1、2016-2017学年河南省新乡市原阳一中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在ABC中，a=10，B=60，C=45，则c等于（）ABCD2在ABC中，b=，c=3，B=30，则a等于（）AB12C或2D23数列1，3，6，10，的一个通项公式是（）Aan=n2n+1Ban=Can=Dan=n2+14已知数列an的首项为a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第4项是（）A1BCD5在ABC中，A=60，b=1，其面积为，则等于（）A3BCD6数列an中，a1=1，对于所有的n2，nN都有
2、a1a2a3an=n2，则a3+a5等于（）ABCD7在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形8等差数列an中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A15B30C31D649设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A1B2C4D610在数列an中，a1=15，3an+1=3an2，（nN+）则该数列中相邻的两项乘积是负数的项是（）Aa21和a22Ba22和a23Ca23和a24Da24和a2511在ABC中，tanAsin2B=tanBsin2A，那
3、么ABC一定是（）A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形12an为等差数列，Sn为其前n项和，若a10，d0，S4=S8，则Sn0成立的最大自然数n为（）A11B12C13D14二、填空题13.在ABC中，有等式：asinA=bsinB；asinB=bsinA；acosB=bcosA；其中恒成立的等式序号为14等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a7+a11=6，则S13=15在ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于16在等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是三、解答题（本大题
4、共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）在ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，试判断ABC的形状18（12分）已知数列an的前n项和公式为Sn=2n230n（1）求数列an的通项公式an；（2）求Sn的最小值及对应的n值19（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）若，c=5，求b20（12分）数列an中，a1=8，a4=2，且满足an+22an+1+an=0，nN*（1）求数列an的通项；（2）设Sn=|a1|+|a2|+|an|，求Sn21（12分）一艘客轮在航海中遇险，
5、发出求救信号在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向一小岛靠近已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；（2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在ABC中，求角B的正弦值22（12分）在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，边c=，且tanA+tanB=tanAtanB，又ABC的面积为SABC=，求a+b的值2016-2017学年河南省新乡市原阳一中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共1
6、2个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在ABC中，a=10，B=60，C=45，则c等于（）ABCD【考点】正弦定理【分析】先求A，再利用正弦定理可求【解答】解：由题意，A=75根据正弦定理得：，即，故选B【点评】此题考查了正弦定理的应用，考查了特殊角的三角函数值，是一道基础题2在ABC中，b=，c=3，B=30，则a等于（）AB12C或2D2【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：b=，c=3，B=30，由余弦定理b2=a2+c22acco
7、sB得：（）2=a2+323a，整理得：a23a+6=0，即（a）（a2）=0，解得：a=或a=2，则a=或2故选C【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键本题a有两解，注意不要漏解3数列1，3，6，10，的一个通项公式是（）Aan=n2n+1Ban=Can=Dan=n2+1【考点】数列的概念及简单表示法【分析】仔细观察数列1，3，6，10，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+n=，便可求出数列的通项公式【解答】解：仔细观察数列1，3，6，10，可以发现：1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2
8、+3+4 第n项为1+2+3+4+n=，数列1，3，6，10，的通项公式为an=，故答案为an=【点评】本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，属于基础题4已知数列an的首项为a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第4项是（）A1BCD【考点】数列的概念及简单表示法【分析】利用递推关系即可得出【解答】解：a1=1，且满足an+1=an+，则=1，同理可得：a3=，a4=故选：B【点评】本题考查了数列递推关系与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5在ABC中，A=60，b=1，其面积为，则等于（）A3BCD【考点】正弦定理【分析】由A的度数求出sinA和cosA
9、的值，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把b，sinA及已知的面积代入求出c的值，再由cosA，b，c的值，利用余弦定理求出a的值，由a及sinA的值，根据正弦定理求出三角形ABC外接圆的直径2R，根据等比合比性质即可求出所求式子的值【解答】解：A=60，b=1，其面积为，S=bcsinA=c=，即c=4，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=1+164=13，a=，由正弦定理得： =2R=，则=2R=故选B【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，等比合比的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键6数列an中，a1=1，对于所有的n2，nN
