1、高考资源网（） 您身边的高考专家5从力做的功到向量的数量积学 习 目 标核 心 素 养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义(重点)2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题(难点)1.通过学习平面向量数量积的含义及其物理意义，体会数学抽象素养2.通过运用数量积的运算性质及运算律解决长度、夹角、平行、垂直的问题，提升数学运算素养1向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫作向量a与b的夹角范围0180特例0a与b同向180a与b反向90a与b垂直，记作ab，规定0可与任一向量垂直思考1：ABC为正三角形，
2、设a，b，则向量a与b的夹角是多少？提示如图，延长AB至点D，使ABBD，则a，ABC为等边三角形，ABC60，则CBD120，故向量a与b的夹角为120.2向量的数量积(1)射影|b|cos_叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影).(2)数量积已知两个非零向量a与b，我们把|a|b|cos_ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos_，其中是a与b的夹角(3)规定零向量与任一向量的数量积为0(4)几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos_的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 的乘积(5)性质若e是单位向量，则eaae
3、|a|cos .若ab，则ab0；反之，若ab0，则ab，通常记作abab0|a|.cos (|a|b|0).对任意两个向量a，b，有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立(6)运算律已知向量a，b，c与实数，则：交换律：abba；结合律：(a)b(ab)a(b)；分配律：a(bc)abac.思考2：向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？提示如图所示，a，b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1|b|cos .|b|cos 叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos 叫作向量a在b方向上的射影1已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在b方向上的投影为()A4B4
4、C2 D2A向量a在b方向上的投影为|a|cos 4，故选A.2已知三角形ABC中，0，则三角形ABC的形状为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形A|cos B0，cos B0，又B为ABC的内角B.3已知向量|a|2，|b|2，ab1，则|ab|()AB2 C2D3A|ab|2|a|22ab|b|24246，|ab|.4若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_aaab1211cos 120.求向量的数量积【例1】已知|a|4，|b|5，且a与b的夹角为60.求：(1)ab；(2)(ab)2；(3)(ab)2；(4)a2b2.解由题知60，|a|
5、4，|b|5.(1)ab|a|b|cos 45cos 6010.(2)(ab)2a22abb2422105261.(3)(ab)2a22abb242205221.(4)a2b2|a|2|b|242529.1求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，；分别求出|a|和|b|；利用数量积的定义：ab|a|b|cos 求解要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能省略不写2若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积.1已知|a|10，|b|4，a与b的夹角120.求：(1)ab；(2)a在b方向上的投影；(3)(
6、a2b)(ab)；(4)(ab)2.解(1)ab|a|b|cos 12010420.(2)a在b方向上的射影为|a|cos 120105.(3)(a2b)(ab)a2ab2ab2b2a2ab2b2|a|2|a|b|cos 1202|b|210010421688.(4)(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos 120|b|21002104161004016156.求向量的模【例2】(1)平面向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|()AB2C4D12(2)已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，并且|a|1，|b|2，|c|3，求|abc|.(1)B|a2b|2
7、.(2)解：当向量a，b，c共线且同向时，所成的角均为0，所以|abc|a|b|c|6；当向量a，b，c不共线时，易知a，b，c皆为非零向量设a，b，c所成的角均为，则3360，即120，所以ab|a|b|cos 1201.同理bc3，ca，由|abc|2a2b2c22ab2bc2ca3，故|abc|.综上所述，|abc|6或.1求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活运用a2|a|2，最后勿忘开方2一些常见等式应熟记：(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2等2已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，求|ab|.解因为(2a3b)(2ab)61，所以4a
8、22ab6ab3b261，所以4|a|24ab3|b|261.又因为|a|4，|b|3，所以4424ab33261，所以ab6.|ab|2(ab)2a22abb2422(6)3213，所以|ab|.向量的夹角与垂直问题探究问题1若ab，则ab等于多少？反之成立吗？提示ab0ab.2|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？提示|ab|a|b|.因为|ab|a|b|cos |.由|cos |1，可得|ab|a|b|.3对于向量ab，如何求它们的夹角？提示求夹角时先求两个向量a，b夹角的余弦值然后根据向量夹角的取值范围求角【例3】已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量a2e1e2与b2e23
9、e1的夹角.思路探究先求|a|，|b|及ab，再由公式cos 求解解e1e2|e1|e2|cos 60cos 60，ab(2e1e2)(2e23e1)6ee1e22e.又a2(2e1e2)24e4e1e2e7，b2(2e23e1)24e12e1e29e7，|a|b|，则cos .0，.1将例3中的条件变为“|a|1，ab，(ab)(ab)”，试求a与b的夹角解因为(ab)(ab)，所以|a|2|b|2.又因为|a|1，所以|b|，设a与b的夹角为，则cos .又因为0，所以.2将例3中的条件变为“a，b不共线，且|2ab|a2b|”，试证明：(ab)(ab).证明|2ab|a2b|，(2ab)
10、2(a2b)2.即4a24abb2a24ab4b2，a2b2.(ab)(ab)a2b20.又a与b不共线，ab0，ab0，(ab)(ab).1求向量a，b的夹角有两步：第一步，利用公式cos 求cos ；第二步，根据0，确定.而求cos 有两种情形，一种是求出ab，|a|，|b|的值；另一种是得到ab，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算2两向量垂直ab0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0，090时)，也可以为负(当a0，b0，900ab0.()(4)对于任意向量a，b，总有(ab)2a2b2.()答案(1)(
11、2)(3)(4)2设向量ab40，|b|10，则a在b方向上的射影为()A4B4C4D8Aa在b方向上的射影为|a|cos .由ab|a|b|cos 40且|b|10，得|a|cos 4.3单位向量i，j相互垂直，向量a3i4j，则|a|_.5因为|a|2a2(3i4j)29i224ij16j291625，所以|a|5.4已知|a|1，|b|，设a与b的夹角为.(1)若，求|ab|；(2)若a与ab垂直，求.解(1)|ab|2(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos |b|21223，|ab|.(2)若a与ab垂直，则a(ab)0，a2ab0.ab|a|21，cos .0180，135.- 9 - 版权所有高考资源网
