1、第84讲绝对值不等式的解法及其应用1(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围 (1)当a1时，f(x)可得f(x)0的解集为x|2x3(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，)2(2018广州一模)已知函数f(x)2|xa|3xb|.(1)当a1，b0时，求不等式f(x)3|x|1的解集；(2)若a0，b0，且函数f(x)的最小值为2，求3ab的值 (1)当a1，b0时，不等式f(x
2、)3|x|1，即为2|x1|3|x|3|x|1，即|x1|，所以x1或x1.所以x或x.所以所求不等式的解集为x|x或x(2)因为a0，b0，所以a.所以f(x)2|xa|3xb|可知f(x)在(，单调递减，在，)单调递增，所以f(x)minf()2.所以3ab3.3(2017广东肇庆第三次统测)已知函数f(x)|x1|，g(x)2|x|a.(1)若a0，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使得f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围 (1)当a0时，由f(x)g(x)，得|x1|2|x|，两边平方，并整理得(3x1)(1x)0，所以所求不等式的解集为x|x1(2)由f(x)g(x)，
3、得|x1|2|x|a，即|x1|2|x|a，令F(x)|x1|2|x|，依题意，可得F(x)maxa.F(x)|x1|2|x|易知F(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，所以当x0时，F(x)取得最大值，最大值为1.所以a的取值范围为(，14(2017湖北黄冈三月调研)已知函数f(x)|2xa|2x1|(aR)(1)当a1时，求f(x)2的解集；(2)若f(x)|2x1|的解集包含集合，1，求实数a的取值范围 (1)当a1时，f(x)|2x1|2x1|，(方法1)f(x)2|2x1|2x1|2.原不等式等价于：或或即或或所以原不等式的解集为x|1x(方法2)f(x)2|x|x|1.
4、上述不等式的几何意义为数轴上的点x到两点，距离之和小于或等于1，则x，所以原不等式的解集为，(2)因为f(x)|2x1|的解集包含，1，所以当x，1时，不等式f(x)|2x1|恒成立，所以当x，1时，|2xa|2x12x1恒成立，所以2x2a2x2在x，1上恒成立所以(2x2)maxa(2x2)min(x，1)所以0a3.5(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值 (1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3
5、且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.6(2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围 (1)f(x)当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1，得2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)(方法一)f(x)x2xm，即m|x1|x2|x2x有解令g(x)|x1|x2|x2x.下面只要求g(x)的最大值g(x)当x1时，g(x)maxg(1)5.1x2时，x(1,2)，g(x)max1.当x2时，g(x)maxg(2)451.综上，g(x)max.所以m的取值范围为(，(方法二)由f(x)x2xm得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|(|x|)2，且当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为(，
