1、江苏省南京市中华中学2015届高三上学期期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1（5分）复数z=1+的模为2（5分）已知全集U=R，函数的定义域为集合A，函数y=log2（x+2）的定义域为集合B，则集合（CUA）B=3（5分）的值为4（5分）已知命题p：xR，使sinx=；命题q：xR，都有x2+x+10给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p非q”是假命题；命题“非pq”是真命题；命题“非p非q”是假命题；其中正确的是5（5分）如图的程序框图输出的结果S等于6（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩乙组记录中有一个数据模
2、糊，无法确认，在图中以a表示已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组四名同学数学成绩的方差s2=7（5分）在ABC中，ABC=60，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，使ABD为钝角三角形的概率为8（5分）若抛物线y2=2px（p0）的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=9（5分）已知向量，满足+=0，且与的夹角为60，|=|，则与的夹角为10（5分）已知a、b、x是实数，函数f（x）=x22ax+1与函数g（x）=2b（ax）的图象不相交，记参数a、b所组成的点（a，b）的集合为A，则集合A所表示的平面图形的面积为11（5分）若数列an满足a1=1，anan+1=2n，则S2012=1
3、2（5分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为13（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意xR都有f（x）=f（x+4），当 x（2，0）时，f（x）=2x，则ff的值为14（5分）定义方程f（x）=f（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=2x，h（x）=lnx，（x）=x3（x0）的“新驻点”分别为a、b、c，则a、b、c由大到小排列为二、解答题：本大题共6小题，共计70分15（14分）已知函数（1）求的值；（2）设，若，求的值16（14分）如图，在四棱锥EABCD中，ABD为正三角形，EB=ED，CB=CD（1）求证：ECB
4、D；（2）若ABBC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN平面BEC17（14分）给定椭圆C：+=1（ab0）称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到点F的距离为（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由18（16分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而
5、增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析函数y=是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数y=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值19（16分）设数列an的前n项和为Sn，且满足（1）求数列an的通项公式；（2）在数列an的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列bn，在an和an+1两项之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，求b2012的值；（3）对于（2）中的数列bn，若bm=an，并求b1+b2+b3+bm（用n表示）
6、20（16分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C（1）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2问：是否存在常数，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由三、（附加题共40分）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答若多做，则按作答的前两题评分【选修4-1：几
7、何证明选讲】21（10分）如图，AB是O的一条直径，C，D是O上不同于A，B的两点，过B作O的切线与AD的延长线相交于点M，AD与BC相交于N点，BN=BM（1）求证：NBD=DBM；（2）求证：AM是BAC的角平分线【选修42：矩阵与变换】22（10分）选修42：矩阵与变换若二阶矩阵M满足（）求二阶矩阵M；（）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程【选修44：坐标系与参数方程】23选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线L：sin2=2cos，过点A（5，）（为锐角且）作平行于的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点（）以极点为原点，极轴为x轴的正半
8、轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；（）求|BC|的长来源:Z_xx_k.Com【选修45：不等式选讲】24设函数f（x）=|x1|，g（x）=|x2|（）解不等式f（x）+g（x）2；（）对于实数x，y，若f（x）1，g（y）1，求证|x2y+3|3四、附加题【必做题】第25题，第26题，每题10分，共计20分25（10分）某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，
