1、1归纳与类比1.1归纳推理1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.(重点)2.了解归纳推理在数学发展中的作用.(难点)基础初探教材整理归纳推理阅读教材P3P5，完成下列问题.1.归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理.2.归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理.()(2)由个别到一般的推理称为归纳推理.()(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确
2、的.()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型数式中的归纳推理(1)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10() 【导学号：94210000】A.28B.76C.123D.199(2)已知f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN)的表达式为_.【精彩点拨】(1)记anbnf(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论.(
3、2)写出前n项发现规律，归纳猜想结果.【自主解答】(1)记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.(2)f1(x)f(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳fn(x).【答案】(1)C(2)f3(x)fn(x)已
4、知等式或不等式进行归纳推理的方法：(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论.再练一题1.经计算发现下列不等式：2，2，2，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：_.【答案】当ab20时，有2，a，bR数列中的归纳推理(1)在数列an中，a11，an1，则a2 017等于()A.2B.C.2D.1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图111：图111由于图中1，3，6，10这些数能够表示成三角
5、形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数.【精彩点拨】(1)写出数列的前n项，再利用数列的周期性解答.(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如11，312，6123；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数.【自主解答】(1)a11，a2，a32，a41，数列an是周期为3的数列，2 01767231，a2 017a11.【答案】D(2)法一：由11，312，6123，101234，可归纳出第n个三角形数为123n.法二观察项数与对应项的关系特点如下：项数1234对应项分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数
6、加1的积.归纳：第n个三角形数的石子数应为.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.再练一题2.已知数列an满足a11，an12an1(n1，2，3，)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an. 【导学号：94210001】【解】(1)当n1时，知a11，由an12an1，得a23，a37，a415，a531.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a5312
7、51，可归纳猜想出an2n1(nN).探究共研型几何图形中的归纳推理探究1在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2，3，4，堆最底层(第一层)分别按图112所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值.图112【提示】观察图形可知，f(1)1，f(2)4，f(3)10，f(4)20.探究2上述问题中，试用n表示出f(n)的表达式.【提示】由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆
8、第一层的个数，即f(2)f(1)3；f(3)f(2)6；f(4)f(3)10；f(n)f(n1).将以上(n1)个式子相加可得f(n)f(1)3610(1222n2)(123n).有两种花色的正六边形地面砖，按如图113的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()图113A.26 B.31C.32D.36【精彩点拨】解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论.【自主解答】法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(6
9、1)31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：65(61)31.【答案】B归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是： 再练一题3.根据图114中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为_.图114【解析】分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形到
10、中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1223，5233，13243，29253，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为2813509.【答案】509构建体系1.用火柴棒摆“金鱼”，如图115所示：图115按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A.6n2B.8n2C.6n2D.8n2【解析】a18，a214，a320，猜想an6n2.【答案】C2.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【解析】n2时，可以；n3时，为正三角形，可以；n4时，为正四面体，可以；n5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长
11、与边长相等，不可能.【答案】B3.已知12123，1222235，122232347，12223442459，则1222n2_.(其中nN*).【解析】根据题意归纳出1222n2n(n1)(2n1)，下面给出证明：(k1)3k33k23k1，则2313312311，3323322321，(n1)3n33n23n1，累加得(n1)3133(1222n2)3(12n)n，整理得1222n2n(n1)(2n1)，故填n(n1)(2n1).【答案】n(n1)(2n1)4.观察下列等式：11234934567254567891049照此规律，第五个等式应为_. 【导学号：94210002】【解析】由于1
12、12，234932，345672552，456789104972，所以第五个等式为56789101112139281.【答案】5678910111213815.有以下三个不等式：(1242)(9252)(1945)2，(6282)(22122)(62812)2，(202102)(102272)(20102107)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论.【解】结论为：(a2b2)(c2d2)(acbd)2.证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c2b2d22abcd)a2d2b2c22abcd(adbc)20.所以(a2b2)(c2d2)(acbd)2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)
