1、新课标全国统考区（吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南）2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编7：立体几何（2）一、选择题 （河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word版） ）已知球0夹在一个锐二面角a-l-之间,与两个半平面分别相切于点（）AB,若AB= ,球心0到该二面角的棱l的距离为2,则球0的体积为（）ABCD-【答案】D （山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是侧视图正视图俯视图132侧视图正视图俯视图231侧视图正视图俯视图132侧视图正视图俯视图231（）AB C
2、D【答案】D （吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）某几何体的三视图如图所示,其正视图,侧视图,俯视图均为全等的正方形,则该几何体的体积为2222226题图（）ABC D【答案】A （云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word版） ）在三棱锥中,底面是正三角形,、分别是侧棱、的中点.若平面平面,则平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值等于（）ABCDABCPMN【答案】A （河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）点（）ABCD在同一个球的球面上,AB=BC=,AC=2,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为（）AB8CD【答案】C
3、 （黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word版 ）已知球的直径,是球球面上的三点, 是正三角形,且,则三棱锥的体积为（）ABCD【答案】B （2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）已知空间4个球,它们的半径分别为2, 2, 3, 3,每个球都与其他三个球外切,另有一个小球与这4个球都外切,则这个小球的半径为（）ABCD【答案】【命题意图】本小题通过具体的立体几何考查学生的空间想象能力与运算求解能力,着重考查几何体中点线面的关系问题,是一道较难的试题. 【试题解析】B由题意可知,为半径为2的球的球心,为半径为3的球的球心,则,取的中点,的中点,则,设小球半径
4、为,则, ,解得. 故选B （河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图是一个三棱柱的正视图和侧视图,其俯视图是面积为的矩形,则该三棱柱的体积是（）A8BC16D【答案】A （2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为（）ABCD【答案】【命题意图】本小题通过三视图考查学生的空间想象能力与运算求解能力,是一道中档难度的试题. 【试题解析】B由三视图可知,该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥, 则,故选B （山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）已知一个三棱柱,其底面是正三角
5、形,且侧棱与底面垂直,一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个三棱柱的表面积是（）AB C D【答案】C （吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知长方形ABCD,抛物线以CD的中点E为顶点,经过（）AB两点,记拋物线与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子,落入区域M的概率为p.则下列结论正确的是（）A当且仅当AB=AD时,p的值最大B当且仅当AB=AD时,p的值最小C若的值越大,则p的值越大D不论边长AB,AD如何变化,p的值为定值【答案】D （黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟考试 理科数学 Word版含答案）若一个四面体的四个面均为
6、直角三角形,正视图与俯视图如图所示均为直角边为1的等腰直角三角形,则该几何体的侧视图的面积为正视图俯视图（）ABCD【答案】C （山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （）AB CD【答案】D 解析:由三视图可知,此几何体为底面半径r为1cm、高h为3cm的圆柱上部去掉一个半径为R为1cm的半球,所以其体积为 Zxxk （黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟考试 理科数学 Word版含答案）四棱锥PABCD,底面ABCD是边长为6的正方形,且PA = PB = PC = PD,若一个半径为1的球与此四棱锥的各个面相切,则
7、此四棱锥的体积为（）A15B24C27D30【答案】C （山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）一个空间几何体的三视图如右图所示,其中主视图和侧视图都是半径为的圆,且这个几何体是球体的一部分,则这个几何体的表面积为（）A3B4C6D8【答案】B （2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）点、均在同一球面上,平面,则该球的表面积为（）ABCD【答案】A （河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为【答案】D （云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）
8、若一个棱锥的三视图如右图所示,则它的体积为 （）ABC1D【答案】A 二、填空题（河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4,8,h,且它的8个顶点都在同一个 球面上,这个球面的表面积为100,则h= _.【答案】 （河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知平面截一球面得圆M,过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N .若该球面的半径为4,圆M的面积为,则圆N的面积为_.【答案】 （河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）已知四面体中,平面,则四面体外接球的体积为_【答案】 （吉林省
