1、江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编5：数列一、填空题1 （江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）若某个实数x使得含有为等比数列,则使得的n等于_. 【答案】8 2 （江苏省启东中学2013届高三综合训练（3）已知成等差数列,将其中的两个数交换,得到的三个数依次成等比数列,则的值为_.【答案】10 3 （江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）设等差数列an的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为_.【答案】在线性约束条件下,研究的最大值,则的最大值为4 4 （2013年江苏省高考数学押题试卷 ）设x是一个正数, 记不超过x
2、的最大整数为x, 令x=x-x,且x, x, x成等比数列, 则x=_.【答案】,因为x, x, x成等比数列, 则1=1+2,所以1x2x2,于是x=1,从而=化为=1+x,注意到0x1, 解得x=,所以x=. 5 （江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）已知等比数列满足,且对任意正整数,仍是该数列中的某一项,则公比的取值集合为_.【答案】 6 （江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）对于实数,将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分,用符号表示.已知无穷数列满足如下条件:;.当时,对任意都有,则的值为_.【答案】或 7 （江苏省徐州市2013届高三考前模拟
3、数学试题）在数列中,已知,当时,是的个位数,则_. 【答案】 8 （江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足=ax，且f(x)g(x)f(x)g(x), +=,若有穷数列（nN*）的前n项和等于，则n等于 .【答案】5 9 （江苏省启东中学2013届高三综合训练（2）对正整数,设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前项和的公式是_.【答案】 10（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知数列的前项和,且的最大值为8,则_. 【答案】 11（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）数列中,且(,),则这个数列的通项公式_
4、.【答案】 12（江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）对任意,函数满足,设,数列的前15项的和为,则_.【答案】 13（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）设a1,a2,an为正整数,其中至少有五个不同值. 若对于任意的i,j(1ijn),存在k,l(kl,且异于i与j)使得ai+aj=ak+al,则n的最小值是_【答案】 13 14（江苏省常州市戴埠高级中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷）已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式_.【答案】 15（江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）公差为,各项均为正整数的等差数
5、列中,若,则的最小值等于_.【答案】1716（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）已知一个数列只有21项,首项为,末项为,其中任意连续三项a,b,c满足b=,则此数列的第15项是_.【答案】 17（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）在递增等比数列an中,则公比=_ 【答案】2 18（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc）数列满足,且=2,则的最小值为_. 【答案】 19（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）数列中,(是常数,),且成公比不为的等比数列,则的通项公式是_. 【答案】
6、20（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知是等差数列的前项和,若,则数列的前20项和为_. 【答案】55 21（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）在如图的表格中,每格填上一个数字后,使得每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则的值为_.120.51ab21世纪教育网c【答案】16 22（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）已知等差数列中,则的最大值为_.【答案】解析:由题设有,所以,当时,为减且,递增且,所以当时最大,当时,所以所求的最大值为. 23（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）设正项数列的前n项和是,若和都是等差数列,且公差相等,则=
