1、3.1.2空间向量的基本定理课时过关能力提升1.AM是ABC中BC边上的中线,设AB=e1,AC=e2,则AM为()A.e1+e2B.12e1-12e2C.e1-e2D.12e1+12e2答案:D2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6OP=OA+2OB+3OC,则()A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面C.O,P,B,C共面D.O,P,A,B,C五点共面解析:由6OP=OA+2OB+3OC,得OP-OA=2(OB-OP)+3(OC-OP),即AP=2PB+3PC,AP,PB,PC共面.又它们有同一公共点P,P,A,B,C四点共面.答案:B3.已知a,b,c共面,b,c
2、,d也共面,则下列说法正确的是()A.若b与c不共线,则a,b,c,d共面B.若b与c共线,则a,b,c,d共面C.当且仅当c=0时,a,b,c,d共面D.若b与c不共线,则a,b,c,d不共面答案:A4.非零向量e1,e2不共线,使ke1+e2与e1+ke2共线的k=.解析:ke1+e2与e1+ke2共线,则存在唯一的实数x,使ke1+e2=x(e1+ke2),则k=x,1=kxk=1.答案:15.已知D,E,F分别是ABC中BC,CA,AB上的点,且BD=13BC,CE=13CA,AF=13AB,设AB=a,AC=b,则DE=.答案:13b-23a6.已知G是ABC的重心,点O是空间任意一
3、点,若OA+OB+OC=OG,则=.答案:37.三条射线AB,BC,BB1不共面,若四边形BB1A1A和四边形BB1C1C的对角线均互相平分,且AC1=xAB+2yBC+3zCC1,求x+y+z的值.解:由题意知AB,BC,BB1不共面,四边形BB1C1C为平行四边形,CC1=BB1,AB,BC,CC1为一个基底.又由向量加法AC1=AB+BC+CC1,x=2y=3z=1.x=1,y=12,z=13,x+y+z=116.8.已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD.求证:(1)点E,F,G,H共面;(2)AB平面EG.分析:(1)要
4、证E,F,G,H四点共面,可先证向量EG,EF,EH共面,即只需证EG可以用EF,EH线性表示;(2)可证明AB与平面EG中的向量EF或EG,EH之一共线.证明:(1)OA+AB=OB,kOA+kAB=kOB.而OE=kOA,OF=kOB,OE+kAB=OF.又OE+EF=OF,EF=kAB.同理:EH=kAD,EG=kAC.ABCD是平行四边形,AC=AB+AD,EGk=EFk+EHk,即EG=EF+EH.又它们有同一公共点E,点E,F,G,H共面.(2)由(1)知EF=kAB,ABEF.又AB平面EG,AB与平面EG平行,即AB平面EG.9.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA
5、平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且M分PC成定比2,N分PD成定比1,求满足MN=xAB+yAD+zAP的实数x,y,z的值.分析:结合图形,从向量MN出发,利用向量运算法则不断进行分解,直到全部向量都用AB,AD,AP表示出来,即可求出x,y,z的值.解法一如图所示,取PC的中点E,连接NE,则MN=EN-EM.EN=12CD=12BA=-12AB,EM=PM-PE=23PC-12PC=16PC,MN=-12AB-16PC.连接AC,则PC=AC-AP=AB+AD-AP,MN=-12AB-16(AB+AD-AP)=-23AB-16AD+16AP,x=-23,y=-16,z=16.解法二如图所示,在PD上取一点F,使F分PD所成比为2,连接MF,则MN=MF+FN,而MF=23CD=-23AB,FN=DN-DF=12DP-13DP=16DP=16(AP-AD),MN=-23AB-16AD+16AP,x=-23,y=-16,z=16.解法三MN=PN-PM=12PD-23PC=12(PA+AD)-23(PA+AC)=-12AP+12AD-23(-AP+AB+AD)=-23AB-16AD+16AP,x=-23,y=-16,z=16.
