1、江苏省南京师大附中2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出两个集合的交集和并集，可得答案.【详解】因为，所以，.故选：D.【点睛】本题考查了集合的交集和并集的运算，属于基础题.2.若复数满足（i为虚数单位），则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据，先求得，进而求得的值，得到结果.【详解】由，得，则，故选：B.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.3.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答
2、案】C【解析】【分析】根据二次根式及分母的限制条件，列出不等式组，求解即可.【详解】由题意，可得，即或.故选：C.【点睛】本题考查函数的定义域，考查学生对基础知识的掌握，注意分母不为0，偶次方根被开方数非负.4.已知随机变量XN（2，2），P（X0）0.84，则P（X4）（ ）A. 0.16B. 0.32C. 0.66D. 0.68【答案】A【解析】【分析】根据正态分布密度曲线的特点，结合2，可知P（X0）0.84P（X4），则P（X4）即可求出【详解】由已知得2，故P（X0）P（X4）0.84，所以P（X4）1P（X4）10.840.16故选：A【点睛】本题考查正态分布密度曲线的对称性性质及
3、其应用，以及相关概率问题的计算，属于基础题5.已知离散型随机变量的分布列如下：由此可以得到期望与方差分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质求出x0.1，由此能求得结果【详解】由x4x5x1得x0.1，E(X)00.110.420.51.4，D(X)(01.4)20.1(11.4)20.4(21.4)20.50.44.故选【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，由已知先求出x的值，然后运用公式求得期望和方差，属于基础题6.已知函数，则满足的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得是偶函
4、数，且在区间上单调递增，则不等式等价为，即，从而得到答案.【详解】由，知是偶函数，不等式等价为，当时，在区间上单调递增，解得：.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题.7.某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（ ）A. 至少有个深度贫困村B. 有个或个深度贫困村C. 有个或个深度贫困村D. 恰有个深度贫困村【答案】B【解析】【分析】用表示这个村庄中深度贫困村数，则服从超几何分布，故，分别求得概率，再验证选项.【详解】用表示这个村庄中深度贫困村数，服从
5、超几何分布，故，所以，.故选：B【点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题.8.对于，使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设时，的值域，的值域，只要即可满足题意【详解】设（），设，则，则，由勾形函数性质知当时，递减，当时，递增，即值域为，（），设，则，时，是减函数，即，对于，使得，则，故选：D【点睛】本题考查含有存在题词与全称题词的命题恒成立问题，解题关键是把问题转化为集合之间的包含关系二、多项选择题9.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为0.5和0.4，且互不影响，现甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）A. 目标恰好被命中一次的
6、概率为0.5+0.4B. 目标恰好被命中两次的概率为0.50.4C. 目标被命中的概率为0.50.6+0.50.4D. 目标被命中的概率为10.50.6【答案】BD【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分别计算对应概率，即可选出答案.【详解】由题意，甲、乙两人射击是否命中相互独立，目标恰好被命中一次的概率为，即A错误；目标恰好被命中两次的概率为，即B正确；目标被命中包含恰好命中一次和恰好命中两次，即目标被命中的概率为，即C错误；两人都没有命中的概率为，则目标被命中的概率又可以表示为，即D正确.故选：BD.【点睛】本题考查概率计算，注意互斥事件的概率加法公式、相
7、互独立事件的概率乘法公式的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知函数，下面说法正确的有（ ）A. 的图像关于原点对称B. 的图像关于轴对称C. 的值域为D. ，且，恒成立【答案】AC【解析】分析】依次判断每个选项：判断奇偶性得出A正确，B错误；利用换元法求的值域，可得出C正确；判断函数单调递增可得出D正确，进而可得出答案.【详解】对于选项A，定义域为，则，则是奇函数，图象关于原点对称；对于选项B，计算，故的图象不关于y轴对称；对于选项C，令，易知，故的值域为；对于选项D，令，函数在上单调递增，且在上单调递增，根据复合函数的单调性，可知在上单调递增，故，且，不成立.故选：AC
8、.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用，属于中档题.11.若，则下面有几个结论正确的有（ ）A. 若，则B. C. 若，则D. 若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式，对选项逐一分析即可.【详解】对于A：当时，即，故A不正确；对于B：若，由基本不等式得:，即有即，故，当且仅当“”时取等号，故B正确；对于C：由，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D：由，即有，根据基本不等式有：，当且仅当，即时取等号，故D正确.综上：BCD正确.故选：BCD.【点睛】本题考查基本不等式，应用基本不等时：“一正，二定，三相等”缺一不可，属于基础题12.