7、_.【答案】 24（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）设成公比为q的等比数列,成公差为1的等差数列,则q的最大值是_ 【答案】2 25（江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）设数列都是等差数列,若,则=_. 【答案】49 26（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）在如右图所示的数表中,第i行第j列的数记为ai,j,且满足a1,j=2j-1,ai,1=i,ai+1,j+1=ai,j+ai+1,j(i,jN*);又记第3行的数3,5,8,13,22,39,.则第3行第n个数为_.【答案】 27（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）
8、设等比数列an的前n项和为Sn (nN*).若S3,S9,S6成等差数列,则 的值是_.【答案】 28（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）定义映射,其中,已知对所有的有序正整数对满足下述条件:;若,;,则_,_.【答案】 29（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若3Sn,4Sn+1,5Sn+2成等差数列,则q的值为.【答案】8Sn+1=3Sn+5Sn+2, 即8(Sn+an+1)=3Sn+5(Sn+an+2), 所以8an+1=5an+2, q=. 30（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知数列an满
9、足3an+1+an=4(nN*),且a1=9,其前n项之和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|,所以数列n+(nN*)中项均大于. 因此,数列与数列n+(nN*)中没有相同数值的项. 32（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）设an是正数数列, 其前n项和Sn满足Sn=(an-1)(an+3).(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=,试求数列bn的前n项和Tn.【答案】(1)由a1=S1=(a1-1)(a1+3)及an0得a1=3. 由Sn=(an-1)(an+3),得Sn-1=(an-1-1)(an-1+3). 所以an=(an-1)(an+3)-(an-1-1)(an-1+3)=(a-
10、a-1)+2(an-an-1). 整理得2(an+an-1)=(an+an-1)(an-an-1). 因为an+an-10,所以an-an-1=2, 即an是以3为首项公差为2的等差数列,于是 an=2n+1. (2)因为an=2n+1,所以Sn=n(n+2), bn=(-), Tn=bk=(-)=(1+)=-. 33（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）【必做题】设a为实数,若数列an的首项为a,且满足an+1=an2+a1(nN*),称数列an为理想数列. 若首项为a的理想数列满足:对于任意的正整数n2,都有|an|2,称实数a为伴侣数.记M是所有伴侣数构成的集合.(1)若a(-,-
11、2),求证:aM;(2)若a(0,求证:aM.【答案】【必做题】 证明(1)假设aM,则由M的定义知对于任意正整数n2,都有|an|2,从而知|a2|2 由a1=a,a2=a12+a1=a(a+1),又a(-,-2),得a-2,a+1| a|12,即| a2|2,这与|a2|2矛盾. 故当a(-,-2)时,aM (2)由a2=a2+a=(a+)2-,又a(0, ,所以a2(0, . 同理可得,a3(0, .猜想0an 下面用数学归纳法证明. 当时,|a1|=|a |成立. 假设n=k(k1)时|ak|2成立, 所以,当n=k+1时, ak+1=ak+a1()+=. 故,对任意nN*,|an|2
12、,所以aM 34（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）已知等差数列的首项为a,公差为b,等比数列的首项为b,公比为a,其中a,b都是大于1的正整数,且.(1)求a的值;(2)若对于任意的,总存在,使得成立,求b的值;(3)令,问数列中是否存在连续三项成等比数列?若存在,求出所有成等比数列的连续三项;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)由已知,得.由,得. 因a,b都为大于1的正整数,故a2.又,故b3 再由,得. 由,故,即. 由b3,故,解得 于是,根据,可得 (2)由,对于任意的,均存在,使得,则 . 又,由数的整除性,得b是5的约数. 故,b=5. 所以b=5时,
13、存在正自然数满足题意 (3)设数列中,成等比数列,由,得 . 化简,得. () 当时,时,等式()成立,而,不成立 当时,时,等式()成立 当时,这与b3矛盾. 这时等式()不成立 综上所述,当时,不存在连续三项成等比数列;当时,数列中的第二、三、四项成等比数列,这三项依次是18,30,50 35（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知等差数列an的首项a1为a.设数列的前n项和为Sn ,且对任意正整数n都有. (1) 求数列an的通项公式及Sn ;(2) 是否存在正整数n和k,使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列?若存在,求出n和k的值;若不存在,请说明理由.【答案】 36（
14、江苏省启东中学2013届高三综合训练（1）已知无穷数列an中,a1,a2,am是首项为10,公差为-2的等差数列;am+1,am+2,a2m是首项为,公比为的等比数列(其中 m3,mN*),并对任意的nN*,均有an+2m=an成立.(1)当m=12时,求a2010;(2)若a52=,试求m的值;(3)判断是否存在m(m3,mN*),使得S128m+32010成立?若存在,试求出m的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)m=12时,数列的周期为24. 2010=2483+18,而a18是等比数列中的项, a2010=a18=a12+6=. (2)设am+k是第一个周期中等比数列中的第k项,则
