1、高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网第第第第 18181818 讲讲讲讲：直线和平面所成的角的求法：直线和平面所成的角的求法：直线和平面所成的角的求法：直线和平面所成的角的求法【考纲要求】能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题。【基础知识】一、直线与平面所成的角的定义平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫这条斜线和平面所成的锐角，如果这条直线垂直于平面，直线和平面所成角是直角，如果直线和平面平行或直线在平面内，直线和平面所成的角就是零度。二、直线和平面所成角的范围当直线在平面内或和平面平行时，直线和平面所成的角为00，直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为090，斜
2、线和平面所成的角为00(0,90),所以直线和平面所成的角的范围为0,90。三、直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找 作（定义法）证（定义）指 求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形。方法二：（向量法）sinAB nAB n=，其中 AB是直线l 的方向向量，n是平面的法向量，是直线和平面所成的角。四、求直线和平面所成的角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答。例 1如图，在五棱锥 PABCDE 中，PA平面 ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC=45，AB=22，BC=2AE=4，三角形 P
3、AB 是等腰三角形（）求证：平面 PCD平面 PAC；（）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小；（）求四棱锥 PACDE 的体积解：（）证明：因为 ABC=45，AB=22，BC=4，所以在ABC中，由余弦定理得：222AC=(2 2)+4-2 2 24cos45=8，解得 AC=2 2，所以222AB+AC=8+8=16=BC，即 ABAC，又 PA平面 ABCDE，所以 PA AB，EDCBPA高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网又 PAACA=，所以 ABAC 平面P，又 ABCD，所以ACCD 平面P，又因为222 2,4PAABPBPAPB=+=又/ABCD，所以点
4、 B 到平面 PCD的距离等于点 A 到平面 PCD的距离.由CD 平面 PAC，在 Rt PAC中，2 2,2 2,PAAC=所以4PC=.故 PC 边上的高为 2，即点 A 到平面的距离，即点点 B 到平面 PCD的距离为 2.设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为，则21sin42hPB=，又0,2，所以6=.（）由（）知ACCD 平面P，所以ACCD，又 ACED，所以四边形 ACDE 是直角梯形，又容易求得 DE2=，AC=2 2，所以四边形 ACDE 的面积为 122 2232+=（），所以四棱锥 PACDE 的体积为 12 233=2 2。DCBPAM高考资源网（）您身边的高考
5、专家版权所有高考资源网方法二向量法使用情景直线和平面所成的角不容易作出。解题步骤建立空间直角坐标系 求直线l 的方向向量 AB求平面的法向量n代入公式sinAB nAB n=求出直线和平面所成的角。例 2已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S分别为 PB,BC 的中点.（）证明：CMSN；（）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.证明：设 PA=1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。则 P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,12），N（12
6、,0,0），S（1,12,0）.（）111(1,1,),(,0)222CMSN=,因为110022CMSN=+=，所以 CMSN（）1(,1,0)2NC=,设 a=（x，y，z）为平面 CMN 的一个法向量，则10,2210.2xyzxxy+=+=令，得a=(2,1,-2).因为sin=1122cos,2232a SN=，所以 SN 与平面 CMN 所成角为 45。【变式演练 2】如图所示，已知 P 在正方体 ABCDABCD的对角线 BD上,PDA=60(1)求 DP 与 CC所成角的大小;(2)求 DP 与平面 AADD 所成角的大小.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网【高考
7、精选传真】第 19191919 题图【解析】（）解法 1111：在如图 1111 所示的 ABC 中，设(03)BDxx=，则3CDx=由 ADBC，45ACB=知，ADC 为等腰直角三角形，所以3ADCDx=.由折起前 ADBC知，折起后（如图 2222），ADDC，ADBD，且 BDDCD=，所以 AD 平面 BCD 又90BDC=，所以11(3)22BCDSBD CDxx=于是1111(3)(3)2(3)(3)33212A BCDBCDVAD Sxxxxxx=312(3)(3)21233xxx+=，于是可得(0,0,0)D，(1,0,0)B，(0,2,0)C，(0,0,2)A，(0,1,
8、1)M，1(,1,0)2E，且(1,1,1)BM=设(0,0)N，则1(,1,0)2EN=.因为 ENBM等价于0EN BM=，即高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网11(,1,0)(1,1,1)1022=+=，故12=，1(0,0)2N.所以当12DN=（即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点）时，ENBM设平面 BMN 的一个法向量为(,)x y z=nnnn，由,BNBMnnnnnnnn及1(1,0)2BN=，得2,.yxzx=可取(1,2,1)=nnnn设 EN 与平面 BMN 所成角的大小为，则由11(,0)22EN=，(1,2,1)=nnnn，可得1|1|32s