10、都有a1a2a3an=n2，则a3+a5等于（）ABCD【考点】数列的概念及简单表示法【分析】由n2，nN时a1a2a3an=n2得当n3时，a1a2a3an1=（n1）2然后两式相除an=（）2，即可得a3=，a5=从而求得a3+a5=【解答】解：当n2时，a1a2a3an=n2当n3时，a1a2a3an1=（n1）2两式相除an=（）2，a3=，a5=a3+a5=故选A【点评】本题考查了数列的概念及简单表示法，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力是基础题7在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是（）A等腰直角三角
11、形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断；同角三角函数间的基本关系；正弦定理【分析】根据a=2bcosC得到bcosC=，然后根据三角函数定义，得到bcosC=CD=，得到D为BC的中点，根据全等得到三角形ABC为等腰三角形【解答】解：过A作ADBC，交BC于点D，在直角三角形ACD中，cosC=得CD=bcosC，而a=2bcosC得bcosC=，所以CD=AD=AD，ADB=ADC=90，BD=CD得到三角形ABD三角形ACD，所以b=c，三角形ABC为等腰三角形故选C【点评】考查学生利用三角函数解直角三角形的能力掌握用全等来证明线段相等的方法8等差数列an中，
12、a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A15B30C31D64【考点】等差数列的性质【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8再由a4=1=a1+3d，可得 a1=，d=故 a12 =a1+11d=+=15，故选：A【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于基础题9设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A1B2C4D6【考点】等差
13、数列的性质【分析】由等差数列的性质可得a1+a3=2a2，又已知a1+a2+a3=12，可得a2=4，故条件转化为a1+a3=8，a1a3=12，解方程即可求出a1【解答】解：设an的前3项为a1，a2，a3，则由等差数列的性质可得a1+a3=2a2，a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，由题意可得，解得或，an是递增等差数列，a1=2，a3=6，故选B【点评】本题考查了等差数列的通项公式与等差数列的性质，应用了解方程思想，是高考重点考查的内容10在数列an中，a1=15，3an+1=3an2，（nN+）则该数列中相邻的两项乘积是负数的项是（）Aa21和a22Ba22和a23Ca23和
14、a24Da24和a25【考点】等差数列的通项公式【分析】把等式3an+1=3an2变形后得到an+1an等于常数，即此数列为首项为15，公差为的等差数列，写出等差数列的通项公式，令通项公式小于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的最小正整数解，即可得到从这项开始，数列的各项为负，这些之前各项为正，得到该数列中相邻的两项乘积是负数的项【解答】解：由3an+1=3an2，得到公差d=an+1an=，又a1=15，则数列an是以15为首项，为公差的等差数列，所以an=15（n1）=n+，令an=n+0，解得n，即数列an从24项开始变为负数，所以该数列中相邻的两项乘积是负数的项是a23和a24故
15、选C【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，掌握确定一个数列为等差数列的方法，是一道综合题11在ABC中，tanAsin2B=tanBsin2A，那么ABC一定是（）A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】把原式利用同角三角函数间的基本关系变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B为三角形的内角，得到2A与2B相等或互补，从而得到A与B相等或互余，即三角形为等腰三角形或直角三角形【解答】解：原式tanAsin2B=tanBsin2A，变形为： =，化简得：sinBcosB=sinAcosA，即sin2B=sin2A，即sin
16、2A=sin2B，A和B都为三角形的内角，2A=2B或2A+2B=，即A=B或A+B=，则ABC为等腰三角形或直角三角形故选D【点评】此题考查了三角形形状的判断，熟练掌握三角函数的恒等变换把原式化为sin2A=sin2B是解本题的关键12an为等差数列，Sn为其前n项和，若a10，d0，S4=S8，则Sn0成立的最大自然数n为（）A11B12C13D14【考点】等差数列的性质；数列的函数特性【分析】根据S4=S8得a5+a6+a7+a8=0，再由性质得a6+a7=0，代入前n项和公式得S12=0，再根据等差数列中a10，d0判断即可【解答】解：由S4=S8得，a5+a6+a7+a8=0，即a6
17、+a7=0，又a10，d0，S12=6（a6+a7）=0，则当n12时，Sn0；当n12时，Sn0，即Sn0成立的最大自然数n为11故选A【点评】本题考查了等差数列的性质和性质的灵活应用，以及由“a10，d0”判断前n项和的符号问题，属于中档题二、填空题13.在ABC中，有等式：asinA=bsinB；asinB=bsinA；acosB=bcosA；其中恒成立的等式序号为【考点】三角函数恒等式的证明【分析】利用正弦定理判断三角形是等腰三角形，即可判断正误；对于满足正弦定理判断正确；对于通过正弦定理转化，得到三角形不满足一般三角形，判断正误；对于通过正弦定理与合分比定理即可判断它的正误【解答】解
18、：对于，由正弦定理可知asinA=bsinB，推出A=B，三角形是等腰三角形，所以不正确；对于asinB=bsinA，即sinAsinB=sinBsinA，恒成立，所以正确；对于acosB=bcosA可得sin（BA）=0，不满足一般三角形，所以不成立，不正确；对于由正弦定理以及合分比定理可知正确；故答案为：【点评】本题考查正弦定理的应用，合分比定理的应用，考查三角形的判断，基础题14等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a7+a11=6，则S13=26【考点】等差数列的性质【分析】等差数列an中，由a3+a7+a11=6，解得a7=2，再由等差数列的通项公式和前n项和公式能求出S13【解答】
19、解：等差数列an中，a3+a7+a11=6，3a7=6，解得a7=2，S13=（a1+a13）=13a7=132=26故答案为：26【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道基础题15在ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于【考点】正弦定理【分析】直接利用正弦定理，转化角为边的关系，利用大边对大角，余弦定理可求cosC的值，结合C的范围即可得解【解答】解：sinA：sinB：sinC=3：5：7，由正弦定理可得：a：b：c=3：5：7，C为最大角，a=，b=，由余弦定理可得：cosC=，C（0，），C