15、am+k=. ,等比数列中至少有7项,即m7,则一个周期中至少有14项. a52最多是第三个周期中的项. 若a52是第一个周期中的项,则a52=am+7=. m=52-7=45; 若a52是第二个周期中的项,则a52=a3m+7=.3m=45,m=15; 若a52是第三个周期中的项,则a52=a5m+7=.5m=45,m=9; 综上,m=45,或15,或9. (3)2m是此数列的周期, S128m+3表示64个周期及等差数列的前3项之和. S2m最大时,S128m+3最大. S2m= , 当m=6时,S2m=31-=; 当m5时,S2m; 当m7时,S2m=29 |Tn|,当n11时,|Tn
16、+ 1| |Tn| 故|Tn| max = |T11| 又T10 0,T11 0,T12 0,Tn的最大值是T9和T12中的较大者 ,T12 T9 因此当n = 12时,Tn最大. (3)证:,| an |随n增大而减小,an奇数项均正,偶数项均负当k是奇数时,设an中的任意相邻三项按从小到大排列为,则 , ,因此成等差数列, 公差 当k是偶数时,设an中的任意相邻三项按从小到大排列为,则 , ,因此成等差数列, 公差 综上可知,中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,且 ,数列dn为等比数列. 49（江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）设为平面直角坐标系上
17、的两点,其中.令,若,且,则称点为点的“相关点”,记作:. 已知为平面上一个定点,平面上点列满足:,且点的坐标为,其中.()请问:点的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由;()求证:若与重合,一定为偶数;()若,且,记,求的最大值.【答案】解:()因为为非零整数) 故或,所以点的相关点有8个 又因为,即 所以这些可能值对应的点在以为圆心,为半径的圆上 ()依题意与重合 则, 即, 两式相加得 (*) 因为 故为奇数, 于是(*)的左边就是个奇数的和,因为奇数个奇数的和还是奇数, 所以一定为偶数 ()令, 依题意, 因为
18、因为有,且为非零整数, 所以当的个数越多,则的值越大, 而且在这个序列中,数字的位置越靠前,则相应的的值越大 而当取值为1或的次数最多时,取2的次数才能最多,的值才能最大. 当时,令所有的都为1,都取2, 则. 当时, 若, 此时,可取个1,个,此时可都取2,达到最大 此时=. 若,令,其余的中有个,个1. 相应的,对于,有,其余的都为2, 则 当时,令 则相应的取 则=+ 综上, 50（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)若对每一个正整数,若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为.求的值及对应的数列.记为数列的前项
19、和,问是否存在,使得对任意正整数恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由.【答案】解:()因为,所以时, ,两式相减,得,故数列从第二项起是公比为的等比数列 又当n=1时,解得,从而 (2)由(1)得, 1若为等差中项,则,即或,解得 此时,所以 2若为等差中项,则,即,此时无解 3若为等差中项,则,即或,解得, 此时,所以 综上所述, 或, 1当时,则由,得, 当时, ,所以必定有,所以不存在这样的最大正整数 2当时,则由,得,因为,所以满足恒成立;但当时,存在,使得即, 所以此时满足题意的最大正整数 51（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3）已知各项均为正数的等差数列的公差
20、d不等于0,设是公比为q的等比数列的前三项,(I)若k=7, (i)求数列的前n项和Tn;(ii)将数列和的相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列,设其前n项和为Sn,求的值;(II)若存在mk,使得成等比数列,求证k为奇数.【答案】() 因为,所以成等比数列,又是公差的等差数列, 所以,整理得,又,所以, , 所以, 用错位相减法或其它方法可求得的前项和为; 因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前项的和, 所以. 所以=1 () 由,整理得, 因为,所以,所以. 因为存在mk,mN*使得成等比数列, 所以, 又在正项等差数列an中, 所以,又因为, 所以有, 因为是偶数,所以也是偶数
21、, 即为偶数,所以k为奇数 52（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）已知三个互不相等的正数a,b,c成等比数列，公比为q在a,b之间和b,c之间共插入n个数，使这n+3个数构成等差数列若a=1,在b,c之间插入一个数，求q的值；设abc,n=4,问在a,b之间和b,c之间各插入几个数，请说明理由；若插入的n个数中，有s个位于a,b之间，t个位于b,c之间，试比较s与t的大小【答案】解：（1）因为，是互不相等的正数，所以且由已知，是首项为，公比为的等比数列，则，2分当插入的一个数位于，之间， 设由个数构成的等差数列的公差为，则，消去得，因为，所以 4分（2）设所构成的等差数列的公差为，
22、由题意，共插入个数若在，之间插入个数，在，之间插入个数，则，于是，解得6分若在，之间插入个数，在，之间插入个数，则，于是，解得（不合题意，舍去） 8分若，之间和，之间各插入个数，则，解得（不合题意，舍去） 10分综上，之间插入个数，在，之间插入个数 （3）设所构成的等差数列的公差为，由题意，又， 所以，即，因为，所以 所以，当，即时，；当，即时，14分53（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）已知数列满足且(1)计算的值,由此猜想数列的通项公式,并给出证明;(2)求证:当时,【答案】,猜想: 当时,结论成立; 假设当时,结论成立,即, 则当时, 即当时,结论也成立,由得,数列