9、吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）下列命题中正确的是_.(填上你认为所有正确的选项) 空间中三个平面,若,则; 若为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与都相交; 球与棱长为正四面体各面都相切,则该球的表面积为; 三棱锥中,则.【答案】三、解答题（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）如图所示,四面体ABCD中,ABBD、ACCD且AD =3.BD=CD=2.(1)求证:ADBC;(2)求二面角BACD的余弦值. 【答案】(1)证明 作AH平面BCD于H,连接BH、CH、DH, 易知四边形BHCD是正方形,且AH=1,以D为原 点,以DB所在直线为x轴,DC
10、所在直线为y轴, 以垂直于DB,的直线为z轴,建立空间直角坐 标系,如图所示,则B(2,0,0),C(0,2,0),A(2,2,1), 所以=,=,4分 因此=,所以ADBC.6分 (2)解:设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则由n1知:n1= 同理由n1知:n1=, 可取n1=, 同理,可求得平面ACD的一个法向量为10分 cos= 即二面角BACD的余弦值为12分 （河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）三棱柱中,已知,的中点为垂直底面.(1)证明在侧棱上存在一点E,使得平面,并求出AE的长;(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】 （黑龙江省哈师大附中2013届第三
11、次高考模拟考试 理科数学 Word版含答案）在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱CC1底面ABC,ACB = 90,且AC = BC = CC1,O为AB1中点.(1)求证:CO平面ABC1;(2)求直线BC与平面ABC1所成角的正弦值.ABCC1A1B1O【答案】法一: ()证明:取中点,连结, 又,面, 以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系, 设, , , ,又平面, 平面 ()解:由已知为平面的一个法向量, ,直线与平面所成角的正弦值为 法二:()证明:取中点,连结, , 又平面, 平面, 连结,平面, 且平面, 又,且,平面, 平面,平面, ,又平面,平面 ()解:连结交于,连结, 面,
12、为与平面所成的角, 令, 在中, , ,中, 直线与平面所成角的正弦值为 （云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word版） ）如图,在长方体中,是线段的中点.(1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值.ABCA1DB1C1D1M【答案】 （山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）如图,已知长方形中,为的中点. 将沿折起,使得平面平面.(1)求证: ; (2)若点是线段的中点,求二面角的余弦值.A 【答案】解:取AM的中点O,AB的中点N,则两两垂直,以O为原点建立空间直角坐标系,如图.根据已知条件,得 , (1)由
13、于,故 (2)依题意 平面AMD的一个法向量 设平面AME的一个法向量为,而, . x=0,取z=2,则y=1 二面角的余弦值为 （河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）如图所示的几何体中,四边形PDCE为矩形,ABCD为直 角梯形,且 = 90,平面PDCE丄平面ABCD,AB=AD=CD=1,PD=(I)若M为PA的中点,求证:AC/平面MDE;(II)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小【答案】()证明:连结,交与,连结, 中,分别为两腰的中点 , 因为面,又面,所以平面 ()解:设平面与所成锐二面角的大小为,以为空间坐标系的原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐
14、标系,则 ,. 设平面的单位法向量为则可设 设面的法向量,应有 即: 解得:,所以 ,. （云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,ABC=BCD=90o,AB=BC=PB=PC=2CD=2,O为BC的中点,PDAD.(T)求证:PO底面ABCD; (II)求二面角PADB的余弦值.【答案】 （河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）平行四边形ABCD中,AB=2,AD=,且,以BD为折线,把折起,使平面,连AC.()求证:; ()求二面角B-AC-D的大小;()求四面体ABCD外接球的体积.【答案】解:()在中,
15、, 易得, 面面 面 ()在四面体ABCD中,以D为原点,DB为轴,DC为轴,过D垂直于平面BDC的射线为轴,建立如图空间直角坐标系. zABCDyx 则D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(2,0,2) 设平面ABC的法向量为,而, 由得:,取 . 再设平面DAC的法向量为,而, 由得:,取, 所以,所以二面角B-AC-D的大小是 ()由于均为直角三角形,故四面体ABCD的外接球球心在AD中点, 又,所以球半径,得 （内蒙古包头市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图,四棱锥的底面是正方形,平面,点E是SD上的点,且.(1)求证:对任意的,都有ACBE;(2)若
16、二面角C-AE-D的大小为,求的值.【答案】.解: (1)如图建立空间直角坐标系, 则, , 对任意都成立, 即ACBE恒成立; (2)显然是平面的一个法向量, 设平面的一个法向量为, , , 取,则, 二面角C-AE-D的大小为, , 为所求 （黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word版 ）如图,三棱柱中,是以为底边的等腰三角形,平面平面,分别为棱、的中点(1)求证:平面;(2)若为整数,且与平面所成的角的余弦值为,求二面角的余弦值.【答案】解(1),是以为斜边的等腰直角三角形, 取的中点,连接,设,则 面面,且面面, 面,面 以为坐标原点,以、为轴建立空间直角坐标
17、系 设平面的一个法向量为 , 又面面 (2)设平面的一个法向量为 又xyzO 则,令,则 又 = 解得或, 为整数 所以 同理可求得平面的一个法向量 = 又二面角为锐二面角,故余弦值为 （河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图,三棱锥中,底面为边长为的正三角形,平面平面, 为上一点,为底面三角形的中心.(1)求证:平面; (2)求证:;(3)设为的中点,求二面角的余弦值.【答案】证明:()连结交于点,连结. 为正三角形的中心,且为中点. 又, , 平面,平面, 面 (),且为中点, 又平面平面, 平面, 由()知, 平面, 连结,则,又, 平面, ()由()()知,两两互相垂直,且为中点, 分别以所在直线为轴,建立如图空间直角坐标系, 则 , 设平面的法向量为,则, 令,则 由()知平面,为平面的法向量,又, 由图可知,二面角的余弦值为
