1、河南省新乡市2020届高三数学第二次模拟考试试题 文（含解析）考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】找两个集合的公共元素.【详解】，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查理解辨析能力，是基础题.2.（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】复数的乘法类似于多项式乘多项式，遇到
2、化为.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查运算求解能力，是基础题.3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的实轴长为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】双曲线的焦点在轴上，通过近线方程可得与的关系，已知，可求出的值.详解】由题意可得，解得，则该双曲线的实轴长为.故选：D.【点睛】本题考查用双曲线的标准方程和渐进线的方程求实轴长，需注意实轴长是，而不是，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.4.已知，则（ ）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】分子分母同除，利用同角三角函数的基本关系式化简求值.【详解】.故选：C.【点睛】本题考
3、查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查运算求解能力，是基础题.5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较的大小.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.6.下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据下图中的信息，下面说法错误的是（ ）A. 甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B. 甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C. 甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同
4、D. 甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差【答案】B【解析】【分析】通过雷达图分别求出甲、乙轮胎宽度的平均数、众数中位数和极差，对照选项选出错误的答案.【详解】由题意可知甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差是3；乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差是5；则A，C，D正确，B错误.故选：B.【点睛】本题考查用雷达图计算平均数、众数中位数和极差，需注意甲、乙数据不要搞混，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.7.函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用函数的奇偶性进行排除,再利用特殊取
5、值判断.【详解】即，所以是奇函数，排除A，B；当时，则，排除C.故选：D.【点睛】本题考查利用函数解析式判断函数图像，考查理解辨析能力和推理论证能力，是基础题.8.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的侧面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别设出圆柱的底面半径和高，由已知列出关于底面半径和高的方程，解方程，最后可求圆柱的侧面积.【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为，由题意可得，解得，则该圆柱的侧面积是.故选：A.【点睛】本题考查圆柱表面积和轴截面周长的计算，考查运算求解能力和直观想象能力，是基础题.9.如图，是函数的图象与轴的两个相
6、邻交点，是函数的图象的一个最高点，若是等腰直角三角形，则函数的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过，是等腰直角三角形，可得长度，从而求出周期，由可得得值，再将代入计算的值，最后可得的解析式.【详解】由题意可得，因为是等腰直角三角，所以，所以，即则，故，将代入的解析式得，可得，解得，因为，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查三角函数识图求解析式，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.10.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率的精确度上，首次将“”精确到小数点后第七位，即
7、，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字，则事件“”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把第三到第八位6个有效数字两两组合，列出所有可能情况，找出符合要求事件个数，求概率.【详解】由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，则取到数字，的情况有，共15种，其中符合条件的有8种，故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查用列举法求古典概型的概率，考查数据处理能力和运算求解能力，是基础题.11.在直四棱柱中，四边形的外接圆的圆心在线段上.若四棱柱的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分
8、析】先确定直四棱柱底面外接圆圆心位置，在外接圆心处垂直底面竖直上升找到外接球球心，求出外接球半径，最后可求外接球体积.【详解】由题意可得和都是以为斜边的直角三角形，因，所以.因为，所以，所以四边形的面积,因为四棱柱的体积为36，所以，所以该四棱柱的外接球的半径，故该四棱柱的外接球的体积为.故选：C.【点睛】本题考查空间几何体外接球问题，关键是确定外接球球心位置，考查直观形象能力和运算求解能力，是中档题.12.若对任意实数，恒成立，则（ ）A. B. 0C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出当，当，判断函数的单调性求出函数的最值，推出令，不等式化为，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求
9、解函数的最小值，然后求解即可【详解】解：，则当，即时，则在，单调递减，故，解得，所以不符合题意；当，即时，在上单调递减，在，上单调递增，则因为，所以令，不等式可转化为，设，则，令，得；令，得，则在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值0，即，因为，所以，此时，故故选：【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查推理论证能力、运算求解能力和分类讨论思想，是难题.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量，若，则_.【答案】【解析】【分析】若，则.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查运算求解能力，
10、是基础题.14.若实数，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据不等式组作出可行域，结合可行域求目标函数最值.【详解】如图，可行域图中阴影部分，目标函数在点处取得最小值，.故答案为：.【点睛】本题考查线性规划求目标函数最值，考查运算求解能力和数形结合思想，是基础题.15.在中，内角，的对边分别为，.已知，且，则的面积的最大值是_.【答案】4【解析】【分析】利用正弦定理把已知等式角化边，并结合余弦定理可求得角；，利用基本不等式可得的最大值，最后可得的面积的最大值.【详解】因为，所以，即，所以，则.因为，所以（当且仅当时，等号成立），故的面积.故答案为：.【点睛】本题考查利用正、