9、0.8，0.9（）求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的数学期望；（）求李明在一年内领到驾照的概率26（10分）已知点A（1，0），F（1，0），动点P满足（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）在直线l：y=2x+2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N问：是否存在点Q，使得直线MNl？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由江苏省南京市中华中学2015届高三上学期期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1（5分）复数z=1+的模为考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为a+bi的形式，然后求模即可解答：解：复数
10、z=1+=1+=1i复数z=1+的模为：=故答案为：点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数模的求法，考查计算能力2（5分）已知全集U=R，函数的定义域为集合A，函数y=log2（x+2）的定义域为集合B，则集合（CUA）B=（2，1来源:Z&xx&k.Com考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：根据负数没有平方根及分母不为0，求出函数的定义域，确定出集合A，再由全集U=R，求出A的补集，根据负数与0没有对数求出函数y=log2（x+2）的定义域，确定出集合B，找出A补集与B的公共部分，即可确定出所求的集合解答：解：函数y=中x+10，解得：x1，A=（1，+），又全集U=R，CU
11、A=（，1，函数y=log2（x+2）中x+20，解得：x2，B=（2，+），则（CUA）B=（2，1故答案为：（2，1点评：此题属于以函数的定义域为平台，考查了交、并、补集的混合运算，是2015届高考中常考的基本题型3（5分）的值为2考点：对数的运算性质；二倍角的正弦 分析：首先由对数函数的运算性质，可将原式化简为log2（sincos），再根据二倍角的正弦的公式，进一步化简可得log2（sin），进而可得答案解答：解：根据对数的运算性质可得，原式=log2（sincos）=log2（sin）=log2=2点评：本题考查对数的运算性质以及二倍角的正弦的公式，初学时，要特别注意对数的运算性质的
12、特殊性与对数函数的定义域来源:学科网4（5分）已知命题p：xR，使sinx=；命题q：xR，都有x2+x+10给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p非q”是假命题；命题“非pq”是真命题；命题“非p非q”是假命题；其中正确的是考点：复合命题的真假 分析：根据正弦函数的值域及二次不等式的解法，我们易判断命题p：xR，使sin x=与命题q：xR，都有x2+x+10的真假，进而根据复合命题的真值表，易判断四个结论的真假，最后得到结论解答：解：1结合正弦函数的性质，易得命题p：xR，使sin x=为假命题，又x2+x+1=（x+）2+0恒成立q为真命题，故非p是真命题，非q是假命题；所以pq是
13、假命题，p非q是假命题，非pq是真命题、故答案为：点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据正弦函数的值域及二次不等式的解法，判断命题p与命题q的真假是解答的关键5（5分）如图的程序框图输出的结果S等于20考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案来源:Zxxk.Com解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，i=0，S=0+（201）=1；i=2，i8？，否，S=1+221=2；i=4，i8？，否，S=2+241=9；i=6，i8？，否，S=9+261=20；i=8，i8？，是，输出S=20故答案为：20点评：本题考查了程序框图
14、的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题6（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组四名同学数学成绩的方差s2=9考点：极差、方差与标准差 专题：计算题；概率与统计分析：由茎叶图以及甲、乙两小组的数学成绩平均分相等，求出a的值，求出乙组四名同学数学成绩的平均数，再计算方差s2解答：解：根据茎叶图，知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相等，即=；解得a=3来源:学科网乙组四名同学数学成绩的平均数是=92；方差s2=（8792）2+（
15、9392）2+（9392）2+（9592）2=9故答案为：9点评：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应用茎叶图提供的数据求平均数和方差，是基础题来源:Zxxk.Com7（5分）在ABC中，ABC=60，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，使ABD为钝角三角形的概率为考点：几何概型 专题：概率与统计分析：分别作出两个直角三角形，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式即可得到结论解答：解：过A作AEBC，则BE=，过A作AFAB，则BF=2AB=4，若使ABD为钝角三角形，则D在BE上或者FC上，则对应的概率P=，故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率公式，求出对应的长度是解决本题的关键8