20、=故答案为：【点评】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的解法，考查计算能力，属于基础题16在等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6【考点】等差数列的性质【分析】根据d0，|a3|=|a9|，判断出a3=a9，进而根据等差数列的通项公式求得a1+5d=0，判断出a6=0进而可知从数列的第7项开始为负，进而可判断出前n项和Sn取得最大值的自然数n的值【解答】解：d0，|a3|=|a9|，a3=a9，a1+2d=a18d，a1+5d=0，a6=0，an0（1n5），Sn取得最大值时的自然数n是5或6故答案为：5或6【点评】本
21、题主要考查等差数列的性质考查了学生分析问题和解决问题的能力三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）（2012秋盐津县期末）在ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，试判断ABC的形状【考点】正弦定理【分析】由条件利用正弦定理可得a2=bc，再由2a=b+c可得b=c=a，可得ABC为等边三角形【解答】解：在ABC中，由sin2A=sinBsinC，利用正弦定理可得a2=bc又已知2a=b+c，故有4a2=（b+c）2，化简可得（bc）2=0，b=c再由2a=b+c可得a=b，从而有a=b=c，故ABC为等边三角形【点评】本
22、题主要考查正弦定理的应用，属于中档题18（12分）（2016秋原阳县校级月考）已知数列an的前n项和公式为Sn=2n230n（1）求数列an的通项公式an；（2）求Sn的最小值及对应的n值【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性；等差数列的通项公式【分析】（1）利用递推式即可得出；（2）利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1）当n=1时，a1=230=28；当n2时，an=SnSn1=2n230n2（n1）230（n1）=4n32，当n=1时上式也成立，an=4n32（2）Sn=2n230n=2当n=7或8时，Sn取得最小值，为112【点评】本题考查了递推式的应用、二次函数的单调性，考
23、查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）（2007全国卷）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）若，c=5，求b【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由ABC为锐角三角形可得答案（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值【解答】解：（）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形得（）根据余弦定理，得b2=a2+c22accosB=27+2545=7所以，【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的
24、应用在解三角形中正余弦定理应用的很广泛，一定要熟练掌握公式20（12分）（2016春西安校级期中）数列an中，a1=8，a4=2，且满足an+22an+1+an=0，nN*（1）求数列an的通项；（2）设Sn=|a1|+|a2|+|an|，求Sn【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）首先判断数列an为等差数列，由a1=8，a4=2求出公差，代入通项公式即得（2）首先判断哪几项为非负数，哪些是负数，从而得出当n5时，Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a5（a6+a7+an）求出结果；当n5时，Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an当，再利用等差数列的前n项和公式
25、求出答案【解答】解：（1）由题意，an+2an+1=an+1an，数列an是以8为首项，2为公差的等差数列an=102n，nN（2）（2）an=102n，令an=0，得n=5当n5时，an0；当n=5时，an=0；当n5时，an0当n5时，Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a5（a6+a7+an）=T5（TnT5）=2T5Tn，Tn=a1+a2+an当n5时，Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=Tn【点评】考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，求出公差，用代入法直接可求；（2）问的关键是断哪几项为非负数，哪些是负数，属于中档题21（12分）（2016秋原阳县校
26、级月考）一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向一小岛靠近已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；（2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在ABC中，求角B的正弦值【考点】解三角形的实际应用【分析】（1）设搜救艇追上客轮所需时间为t小时，两船在C处相遇由余弦定理得：BC2=AB2+AC22ABACcosBAC，可得t的方程，即可得出结论；（2）利用正弦定理，即可得出结论【解答】解：（1）设搜救艇追
27、上客轮所需时间为t小时，两船在C处相遇在ABC中，BAC=45+75=120，AB=10，AC=9t，BC=21t由余弦定理得：BC2=AB2+AC22ABACcosBAC，所以，化简得36t29t10=0，解得或（舍去）所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时（2）由，在ABC中，由正弦定理得所以角B的正弦值为【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查特殊角的三角函数准确找出题中的方向角是解题的关键之处22（12分）（2016秋原阳县校级月考）在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，边c=，且tanA+tanB=tanAtanB，又ABC的面积为SABC=，求a+b的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由已知利用两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式化简可得，结合C（0，），可得C的值，利用三角形的面积公式可求ab=6，又由余弦定理可得，进而可解得a+b的值【解答】解：由，可得，即，C（0，），又ABC的面积为，即，ab=6又由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC，a+b0，【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题
