1、同步书同步书数学数学(选修选修2-22-2第一章第一章)第5课时 数学归纳法导 学 固 思.1.使学生了解归纳法,理解数学归纳法的原理与实质.2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题.导 学 固 思.多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第二块倒下就会导致第三块倒下,以致很多都会倒下!如果我们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.导 学 固 思.问题1第一块骨牌倒下问题2任意两块
2、相邻骨牌,只要前一块倒下,后一块必定倒下要使得所有骨牌全都倒下须满足的条件(1);(2).第一个值n0(n0N+)当n=k(kn0,kN+)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立数学归纳法:证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立;(2)(归纳递推)假设.导 学 固 思.正整数基础问题3 数学归纳法是一种只适用于与有关的命题的证明方法,第一步是递推的“”,第二步是递推的“”,两个步骤缺一不可.依据问题4选择合适的起始值n=k成立在证明过程中要防范以下两点(1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求.(2)第二步中,归纳假设起着“已知条
3、件”的作用,在证明n=k+1时,命题也成立的过程中一定要用,否则就不是数学归纳法.的结论导 学 固 思.1D2C【解析】n=1时,n+3=4.某个命题与自然数n有关,若n=k(kN+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得().A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立导 学 固 思.34【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.导 学 固 思.导 学 固 思.导 学 固 思.导 学 固 思.7导 学 固 思.归纳猜
4、想证明已知数列an满足Sn+an=2n+1(nN+).(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式.(2)用数学归纳法证明所得的结论.导 学 固 思.导 学 固 思.导 学 固 思.导 学 固 思.所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切nN+等式都成立.若nN+且n5,求证:2nn2.【证明】(1)当n=5时,2552,不等式成立.(2)假设n=k(k5,kN+)时,2kk2.则当n=k+1时,2k+1=22k=2k+2kk2+k2k2+2k+1=(k+1)2,即n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,当nN+且n5时,不等式2nn2成立.导 学 固 思.已知数列an的
5、第一项a1=5且Sn-1=an(n2,nN+).(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表达式;(2)用数学归纳法证明(1)的猜想.导 学 固 思.BA.7B.8C.9D.10导 学 固 思.2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是().A.假设n=k(kN+),证明n=k+1命题成立B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立C.假设n=2k+1(kN+),证明n=k+1命题成立D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立【解析】A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.D导 学 固 思.导 学 固 思.
