1、8. 不等式综合【基础训练】1有下列函数：；y=sinxcosx；这些函数中最小值为2的有_（注：把你认为正确的序号都填上）2已知xy0且xy1，求的最小值及此时x，y的值3（1）若正数a，b满足abab3，则ab的取值范围； （2）若x，y都是正数，且2x8yxy=0，求xy的最小值4 已知ab0，求最小值5已知f(x) ，试用不同方法证明：|f(a)f(b)|ab|【典型例题】例1 （1） 已知不等式对任意正实数恒成立，求正实数的最小值（2）求使（x0，y0）恒成立的a的最小值例2 已知，求的最大值例3 如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为(单位:米)的矩形,上部是
2、斜边长为的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米. （1）求的关系式，并求的取值范围；xy（2）问分别为多少时用料最省?例4 如图，要把三边AB、AC、BC的长分别为3,5,7的ABC边角地辟为生物园，图中的观光路线DE把生物园分成面积相等的两部分，D、E分别在AB、AC上欲使DE的长l最大，试确定D、E的位置？ABCED*例5 设a，bp，cxy，若对任意的正实数x，y，都存在边长分别为a，b，c的三角形，求实数p的取值范围 【课后练习】1解不等式： 2不等式m对任意实数x都成立，则满足条件的自然数m的集合为 3 已知x0，y0，求证：4设 则的最大值为 5(08江苏卷)设x，y，z
3、为正实数，满足x2y3z0，则的最小值为 6已知,若关于x 的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围7解关于x的不等式：（aR）8设方程mx24mx1=0的两根， （， 为正实数）满足不等式|lglg|1，求实数m的取值范围 9 （1）当x1, 3时，不等式x2mx40恒成立，求实数m的取值范围；（2）存在x(1, 3)时，使得不等式x2mx40成立，求实数m的取值范围10某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m）如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h4m，仰角ABE，ADE（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的
4、数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，最大？ABCDBP11已知矩形ABCD的周长为24，ABAD，把它沿对角线AC对折，折过去后，AB交CD于P设ABx，求ADP的最大面积以及相应的x的值 8. 不等式综合【基础训练】1 2 xy0，xy0， .解方程组 得 当，时，取得最小值3（1）分析一 把等式利用重要不等式化成不等式 解法一 由a，b0，得ab2，则abab32+3，即3，ab9 分析二 利用函数思想，要求ab的取值范围，可以把ab看成某个变量的函数，再求出这个函数的值域就可以了 解法二 由
5、已知得a(b1)=b3，显然a1， （2）法一：消元法 由2x8yxy=0，得，y20 xy（当且仅当y24，即y6，x12取等号）(xy)min18 法二：由2x8yxy=0，得，xy(xy)( )=10+184ab0，ab0b(ab) a216当且仅当bab，且a2， 即时取等号5可以用分析法，放缩法，或几何意义来证明【典型例题】例1 （1）4；（2）例2 例3 （1）由题意得 ，x(0，4) （2）设框架用料长度为，则 当且仅当满足 答：当 米，米时，用料最少. ABCED例4 SADESABC，即ADAEABAC DE2AD2+AE22ADAEcosAAD2+AE2+ADAE设AD=x
6、，AE=y，其中x(0，3，y(0，5，问题变为：已知xy，求l2x2+y2+xy的最大值.由xy，可知y(0，5，所以x，所以x，3因为l2x2+y2+xyx2()2，由函数的单调性可知，当x，时，单调减；当x，3时单调增所以当x，y5时，l最大答：当D在AB的中点、E与C重合时，DE的长l最大*例5 (1，3) 【课后练习】1 2 0，1，23 ，4 5 36由已知，得不等式0,即，即， 由已知，得a1，且，因为不等式的解集中恰有3个整数，所以，不等式的解集必在方程的两根和之间，不等式中x的二次项系数一定大于零，即(a1)(a1)0，a1于是0， 由、可知， 由于要求a的范围，将上不等式组
7、中的b进行替换，有1a37把原不等式整理成 （1）当a0时，原不等式可变为 x10，所以x1 （2）当a0时，原不等式可变为 由于a0， 01，所以，原不等式的解集为x| （3）当a0时，原不等式可变为 ， 方程0的两根分别为 x11， 比较两根x1，x2大小如下：， 时， 原不等式的解为 或 当时，原不等式等价于，原不等式的解为 x1当时，原不等式的解为 x1或 综上，当时，； 当时，； 当a0时，； 当a0时，8 9（1）由题意得mx对x1, 3恒成立，所以m不小于 x的最大值m5 (2) 由题意得mx在x(1, 3)有解m410（1），同理，ADAB=DB，故得，解得因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知，得，所以 所以 （当且仅当时，取等号）故当时，最大因为，则，所以当时，最大故所求的是m11如图，由已知，得DACBCA，B ACDCA，PAPC设PCy，则DPxy，由于AD12x0，及ABAD，得6x12，即PDxy所以，ADP的面积为 （当且仅当时取等号）， 当时，ADP的面积取最大值ABCDBP