9、已知函数满足：当时，下列命题正确的是（ ）A. 若是偶函数，则当时，B. 若，则在上有3个零点C. 若是奇函数，则，D. 若，方程在上有6个不同的根，则的范围为【答案】BC【解析】【分析】A选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B选项，函数关于直线对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当时，函数与直线有3个交点可判断；C选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D选项，函数周期为3，作出函数图像知方程在上有两个不同的根，则时方程在上有4个不同的根.【详解】A选项，若，则，因为函数是偶函数，所以，A错误；B选项，若，则函数关于直线对称，当时，当时，函数单调递减，
10、当时，函数单调递增，且，作出函数大致图像如图所示，则当时，函数与直线有3个交点，即函数在上有3个零点，B正确；C选项，由B知当时，若函数为奇函数，则当时，所以，C正确；D选项，若，则函数的周期为3，作出函数在上的图像如图所示，若方程即在上有6个不同的根，因为方程在上有两个不同的根，所以在上有4个不同的根，又，所以，D错误.故选：BC【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.三、填空题13.已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足，则的虚部为_.【答案】4【解析】【分析】设，代入后计算可得【详解】设，则，解得或
11、（舍去），虚部为4故答案为：4【点睛】本题考查复数的概念：共轭复数，复数的虚部、复数的模，考查复数的几何意义，属于基础题，解题方法是设代入计算14.设函数则_，若，则实数的取值范围是_.【答案】 (1). 0 (2). 【解析】【分析】根据函数解析式，先求出，进而可求出；分和两种情况，分别解不等式，进而可求出答案.【详解】由题意，所以；若，则，解得；若，则，解得.所以实数的取值范围是.故答案为：0；.【点睛】本题考查求函数值，考查解函数不等式，考查分段函数的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.15.某校在高二年级开设校本课程选修课，有5名同学要求改选中国文化史，现中国文化史开有三个班（班
12、、班、班），若班至少接收2名同学，其余两班每班至少接收1名同学，则不同的接收方案共有_种.【答案】60【解析】【分析】分两种情况，班接收3名同学，其余两班每班接收1名同学；班接收2名同学，其余两班分别接收2名和1名同学，进而利用分类加法原理计算即可.【详解】分两种情况，班接收3名同学，其余两班每班接收1名同学，有；班接收2名同学，其余两班分别接收2名和1名同学，有.所以共有种接收方法.故答案为：60.【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.16.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】函数有三
13、个零点，可知和的图象有三个交点，进而作出图形，结合图形分类讨论，可求出答案.【详解】令，函数有三个零点，则和的图象有三个交点，当时，且；当时，；是过点的折线.先考虑特殊情况，若折线与在上存在相切，设切点为，由，可得切线斜率为，则切线方程为，因为切线过点，所以，解得，即切点为，切线斜率为1，切线方程为，此时；若折线与在上相切，设切点为，由图象可知，且，令，方程整理得，则，解得，因为在上最大值为，所以，即，计算可知，所以；当时，两个函数没有交点，不符合题意；当时，与的图象在上有1个交点，在上没有交点，在上有2个交点，共有3个交点，符合题意；当时，与的图象在上有1个交点，在上至多有1个交点，不符合题
14、意；当，即时，与的图象在上有1个交点，上有2个交点，在上没有交点，共有3个交点，符合题意.当时，与的图象在上有1个交点，在上只有一个交点，共有2个交点，不符合题意.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数取值范围，注意转化为函数图象交点问题，考查数形结合的数学思想的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属中档题.四、解答题17.已知：对于，成立，：关于的不等式成立.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由判别式可得；（2）先解中关于的不等式，再根据集合包含关系可得【详解】（1
15、）对于，成立，所以，；（2）因为，由得，又是的必要不充分条件，所以【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查必要不充分条件的应用，解题对由充分必要条件求参数问题可以利用集合包含关系得出结论18.已知，其中.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）是的系数，由此可得；（2）记，计算和，由可得结论【详解】（1），令得：，；（2），记，【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求二项展开式中系数的和掌握二项展开式通项公式是解题关键，掌握二项式定理中赋值法求系数和可以证明许多组合恒等式19.近年来，国家对西部发展出台了很多优惠政策，为了更有效促进发展，需要对一
