1、专题7 立体几何一、填空题例1.下列结论正确的是 各个面都是三角形的几何体是三棱锥以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案：，简单几何体基本概念与性质例2在正方体各个表面的12条对角线中，与垂直的有_ _ 条答案：6，异面直线垂直判断例3已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 答案：24，正四棱锥的结构特征、侧面积的计算方法例4已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC，则棱锥OABCD的体积为 答案：，球与其它几
2、何体的组合问题例5如图，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且,分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大小关系为 .答案：考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得.例6 若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是_.若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直答案：为假命题，为真命题，在中n可以平行于，也可以在内，是假命题，中，m、n也可以不互相垂直，为假命题；故答案为.例7、为两
3、个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列四个条件中是ab的充分条件的有 a/，b；a，b/；a，b；a/，b/且a与的距离等于b与的距离答案：，本题主要考查空间线面之间的位置关系，特别是判断平行与垂直的常用方法例8一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18 cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为_答案：例9已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是_答案：，将全面积表示成底面半径的函数，即可求出函数的最大值设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有，。当时，S取的最大值。故选B。例10如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的
4、正方形，P是BC重点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 答案：，倒置一个完全相同的圆柱在原圆柱上方，再展开如图，则可得最短路程为例11正四面体ABCD的棱长为1，棱AB平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是. 答案：，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果正四面体的对角线互相垂直，且棱AB平面，当CD平面，这时的投影面等于正四面体的侧视图的面积，根据正四面体的性质，面积此时最大，是；当面ABC平面面积最小时构
5、成的三角形底边是1，高是正四面体的高，面积是。正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是。例12 已知正四棱锥中，当该棱锥的体积最大时，它的高为_.答案：本试题主要考察椎体的体积，考察函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，解得a=0或a=4时，体积最大，此时.例13如图,在三棱锥中, 、两两垂直,且设是底面内一点,定义,其中、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积若,且恒成立,则正实数的最小值为_答案：1 ，由题意可知，又，得恒成立，再由基本不等式可知当是取最小值1例14如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平
6、面内过点作，为垂足设，则的取值范围是答案：此题的破解可采用二个极端位置法：（1）当F点位于DC的中点时，过点D作DGAF，连接BG。，。在ABG中，。在RtBDG中， .ABD是直角三角形。（2）当F点到C点时，过点D作DHAF，连接BH。，。在ABH中，。在RtBDH中， 。在ABD中，。的取值范围是。二、解答题例15如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，分别是棱，上的动点，且，.（）证明：无论点怎样运动，四边形都为矩形；（）当时，求几何体的体积答案：（）在直四棱柱中， 又平面平面，平面平面，平面平面，四边形为平行四边形， 侧棱底面，又平面内，四边形为矩形；（）证明：连结，四棱柱为直四棱柱，侧
7、棱底面，又平面内，在中，则； 在中，则； 在直角梯形中，；，即，又，平面； 由（）可知，四边形为矩形，且，矩形的面积为，几何体的体积为 例16在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；（2）求多面体E-AFMN的体积答案：（1）因翻折后B、C、D重合（如图），所以MN应是的一条中位线， 则 （2）因为平面BEF， 且， 又例17如图，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F
8、满足FC平面BED,FB=（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离. 答案：（1）证明：点E为弧AC的中点又又（2）解：在由于：所以由等体积法可知：即，所以即点B到平面FED的距离为例18 如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点()求证：GF/底面ABC；()求证：AC平面EBC；()求几何体ADEBC的体积V答案：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图）G、F分别是EC和BD的中点HG/BC，HF/DE，又ADEB为正方形 DE/AB，从而HF/ABHF/平面ABC，HG/平面ABC, H
9、FHG=H,平面HGF/平面ABCGF/平面ABC证法二：取BC的中点M，AB的中点N连结GM、FN、MN（如图）G、F分别是EC和BD的中点又ADEB为正方形 BE/AD，BE=ADGM/NF且GM=NFMNFG为平行四边形GF/MN，又，GF/平面ABC 证法三：连结AE，ADEB为正方形，AEBD=F，且F是AE中点， GF/AC，又AC平面ABC，GF/平面ABC （）ADEB为正方形，EBAB，GF/平面ABC又平面ABED平面ABC，BE平面ABC BEAC 又CA2+CB2=AB2ACBC, BCBE=B, AC平面BCE （）连结CN，因为AC=BC，CNAB， 又平面ABED平面ABC，CN平面ABC，CN平面ABED. 三角形ABC是等腰直角三角形， CABED是四棱锥,VCABED=