16、（5分）若抛物线y2=2px（p0）的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=4考点：抛物线的简单性质；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由椭圆得到a2=6，b2=2，解得，可得椭圆的右焦点为F（c，0），即为抛物线的焦点，可得，解得p即可解答：解：由椭圆得到a2=6，b2=2，解得=2椭圆的右焦点为F（2，0），即为抛物线的焦点，解得p=4故答案为：4点评：本题考查了抛物线与椭圆的标准方程及其性质，属于基础题9（5分）已知向量，满足+=0，且与的夹角为60，|=|，则与的夹角为150考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：设ABC中，=，=，=，令|=1，则|=，
17、如图：则ABC=120，为所求再由正弦定理可得 =，求得sin（120）=，可得的值解答：解：向量，满足+=0，且与的夹角为60，设ABC中，=，=，=，令|=1，则|=，如图所示：可得ABC=120，为所求ABC中，由正弦定理可得 =，即 =，求得sin（120）=，=150，故答案为：150点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，正弦定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于基础题10（5分）已知a、b、x是实数，函数f（x）=x22ax+1与函数g（x）=2b（ax）的图象不相交，记参数a、b所组成的点（a，b）的集合为A，则集合A所表示的平面图形的面积为考点：简单线性
18、规划的应用 专题：计算题；函数的性质及应用分析：利用函数f（x）=x22ax+1与函数g（x）=2b（ax）的图象不相交，可得参数a、b所组成的点（a，b）的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆内部分，从而可求集合A所表示的平面图形的面积解答：解：函数f（x）=x22ax+1与函数g（x）=2b（ax）的图象不相交，方程x22ax+1=2b（ax）无解x22（ab）x+12ab=0无解0a2+b21参数a、b所组成的点（a，b）的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆内部分集合A所表示的平面图形的面积为故答案为：点评：本题考查函数图象，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11（5分）
19、若数列an满足a1=1，anan+1=2n，则S2012=3210063考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件得a1=1，a2=2，由已知条件得数列an的奇数列、偶数列分别成等比数列，由此能求出S2012解答：解：数列an满足a1=1，anan+1=2n，nN*n=1时，a2=2，anan+1=2n，n2时，anan1=2n1，数列an的奇数列、偶数列分别成等比数列，S2012=3210063故答案为：3210063点评：本题考查数列的前2012项的和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用12（5分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最
20、小的圆的方程为（x1）2+（y2）2=5考点：圆的标准方程 专题：计算题分析：根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可解答：解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a0得到：d=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为
21、，则所求圆的方程为：（x1）2+（y2）2=5故答案为：（x1）2+（y2）2=5点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题13（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意xR都有f（x）=f（x+4），当 x（2，0）时，f（x）=2x，则ff的值为考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性；函数的值 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据题意，可得函数f（x）是周期为4的函数，所以f=f（0）=0，f=f（1）=21，从而得出ff的值解答：解：对任意xR都有f（x）=f（x+4），函数f（x）是周期为
22、4的函数故f=f（0），f=f（1）又f（x）是定义在R上的奇函数，且当 x（2，0）时，f（x）=2x，f（0）=0，f（1）=21=因此ff=0=故答案为：点评：本题给出具有周期的奇函数，求给定的函数值，着重考查了函数的奇偶性和周期性等知识点，属于基础题14（5分）定义方程f（x）=f（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=2x，h（x）=lnx，（x）=x3（x0）的“新驻点”分别为a、b、c，则a、b、c由大到小排列为c，b，a考点：导数的运算 专题：导数的综合应用分析：函数g（x）=2x，可得g（x）=2，由g（x）=g（x），可得a=1h（x）=lnx，可得
23、，由lnx=，x0令u（x）=lnx（x1），可知函数u（x）单调递增，由于u（1）u（2）0，可得函数u（x）的唯一零点b（1，2）（x）=x3（x0），（x）=3x2，由x3=2x2（x0），可得c=2解答：解：函数g（x）=2x，可得g（x）=2，由2x=2，解得x=1，a=1来源:Zxxk.Comh（x）=lnx，可得，由lnx=，x0令u（x）=lnx（x1），可知函数u（x）单调递增，u（1）=1，u（2）=ln2=0，函数u（x）的唯一零点b（1，2）（x）=x3（x0），（x）=3x2，由x3=2x2（x0），解得x=2即c=2综上可得：cba故答案为：c，b，a点评：本题考查