9、incos(90)2|262ENEN=nnnnnnnn，即60=CADB图 aEMxyz图 bCADBEFMN图 cBDPCFNEBGMNEH图 d第 19 题解答图N故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60.连接 MN，ME，由计算得52NBNMEBEM=，所以 NMB 与 EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网如图 dddd 所示，取 BM 的中点 G，连接 EG，NG，则 BM 平面 EGN 在平面 EGN 中，过点 E 作 EHGN于 H，则 EH 平面 BMN 故ENH是 EN 与平面 BMN 所成的角在 EGN 中，易得22E
10、GGNNE=，所以 EGN 是正三角形，故60ENH=，即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60.2222、（2012201220122012 高考真题四川理 19191919）如图，在三棱锥 PABC中，90APB=，60PAB=，ABBCCA=，平面PAB 平面 ABC。（）求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小；（）求二面角 BAPC的大小。故直线 PCPCPCPC 与平面 ABCABCABCABC 所成的角的大小为 arctanarctanarctanarctan 1339 6666 分（2222）过 DDDD 作 DEDEDEDEAP于 EEEE，连接 CE.CE.CE.C
11、E.由已知可得，CDCDCDCD 平面 PAB.PAB.PAB.PAB.根据三垂线定理可知，CECECECEPAPAPAPA，所以，的平面角为二面角CAPBCED.由（1111）知，DE=DE=DE=DE=3在 RtRtRtRtCDECDECDECDE 中，tantantantan2=DECDCED故2arctan的大小为二面角CAPB【反馈训练】1设ABC 和DBC 所在两平面互相垂直，且 AB=BC=BD=a,CBA=CBD=120,则 AD 与平面BCD 所成的角为()A30B45C60D752.已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线 BC1和平面 D
12、BB1D1所成角的正弦值为()高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网A.23B.25C.510D.10103PA、PB、PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为060，那么直线 PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（）A.21B.22C.33D.364.直线 AB 与直二面角l的两个半平面分别交于 A、B 两点,且 A、Bl,如果直线 AB与、所成的角分别是1、2,则1+2的取值范围是()A.01+2B.1+2=2C.1+2 2D.01+2 25.已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB1与底面 ABC
13、 所成角的正弦值等于()A.31B.32C.33D.326.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD和平面 ABC 所成的角的大小为()A.90B.60C.45D.307.如图，在体积为 1 的直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=1.求直线 A1B 与平面 BB1C1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.8.如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2BC，ABC=120。E 为线段 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成1A DE，使平面1A DE 平面 BCD，F 为线段1A C 的中点。（）求证
14、：BF平面1A DE；高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平面1A DE 所成角的余弦值。9.如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形，PDABCD 底面，点 E 在棱 PB 上.（）求证：平面 AECPDB 平面；（）当2PDAB=且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.11111.1.1.1.如图所示，已知 ABABABAB平面 ACDACDACDACD，DEDEDEDE平面 ACDACDACDACD，ACDACDACDACD 为等边三角形，ADADADADDEDEDEDE2222ABABABAB，F
15、FFF 为 CDCDCDCD 的中点(1)求证：AF平面 BCE；(2)求证：平面 BCE平面 CDE；(3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值【变式演练详细解析】【变式演练 1 详细解析】()证明：作 MNAB 交 AP 于 N,连结 DN,则 MNABCD,且12MNABCD=是平行四边形四边形CMNDCMND,CM平面 PAD（）CMND,ND 与平面 ABCD 所成的角为所求.侧面 PAD底面 ABCD，ND 在平面 ABCD 上的射影为 ADAND 为所求；PAD 是正三角形，N 是 PA 的中点CM 与底面所成的角为 30.（）延长 AD、BC 交于点 E,连结 P、E.