23、的通项公式为 原不等式等价于. 证明:显然,当时,等号成立; 当时, , 综上所述,当时, 54（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）数列中,且.(1)求及的通项公式;(2)设是中的任意一项,是否存在,使成等比数列?如存在,试分别写出和关于的一个表达式,并给出证明;(3)证明:对一切,.【答案】解:(1),故 时, ,为常数列 ,所以. 又也满足上式, 的通项公式为 (2)当,时满足成等比数列. 证明如下:, 显然成等比数列 (3)证明:时, , 当时, 又时,对一切, 55（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）已知数列,其中(1)求满足=的所有正整数n
24、的集合;(2)n16,求数列的最大值和最小值;(3)记数列的前n项和为,求所有满足(mn)的有序整数对(m,n).【答案】解:(1)an+1=|bn|,n-15=|n-15|,当n15时,an+1=|bn|恒成立, 当n16时,n取偶数=1+,当n=18时()max=无最小值 n取奇数时=-1-,n=17时()min=-2无最大值 (ii)当n15时,bn=(-1)n(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) 0,其中a15b15+a16b16=0 S16=S14 m=7, n=8 56（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）设为关于的次多项式.数列的首项
25、,前项和为.对于任意的正整数,都成立.( I )若,求证:数列是等比数列( II)试确定所有的自然数,使得数列能成等差数列.(1)若,则即为常数,不妨设(c为常数).因为恒成立,所以,即.而且当时, , -得 .若an=0,则,a1=0,与已知矛盾,所以故数列an是首项为1,公比为的等比数列. 【答案】【解】(2)(i) 若k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若k=1,设(b,c为常数), 当时, , -得 . 要使数列an是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有(常数), 而a1=1,故an只能是常数数列,通项公式为an =1, 故当k=1时,数列an能成等差数列,其通项公式为a
26、n =1,此时. (iii) 若k=2,设(,a,b,c是常数), 当时, , -得 , 要使数列an是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有 ,且d=2a, 考虑到a1=1,所以. 故当k=2时,数列an能成等差数列,其通项公式为, 此时(a为非零常数). (iv) 当时,若数列an能成等差数列,则的表达式中n的最高次数为2,故数列an 不能成等差数列. 综上得,当且仅当k=1或2时,数列an能成等差数列 57（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符【答案】 58（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）设等比数列的前项
27、和为,已知(1)求数列通项公式;(2)在与之间插入个数,使这个数组成一个公差为的等差数列.求证:.【答案】解析:(1)设等比数列的公比为 . 若,则,这与矛盾,.由得到,解得,. (2)由(1)可知,令,则,由错位相减法得到,. 59（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试） 若不等式(-1)n-1(2a-1)对一切正整数n恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(本题满分14分) 解析 当n为奇数时,原不等式即为(2a-1),又对一切正整数n恒成立,所以2a -1a,当n为偶数时,原不等式即为-(2a-1)-又对一切正整数n恒成立,所以2a-1-,从而a-,所以a的取值范围是. 60（江苏
28、省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”:;.(1)若等比数列为 ()阶 “期待数列”,求公比;(2)若一个等差数列既是 ()阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;(3)记阶“期待数列”的前项和为:()求证:;()若存在使,试问数列能否为阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由. 【答案】解:(1)若,则由=0,得, 由得或. 若,由得,得,不可能. 综上所述,. (2)设等差数列的公差为,0. , , 0,由得, 由题中的、得, , 两式相减得, , 又,得, . (3)记,中非负项和为,负项和为
29、, 则,得, (),即. ()若存在使,由前面的证明过程知: , 且. 记数列的前项和为, 则由()知, =,而, ,从而, 又, 则, , 与不能同时成立, 所以,对于有穷数列,若存在使,则数列和数列不能为阶“期待数列”. 61（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知Sn=1+.(1)求S2,S4的值;(2)若Tn=,试比较与Tn的大小,并给出证明.【答案】解:(1)S2=1+=,S4=1+= (2)当n=1,2时,T1=,T2=,所以,=Tn. 当n=3时,T3=,S8=1+=T3. 于是,猜想,当n3时,Tn 下面用数学归纳法证明: 当n3,显然成立; 假设n=k(k3)时,Tk; 那么,当n=k+1时,=+ +(+)+(+) +2k-1+2k-1=+=, 这就是说,当n=k+1时,Tn. 根据、可知,对任意不小于3的正整数n,都有Tn. 综上,当n=1,2时,Tn;当n3时,Tn