16、种旧能源材料进行技术革新，为了了解此种材料年产量（吨）对价格（万元/吨）和年利润（万元）的影响，有关部门对近五年此种材料的年产量和价格统计如表，若.123458764（1）求表格中的值；（2）求关于的线性回归方程；（3）若每吨该产品的成本为2万元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取得最大值？参考公式：，.【答案】（1）2.5；（2）；（3）年产量约为3.5吨时，年利润取得最大值【解析】【分析】（1）由均值概念求得；（2）根据所给数据计算系数即得；（3）利用（2）中回归直线方程作出预估值进行计算利润后，再由二次函数性质得最大值【详解】（1），解得；（2），所以回归直线方程为（3
17、）由（2），所以（吨）利润最大【点睛】本题考查线性回归直线方程，考查回归方程的实际应用考查学生的数据处理能力，运算求解能力20.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取100名观众进行调查，将日均收看体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，数据统计如下表：体育迷（人）非体育迷（人）男2025女1045（1）是否有99%的把握认为“体育迷”与性别有关？（2）该体育类节目为了提升收视率，规定“体育迷”每天奖励积分2分，“非体育迷”每天奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的物品.用表中的样本频率作为概率的估计值.某日3名观众来领取积分，记此3人当日的
18、积分总和为随机变量，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）有99%的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析，数学期望为3.9【解析】【分析】（1）由表中数据可得出列联表，进而求出，结合临界值表可得出结论；（2）求出体育迷的概率为，随机变量可取的值为，分别求出对应概率，进而可得出分布列及数学期望.【详解】（1）由表中数据可得列联表如下图：体育迷（人）非体育迷（人）合计男202545女104555合计3070100则，所以有99%的把握认为“体育迷”与性别有关.（2）由题意，从观众中随机抽取一名，体育迷的概率为，随机
19、变量可取的值为，分布列为：3456数学期望.【点睛】本题考查独立性检验，考查分布列与数学期望的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.已知函数，其中为正实数.（1）试讨论函数的单调性；（2）设，若存在，使得不等式成立，求取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出导数为开口向上的二次函数，对二次函数的零点进行分类讨论，根据导数符号判断函数的单调性；（2）求出并求导，根据题意需求使得成立的m的取值范围，对函数在上的单调性进行分类讨论求出最小值，代入求出m的范围.【详解】（1），为开口向上的二次函数，若即时，的解集为，所以当时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，
20、函数单调递增；若即时，恒成立，函数在上单调递增；若即时，的解集为，所以当时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增.综上所述，当时，函数单调递增区间是，单调递减区间是；当时，函数单调递增区间是；当时，函数单调递增区间是，单调递减区间是. （2），若存在，使得不等式成立，则，由（1）知，当即时，函数在上单调递增，解得，所以；当即时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以，令，则，函数在区间上单调递增，所以恒成立，则；当即时，函数在区间上单调递减，不成立.综上所述，的取值范围为.【点睛】本题考查导数在研究函数性质中综合应用、利用导数求解不等式能成立问题，涉及二次函数的图象与性质、换元
21、法求函数的最值，考查分类讨论思想，属于较难题.22.已知函数在点处的切线为.（1）求函数的解析式；（2）是否存在，对任意，使得成立，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.（参考数据：，）【答案】（1）；（2）存在，的最大值为8【解析】【分析】（1）对函数求导，结合导数的几何意义，可得出，进而可求出，即可得出函数的解析式；（2）由，不等式可转化为，令，进而通过求导，判断函数的单调性，使得，进而可求出的最大值.【详解】（1）将代入切线方程，可得，即，又，所以，解得，所以.（2）存在，理由如下：由，不等式可转化为，令，则，令，则，所以在上单调递增，且，故存在唯一的，使得，即，当时，即，此时单调递减；当时，即，此时单调递增所以，即，又因为，所以，因为，所以的最大值为8.所以存在满足题意的，的最大值为8.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，注意利用参变分离的方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