16、则 PE 为所求二面角的棱，且 AD=DE=PD 所以，APE=90，APPEDCBPAME高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网D又ABAD,平面 PAD底面 ABCDAB平面 PAEBPPE,BPA 为所求二面角的平面角tanBPA=2=APAB所以，侧面 PBC 与侧面 PAD 所的角为 arctan2【变式演练 2 详细解析】(1)因为 cos DH,CC=,222111022022=+所以 DH,CC=45,即 DP 与 CC所成的角为 45.(2)平面 AADD 的一个法向量是 DC=(0,1,0).因为 cos DH,DC=212101122022=+,所以 DH,DC
17、=60,可得 DP 与平面 AADD 所成的角为 30.【反馈训练详细解析】1 B【解析】作 AOCB 的延长线，连 OD，则 OD 即为 AD 在平面 BCD 上的射影，AO=OD=23 a,ADO=45答案B2C【解析】连结 A1C1交 B1D1于点 O，则 C1O平面 DBB1D1.连结 OB,则C1BO 即为所求.BC1=416+=20,C1O=2121616=+2,sinC1BO=5102022=.故选 C.3.C【解析】构造正方体如图所示，过点 C 作 CO平面 PAB，垂足为 O，则 O 为正ABP 的中心，于 是 CPO 为 PC 与 平 面 PAB 所 成 的 角。设 PC=
18、a，则 PO=aPD3332=，故33cos=PCPOCPO，即选 C。高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网5.B【解析】:如图，连结 A1B 和 AB1交于点 O，取 OB 的中点 E，连结 OE,则 OE21 A1O,OE平面 ABC.连结 AE,OAE 即为 AB1与平面 ABC 所成的角.AO=BO,又A1A=AB,高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网DO平面 ABC.DBO 为 BD 与平面 ABC 所成的角.DBO=45.答案:CAA1=CC1=2.连结 BC1.A1C1B1C1,A1C1CC1,A1C1平面 BB1C1C.A1BC1是直线 A1B 与平面
19、BB1C1C 所成的角.又 BC1=5221=+BGCC,高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网平面 BB1C1C 的法向量为 n=(1,0,0).设直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成的角为,BA1与 n 的夹角为,8.【解析】()证明：取 AD的中点 G，连结 GF，CE，由条件易知FGCD，FG=12CD.BECD,BE=12CD.所以 FGBE,FG=BE.故四边形 BEGF 为平行四边形,所以 BFEG 因为 EG 平面A DE，BF 平面A DE，所以 BF/平面A DE（）解：在平行四边形,ABCD 中，设 BC=a，则 AB=CD=2a,AD=AE=EB=a,连
20、CE，因为0120ABC=在BCE 中，可得 CE=3 a,在ADE 中，可得 DE=a,在CDE 中，因为 CD2=CE2+DE2，所以 CEDE,在正三角形 ADE 中，M 为 DE 中点，所以 AMDE.由平面 ADE平面 BCD,可知 AM平面 BCD,AMCE.取 AE 的中点 N，连线 NM、NF，所以 NFDE,NFAM.因为 DE 交 AM 于 M,所以 NF平面 ADE,则FMN 为直线 FM 与平面 ADE 新成角.在 RtFMN 中，NF=32a,MN=12a,FM=a,则 cosFMN=12.所以直线 FM 与平面 ADE 所成角的余弦值为 12.高考资源网（）您身边的
21、高考专家版权所有高考资源网OE/PD，12OEPD=，又 PDABCD 底面，OE底面 ABCD，OEAO，在 RtAOE 中，1222OEPDABAO=，45AOE=，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.（）()()(),0,0,0,0ACa aDPhDBa a=，0,0AC DPAC DB=，ACDP，ACDB，AC平面 PDB，平面 AECPDB 平面.（）当2PDAB=且 E 为 PB 的中点时，()1120,0,2,222PaEaaa，设 ACBD=O，连接 OE，由（）知 AC平面 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，1122,0,0,2222E
22、AaaaEOa=，2cos2EA EOAEOEAEO=，45AOE=，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45.10.【解析】.解法一：（）以 C 为原点，分别以 CB、CA、CC1为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），)2,2,0(1=AC设 G（0，2，h），则.0,).,1,1(11=ACEGEGAChEG10+1（2）+2h=0.h=1，即 G 是 AA1的中点.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（）设),(zyxm=是平面 EFG 的法向量，则.,EGmFEm所以=+=+.0,0
23、010zyxzyx平面 EFG 的一个法向量 m=（1，0，1）,212222|sin11=ACmACm因为.6,21222sin,2,2211=NCHC11【解析】(1)证明设 ADDE2AB2a，以 A 为原点，AC 为 x 轴，AB 为 z 轴，建立如图所示的直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)因为 F 为 CD 的中点，所以 F32a，32a，0.AF32a，32a，0，BE(a，3a，a)，BC(2a,0，a)因为AF12(BEBC)，AF平面 BCE，所以 AF平面 BCE.(2)证明因为AF32a，32a，0，CD(a，3a,0)，ED(0,0，2a)，故AFCD0，AFED0，所以AFCD，AFED.所以AF平面 CDE.又 AF平面 BCE，所以平面 BCE平面 CDE.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网(3)解设平面 BCE 的法向量为 n(x，y，z)由 nBE0，nBC0，可得 x 3yz0,2xz0，
