1、课时跟踪检测（六） 用空间向量研究直线、平面的位置关系1若直线l的方向向量a(8，12,0)，平面的法向量(2，3,0)，则直线l与平面的位置关系是( )AlBlC直线l与平面相交但不垂直D无法确定解析：选Ba，a，l.2已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z等于()A3B6C9 D9解析：选Cl，v与平面平行，uv，即uv0，13(3)(2)z10，z9.3多选在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论正确的是()A平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)B平面B1CD的一个法向量为(
2、1,1，1)C平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)解析：选AC(0,1,0)，ABAD，AA1AD，又ABAA1A，AD平面ABB1A1，A正确；(1,0,0)，而(1,1,1)10，(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，B不正确；(0,1，1)，(1,0,1)，(1,1,1)0，(1,1,1)0，B1CCD1C，(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，C正确；(0,1,1)，而(0,1,1)20，(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即D不正确故选A、C.4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC
3、上，且A1EA1D，AFAC，则( )AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面解析：选B建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则(1,0,1)，(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)，E，F，(1，1,1)3.0，0，EFA1D，EFAC，EFBD1.5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直 D不能确定解析：选B建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0，0
4、,2)，B(2,0,2)，M(2,1,1)，N(1,1,2)，(1,0,1)又平面BB1C1C的一个法向量为n(0,1,0)，1001100，n，MN平面BB1C1C.6已知a(0,1,1)，b(1,1,0)，c(1,0,1)分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对解析：ab(0,1,1)(1,1,0)10，ac(0,1,1)(1,0,1)10，bc(1,1,0)(1,0,1)10，a，b，c中任意两个都不垂直，即，中任意两个都不垂直答案：07已知直线l平面ABC，且l的一个方向向量为a(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是_解析：l平
5、面ABC，存在实数x，y，使axy.(1,0，1)，(0,1，1)，(2，m,1)x(1,0，1)y(0,1，1)(x，y，xy)，m3.答案：38如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP平面B1AE，则AP的长为_解析：建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，设ABa，点P坐标为(0,0，b)，则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E，(a,0,1)，(0，1，b)，DP平面B1AE，存在实数，使，即(0，1，b)(a,0,1).b，即AP.答案：9如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互
6、相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDF.证明：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，F(，1)，M.所以，(0，1)，(，0)设n(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n，n，所以取y1，得x1，z.则n(1,1，)因为.所以n ，得n与共线所以AM平面BDF.10在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点求证：CE平面C1E1F.证明：以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设BC1，则C(0,1,0)，E
7、(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.设平面C1E1F的法向量为n(x，y，z)，因为，(1,0,1)，所以即取n(1,2,1)因为(1，1,1)，n1210，所以n，且CE平面C1E1F.所以CE平面C1E1F.1多选如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等下列结论正确的有()AA1MD1PBA1MB1QCA1M平面DCC1D1DA1M平面D1PQB1解析：选ACD，从而A1MD1P，可得A、C、D正确又B1Q与D1P不平行，故B不正确2已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且
8、平面ABC，则_.解析：，0，352z0，z4.(x1，y，3)，且平面ABC，即解得故.答案：3.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE_.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D.设E(a,0，z)(0z3a)，则，(a,0，z3a)，. 又a2a200，故由题意得2a2z23az0，解得za或2a.故AEa或2a. 答案：a或2a4.如图，在三棱锥PABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC3，G是PAB的重
9、心，E，F分别为BC，PB上的点，且BEECPFFB12.(1)求证：平面GEF平面PBC；(2)求证：EG与直线PG和BC都垂直证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz.则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0，0,0)于是(0，1，1)，(1，1，1)设平面GEF的法向量是n(x，y，z)，则即可取n(0,1，1)显然(3,0,0)是平面PBC的一个法向量又n0，n，即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，平面GEF平面PBC.(2
10、)由(1)知，(1，1，1)，(1,1,0)，(0，3,3)，0，0，EGPG，EGBC，EG与直线PG和BC都垂直5.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且ADBC，ABCPAD90，侧面PAD底面ABCD.若PAABBCAD.(1)求证：CD平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由解：因为PAD90，所以PAAD.又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，所以PA底面ABCD.又因为BAD90，所以AB，AD，AP两两垂直分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设AD2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(1)证明：(0,0,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，可得0，0，所以APCD，ACCD.又因为APACA，AP平面PAC，AC平面PAC，所以CD平面PAC.(2)设侧棱PA的中点是E，则E，.设平面PCD的法向量是n(x，y，z)，则因为(1,1,0)，(0,2，1)，所以取x1，则y1，z2，所以平面PCD的一个法向量为n(1,1,2)所以n(1,1,2)0，所以n.因为BE平面PCD，所以BE平面PCD.综上所述，当E为PA的中点时，BE平面PCD.