24、了导数的运算法则、新定义“驻点”、函数零点的判定定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共计70分15（14分）已知函数（1）求的值；（2）设，若，求的值考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的求值分析：（1）直接利用两角和的正切公式求出的值（2）由条件利用诱导公式求出tan=2，再利用同角三角函数的基本关系求出 ，再利用两角和的余弦公式求出的值解答：解：（1）=；来源:学科网（2）因为=tan（+）=tan=2所以，即sin=2cos因为sin2+cos2=1，由、解得因为，所以，所以=点评：本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同
25、角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力，属于中档题16（14分）如图，在四棱锥EABCD中，ABD为正三角形，EB=ED，CB=CD（1）求证：ECBD；（2）若ABBC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN平面BEC考点：平面与平面垂直的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）取BD的中点O，连接OE，OC，证明BD平面EOC，即可证明ECBD；（2）证明DN平面BEC；MN平面BEC，利用面面平行的判定定理，即可得证解答：证明：（1）取BD的中点O，连接OE，OC，则EB=ED，CB=CD，BDEO，BDCO，EOC
26、O=O，BD平面EOC，EC平面EOC，ECBD；（2）ABD为正三角形，N为AB的中点，DNAB，ABBC，DNBC，DN平面BEC，BC平面BEC，DN平面BEC；M，N分别为线段AE，AB的中点，MNBE，MN平面BEC，BE平面BEC，MN平面BEC；DNMN=N，平面DMN平面BEC点评：本题主要考查平面图形中的线线关系，线面平行和线面垂直的判定宝理熟练掌握线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理是解题的关键17（14分）给定椭圆C：+=1（ab0）称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到点F的距离为（1）求椭圆C的方程和其“准
27、圆”方程；（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题意可得，c=，a=，则b2=a2c2=1，从而得到椭圆方程和其“准圆”方程；（2）讨论当P在直线x=上时，显然不垂直；当P不在直线x=上时，设出直线方程，联立椭圆方程，消去y，得到关于x的方程，运用判别式为0，化简整理，得到关于k的方程，求出两根之积，判断是否为1，即可判断l1，l2垂直解答：解：（1）由题意可得，c=，=a=，则b2=
28、a2c2=1，则椭圆C的方程为+y2=1其“准圆”方程为x2+y2=4来源:学*科*网Z*X*X*K（2）设P（，1），则过P的直线l1：x=，则l2的斜率k0，即它们不垂直；设P（m，n）（m），m2+n2=4，过P的直线为yn=k（xm），联立椭圆方程，消去y，得到（1+3k2）x2+6k（nkm）x+3（nkm）23=0，由于直线与椭圆C都只有一个交点，则=0，即36k2（nkm）24（1+3k2）3（nkm）21=0，化简得，（3m2）k2+2kmn+1n2=0，k1k2=1即l1，l2垂直综上，当P在直线x=上时，l1，l2不垂直；当P不在直线x=上时，l1，l2垂直点评：本题考查了
29、椭圆的简单几何性质，考查了两直线的位置关系，直线和椭圆的位置关系，方法是联立直线和圆椭圆方程，利用整理后的一元二次方程的判别式求解此题属中档题18（16分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析函数y=是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数y=作为奖励函数模型，试确定
30、最小的正整数a的值考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题分析：（1）设奖励函数模型为y=f（x），根据奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）9，同时奖金不超过投资收益的20%，即f（x）对于函数模型，由一次函数的性质研究，是否满足第一，二两个条件，利用反例研究是否满足第三个条件；（2）对于函数模型f（x）=，即f（x）=10当3a+200，即a时递增，利用f（1000）9，即可确定a的范围，从而可求满足条件的最小的正整数a的值解答：解：（1）设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：当x10，100
31、0时，f（x）是增函数；f（x）9恒成立；f（x）恒成立对于函数模型f（x）=：当x10，1000时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（1000）=+2=+29所以f（x）9恒成立因为x=10时，f（10）=，所以，f（x）不恒成立故该函数模型不符合公司要求；（2）对于函数模型f（x）=，即f（x）=10当3a+200，即a时递增，为要使f（x）9对x10，1000时恒成立，即f（1000）93a+181000，a为要使f（x）对x10，1000时恒成立，即，x248x+15a0恒成立，a综上，a，所以满足条件的最小的正整数a的值为328点评：本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数
32、的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化19（16分）设数列an的前n项和为Sn，且满足（1）求数列an的通项公式；（2）在数列an的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列bn，在an和an+1两项之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，求b2012的值；（3）对于（2）中的数列bn，若bm=an，并求b1+b2+b3+bm（用n表示）考点：数列的求和；等差数列的性质；数列递推式 专题：综合题分析：（1）2an+1Sn+1=1与2anSn=1相减，可得数列an是首项为1，