11、余弦定理解三角形，并求三角形面积的最值，考查运算求解能力，是中档题.16.已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为，点在抛物线的准线上，且.若点到直线的距离是，则直线的斜率是_.【答案】【解析】【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出点坐标，可得点坐标，由直线点斜式方程设出直线的方程，利用点到直线的距离是，列等量关系，并结合点在抛物线上，可解出点坐标，最后可用斜率公式计算直线的斜率.【详解】由题意可知，设，则，直线的方程为，即，因为点到直线的距离是，所以，因为点在抛物线上，所以，所以，整理得，解得，所以，即，故直线的斜率是.故答案为：.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到直
12、线方程点到直线距离公式等知识，考查运算求解能力，是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在数列中，（且）.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用定义法证明数列是等比数列；（2）结合数列的通项公式，利用累加法可求得数列的通项公式.【详解】（1）证明：，又，；（，且），故数列是首项和公比都是2的等比数列；（2）解：由（1）可得，则（，且），故（，且），当时，满足上式，.【点睛】本题
13、考查了等比数列的证明方法定义法，等比数列通项公式，累加法求求通项公式，特别是累加法求通项要验证首项，考查理解辨析能力和运算求解能力，是中档题.18.如图1，在梯形中，且，是等腰直角三角形，其中为斜边.若把沿边折叠到的位置，使平面平面，如图2.（1）证明：；（2）若为棱的中点，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明平面，则有；（2）等体积法求点到平面的距离.【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，为斜边，.平面平面，平面平面，平面平面，平面，；（2）解：由（1）知，平面，由题意可得，则，为棱的中点，在中，即，则的面积为，设点到平面的距离为，.【点睛】本题考查线面
14、垂直的判定，面面垂直的性质，点到平面距离的求法，考查直观想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）讨论在上的零点个数.【答案】（1）当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，在上没有零点，当时，在上只有一个零点，当时，在上有两个零点.【解析】【分析】（1）利用函数的导函数，分类讨论参数，得出的单调性；（2）转化问题，原函数有零点即函数有解，求导得出的单调性和极值，分类讨论得出在上的零点个数.【详解】解：（1），当时，恒成立，在上单调递减，当时，令，得，令，得.在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递减，当时，
15、在上单调递增，在上单调递减；（2）令，得，设，则.令，得，令，得，在上单调递减，在上单调递增，则.当时，在上无解，所以在上没有零点；当时，在上有且仅一个解，所以在上有一个零点；当时，在上有两个解，所以在上有两个零点.综上，当时，在上没有零点；当时，在上只有一个零点；当时，在上有两个零点.【点睛】本题考查利用导数研究含参数的函数单调性，利用导数求函数单调性和极值讨论函数零点问题，考查了分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是中档题.20.某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（
16、单位：件）的数据如下表：日销售量406080100频数91263（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件.该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：日销售量507090110频数51582（）设该4S店试销结束后连
17、续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；（）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？【答案】（1）（2）（）万元（）每天应该批发两大箱【解析】【分析】（1）求出日销售总利润不低于24500元所需的日销售件数，得出符合要求的天数，可求对应频率；（2）每天的利润等于销售额加九折的转让费减成本，分别算出两大箱和两小箱30天的总利润作比较.【详解】解：（1）试销期间每个零件的利润为元，所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于，所求频率为.（2）（）批发两大箱，则批发成本为元，当日销售量50件时，当日利润为元；当日销售量为70
18、件时，当日利润为元；当日销售量为90件时，当日利润为元；当日销售量量为110件时，当日利润为元；所以这30天这款零件的总利润为万元.（）若批发两小箱，则批发成本为元，当日销售量为50件时，当日利润为元；当日销售量为70件时，当日利润为元；当日销售量为90件或110件时，当日利润为元.所以这30天这款零件的总利润为万元，93.32万元万元，每天应该批发两大箱.【点睛】本题考查频率的计算，销售利润的计算，运算难度不大，但是需要认真审题，考查数据处理能力和运算求解能力，是基础题.21.已知椭圆的离心率为，且四个顶点构成的四边形的面积是.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线经过点，且不垂直于轴，直线与椭
19、圆交于，两点，为的中点，直线与椭圆交于，两点（是坐标原点），若四边形的面积为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）离心率提供与的关系，四个顶点构成的四边形对角线互相垂直，列出等量关系求，的值；（2）直线经过点,由直线点斜式方程设出直线的方程，并设出直线与椭圆交点、的坐标，联立方程，由韦达定理可表示出的中点的坐标；由中点的坐标可得直线的方程，联立直线的方程与椭圆的方程，利用韦达定理可求，再利用点到直线距离公式可求点、到直线的距离，由四边形的面积为可列出等量关系，最后可求出直线的方程.【详解】解：（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，.联立，整理得，
20、则，从而，故，直线的斜率为，所以直线的方程为，即.联立，整理得，则.设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，从而.点，在直线的两侧，则，则四边形的面积，四边形面积为，解得，故直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，联立方程利用韦达定理求弦长，考查转化与化归思想和运算求解能力，是难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求与的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值.【答案】
21、（1），；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程转化公式，可得出与的直角坐标方程；（2）将直线的直角坐标方程化为参数方程，点在直线上，利用参数的几何意义，可得的值.【详解】解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以其直角坐标方程为，直线的极坐标方程为，其直角坐标方程为；（2）直线过点且参数方程可表示为（为参数），代入曲线的方程，得，则，.【点睛】本题考查了利用公式把参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程参数的几何意义，考查运算求解的能力和转化与化归思想，是基础题.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值解不等式；（2）利用三角不等式解法解不等式，从而得出的取值范围.【详解】解：（1）当时，不等式等价于或或，解得或或.原不等式的解集为；（2）等价于.因为，所以，所以或.则的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式和绝对值不等式成立问题，考查运算求解能力、分类讨论思想和转化与化归思想，是基础题.
