，则AQ2AN；当AQQB时，证明QBAQQP，则AQAP【解答】（1）证明：ABCD，CEPBAP，ECPABP，点P为AE的中点，PEPA，在CEP和BAP中，CEPBAP（AAS），PCPB，点P也是BC的中点；（2）解：CBAB，ABCD，DCPABP90，在RtDCP中，CP3，由（1）得：CPPB3，在RtABP中，AP5；（3）解：当AQAB时，AQAB4；当BABQ时，过点B作BNAQ于N，如图1所示：则ANNQ，SABPABBPAPBN，即435BN，BN，在RtABN中，AN，AQ2AN；当AQQB时，如图2所示：AQQB，QABQBA，QAB+QPB90，QBA+QBP90，QPBQBP，QBQP，QBAQQP，AQAP；综上所述，ABQ是等腰三角形，AQ的长为4或或