33、公比为2的等比数列，从而可求数列an的通项公式；（2）设an和an+1两项之间插入n个数后，可求得，又（1+2+3+61）+61=1952，20121952=60，从而可求b2012的值；（3）依题意，b1+b2+b3+bm=，考虑到an+1=2an，令M=3a1+5a2+7a3+（2n+1）an，则2M=3a2+5a3+7a4+（2n+1）an+1，求出M=（2n1）2n+1，即可得到结论解答：解：（1）当n=1时，2a1S1=1，a1=1来源:Z*xx*k.Com又2an+1Sn+1=1与2anSn=1相减得：an+1=2an，故数列an是首项为1，公比为2的等比数列，所以；（4分）（2）
34、设an和an+1两项之间插入n个数后，这n+2个数构成的等差数列的公差为dn，则，又（1+2+3+61）+62=1952，20121952=60，故（9分）（3）依题意，b1+b2+b3+bm=，考虑到an+1=2an，令M=3a1+5a2+7a3+（2n+1）an，则2M=3a2+5a3+7a4+（2n+1）an+12MM=2（a1+a2+a3+an）a1+（2n+1）an+1M=（2n1）2n+1，所以（14分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，正确理解题意，选择正确的方法是关键20（16分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C（
35、1）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2问：是否存在常数，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：压轴题；导数的综合应用分析：（1）先求原函数的导数，根据f（x）0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）
36、=x0与f（x0）=0同时成立，则存在唯一的实数根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于的方程，有解则存在，无解则不存在解答：解：（1）当a=2时，函数f（x）=x3+x22x+b则f（x）=3x2+5x2=（3x1）（x+2）令f（x）0，解得2x，所以f（x）的单调递减区间为（2，）；（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，则即x3+x2+（3x25x1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故
37、b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+x2+x，则y=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=或x=，则函数y=2x3+x2+x在（，），（，+）上是增函数，在（，）上是减函数，由于x=时，y=；x=时，y=；故实数b的取值范围为：（，）（，+）；（3）设点A（x0，f（x0），则在点A处的切线l1的切线方程为yf（x0）=f（x0）（xx0），与曲线C联立得到f（x）f（x0）=f（x0）（xx0），即（x3+x2+ax+b）（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（xx0），整理得到（xx0）2x+（2x0+）=0，故点B的横坐标为xB=（2
38、x0+）由题意知，切线l1的斜率为k1=f（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率为k2=f（2x0+）=12x02+20x0+a，若存在常数，使得k2=k1，则12x02+20x0+a=（3x02+5x0+a），即存在常数，使得（4）（3x02+5x0）=（1）a，故，解得=4，a=，故a=时，存在常数=4，使得k2=4k1；a时，不存在常数，使得k2=4k1点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决三、（附加题共40分）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答若多做，则按作答的前两
39、题评分【选修4-1：几何证明选讲】21（10分）如图，AB是O的一条直径，C，D是O上不同于A，B的两点，过B作O的切线与AD的延长线相交于点M，AD与BC相交于N点，BN=BM（1）求证：NBD=DBM；（2）求证：AM是BAC的角平分线考点：圆周角定理 专题：立体几何分析：（1）利用圆的直径的性质和等腰三角形的性质 即可得出（2）利用弦切角定理和同弧所对的圆周角相等即可得出解答：证明：（1）BN=BM，又AB是O的一条直径，ADB=90NBD=DBM；（2）BM是O的切线，MBD=DABDBC与FAC所对的圆弧都是DBC=FAC，NBD=DBM，DAC=DABAM是BAC的角平分线点评：本
40、题考查了圆的直径的性质和等腰三角形的性质、弦切角定理和同弧所对的圆周角相等，属于基础题【选修42：矩阵与变换】22（10分）选修42：矩阵与变换若二阶矩阵M满足（）求二阶矩阵M；（）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程考点：矩阵变换的性质 专题：选作题；矩阵和变换分析：（）先求矩阵的逆矩阵，即可求二阶矩阵M；（）设二阶矩阵M所对应的变换为，根据矩阵变换求出坐标之间的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可解答：解：（）记矩阵，故|A|=2，故2分由已知得3分（）设二阶矩阵M所对应的变换为，得，解得，5分又3x2+8xy+6y2=1，故有3（x+2y）2+8（x
