1、2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 复习回顾x1+x2y1+y2x1-x2y1-y2 x1 y11、若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)则向量a+b=（，）向量a-b=（，）向量a=（，）2、若已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)则向量AB=（，）x2 x1 y2-y1 3、向量a、b（b0）共线的充要条件是什么？a=b若a=(x1,y1)b=(x2,y2)，则共线的充要条件是什么？x1 y2-x2 y1=0如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:表示力F的方向与位移S的方向的夹角。位移SOAFFSW=FSCOS一.力做功的计算二.两个向量的夹角baOAOB已知两
2、个非零向量a、b，=a，=b.则AOB称作向量a和向量b的夹角,记作.并规定0 BOA（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；baBOAOAaBbBbaOAAaOBb（2）a，b=b，a；（3）范围0a，b；（4）a，b=0时,a、b同向；a，b=时，a、b反向；a，b=90时，a b.（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.几点说明如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！练习1三.向量在轴上的正射影（1）概念：已知向量a和轴l，作=a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，
3、则向量叫做向量a在轴l上的正射影.OA1 1 O A（2）正射影的数量：向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.记作：al向量a的方向与轴l的正方向所成的角为，则有1.a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.2.当为锐角时，数量为正值；3.当为钝角时，数量为负值；4.当为直角时，数量为0；5.当=0时，数量为|a|；6.当=180时，数量为|a|.几点说明a lxlOA2O 1A1a laa例1.已知轴l（1）.向量OA=5,OA,l=60,求OA在上的正射影的数量OA1（2）.向量OB=5,OB,l=120,求OB在l上的正射影的数量OB1(
4、3)已知向量a,b,向量|a|=4,=600,则向量a在向量b上的正射影的数量解：4cos600=2解：OA1=5COS600=5()=5/2-5/2四.向量的数量积（内积）定义：叫做向量a和b的数量积（或内积）记作：ab.即 ab=1数量积ab等于a的长度与b在a方向上正射影的数量|b|cos的乘积.几点说明2两个向量的数量积是一个实数，符号由cosa，b的符号所决定；而数乘向量是一个向量。OABabOABab为锐角时，|b|cos0为钝角时，|b|cos0为直角时，|b|cos=0BOAab量的数量积为03.规定零向量与任意向4.a b不能写成ab，ab 表示向量的另一种运算两个向量的数量
5、积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量.1.ea=ae=|a|cos;2.ab ab=03.aa=|a|2或4.cos=；5.|ab|a|.|b|.内积为零是判定两向量垂直的条件用于计算向量的模用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状例2.已知|a|=5，|b|=4，=120，求ab.解：ab=|a|b|cos =54cos120 =10.练习2已知|a|，|b|，当ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求abab时，ab=18；ab时，ab=0；a与b的夹角是60时，ab=9.进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。例3、)(且方向相反平行与,2
6、CDAB,)(.603的夹角是与ADAB练习3已知|a|=3,|b|=5，且ab=12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。解：因为所以a在b方向上的正射影的数量是b在a方向上的正射影的数量是(1)A 锐角三角形C 钝角三角形D 不能确定B 直角三角形DCA 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不能确定判断下列命题是否正确1.若a=0,则对任意向量b，有a b=0.2.若a0,则对任意非零向量b，有a b0.3.若a0,且a b=0,则b=0.4.若ab=0，则a=0或b=0.5.对任意的向量a，有a2=a2.6.若a0,且a b=a c,则b=c.()()()()()()练习4课堂小结1.两个向量的夹角2.向量在轴上的正射影正射影的数量3.向量的数量积（内积）ab=4.两个向量的数量积的性质：(1).ab ab=0(2).aa=|a|2或(3).cos=范围0a，b；