41、+2y）（xy）+6（xy）2=1，化简得x2+2y2=1故所得曲线的方程为x2+2y2=17分点评：本题主要考查来了逆矩阵与矩阵变换的性质，熟练掌握矩阵的运算法则是解答的关键，属于基础题【选修44：坐标系与参数方程】23选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线L：sin2=2cos，过点A（5，）（为锐角且）作平行于的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点（）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；（）求|BC|的长考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系；点的极坐标和直角坐标的互化 专题：直线与圆分析：（）先求
42、的点A的直角坐标为（4，3），求得曲线L的普通方程为：y2=2x，由于直线l的斜率为1，且过点A（4，3），由点斜式求得直线l的普通方程为y=x1（）把曲线L的方程和直线l的方程联立方程组，化为一元二次方程，利用韦达定理求出x1+x24和x1x2的值，再利用弦长公式求得|BC|的值解答：解：（）由题意得，点A的直角坐标为（4，3），曲线L即 2 sin2=2cos，它的普通方程为：y2=2x，由于直线l的斜率为1，且过点A（4，3），故直线l的普通方程为：y3=x4，即y=x1（）设B（x1，y1）、C（x2，y2），由 可得 x24x+1=0，由韦达定理得x1+x2=4，x1x2=1，由弦长
43、公式得点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，弦长公式的应用，属于基础题【选修45：不等式选讲】24设函数f（x）=|x1|，g（x）=|x2|（）解不等式f（x）+g（x）2；（）对于实数x，y，若f（x）1，g（y）1，求证|x2y+3|3考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数 专题：计算题；压轴题分析：（1）令y=|x1|+|x2|，则 y=，作出函数y=|x1|+|x2|的图象，它与直线y=2的交点为和，由此得到不等式的解集（）因为|x2y+3|=|（x1）2（y2）|x1|+2|y2|=f（x）+2g（y），再根据f（x）1，g（y）1证得结论解答：解：（1）令y=|
44、x1|+|x2|，则 y=，作出函数y=|x1|+|x2|的图象，它与直线y=2的交点为和所以f（x）+g（x）2的解集为（5分）（）因为|x2y+3|=|（x1）2（y2）|x1|+2|y2|=f（x）+2g（y）3，所以|x2y+3|3成立（10分）点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的性质应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题四、附加题【必做题】第25题，第26题，每题10分，共计20分25（10分）某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止李明决定参加驾
45、照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9（）求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的数学期望；（）求李明在一年内领到驾照的概率考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题；概率与统计分析：（）X的取值为1，2，3，4分别求出P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X的分布列和EX（）利用间接法，能够求出李明在一年内领到驾照的概率解答：解（本小题满分13分）（）X的取值为1，2，3，4（2分）P（X=1）=0.6，P（X=2）=（10.6）0.7=0.28，P（X=3）=（10.6）（10.7）0.8=
46、0.096，P（X=4）=（10.6）（10.7）（10.8）=0.024（6分）X的分布列为：X1234P0.60.280.0960.024（8分）所以，EX=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544（10分）（）李明在一年内领到驾照的概率为：P=1（10.6）（10.7）（10.8）（10.9）=0.9976（13分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年2015届高考的必考题型之一解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用26（10分）已知点A（1，0），F（1，0），动点P满足（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）在直线l：y=2x+2上取一点
47、Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N问：是否存在点Q，使得直线MNl？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由考点：圆与圆锥曲线的综合 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设出P的坐标，利用动点P满足，建立方程，化简可得结论；（2）求出过点M、N的切线方程，可得直线MN的方程，利用MNl，可求点Q的坐标解答：解：（1）设P（x，y），则点A（1，0），F（1，0），动点P满足，（x+1，y）（2，0）=2，2（x+1）=2，y2=4x；（2）直线l方程为y=2（x+1），设Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）过点M的切线方程设为xx1=m（yy1），代入y2=4x，得=0，由=，得，所以过点M的切线方程为y1y=2（x+x1），同理过点N的切线方程为y2y=2（x+x2）所以直线MN的方程为y0y=2（x0+x），又MNl，所以，得y0=1，而y0=2（x0+1），故点Q的坐标为（，1）点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的切线，考查学生分析解决问题的能力，求出直线MN的方程是关键
