1、专题8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系【考纲解读】内 容要 求备注ABC点、线、面之间的位置关系平面及其基本性质1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题【直击考点】题组一 常识题1 给出下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面其中真命题的序号是_2 已知直线a与b平行，直线c与b相交，则直线a与c的位置关系是_【解析】当直线c在直线a与b确定的平面内时，a与c相交；当直线c与直线a，b确定的平面相交时，a与c异面3如图所示， 在四棱锥PABCD中，底
2、面四边形ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为_，平面AEF与平面ABCD的交线是_【解析】EFBC，BCAD，则EFAD，所以EF平面PAD；易知E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线题组二常错题4下列关于异面直线的说法中正确的是_若a，b，则a与b是异面直线；若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；若a，b不同在平面内，则a与b异面；若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面【解析】中的两条直线还有可能平行或相交，由异面直线的定义可知正确5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空
3、间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条6三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，底面边长为2，高为，M是AB的中点，则直线CM与BC1所成的角等于_【解析】如图所示，取A1B1的中点N，连接C1N，MN，则C1NCM，所以BC1N即为异面直线CM与BC1所成的角，由题意易得C1N，BN，BC1，所以三角形BNC1为等腰直角三角形，则BC1N45.题组三常考题7 设，是两个不同的平面，m是直线且m.“m”是“”的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件【解析】当m，m时，不能确定平面与平行；当时，根据平面与平面平行的性质，可以推出m.
4、8若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，给出下列命题：l与l1，l2都不相交；l与l1，l2都相交；l至多与l1，l2中的一条相交；l至少与l1，l2中的一条相交其中为真命题的是_9如图所示，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_【解析】连接ND，取ND的中点为E，则MEAN，则异面直线AN，CM所成的角为EMC.因为ANNDMC2 ，所以ME，CE，则cosEMC. 【知识清单】考点1 平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有
5、的点都在这个平面内(即直线在平面内)(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面考点2 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补考
6、点3异面直线所成的角异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面【考点深度剖析】平面的基本性质是立体几何的基础，而两条直线位置关系是高考热点，在高考卷中频频出现【重点难点突破】考点1 平面的基本性质【1-1】下列命题中正确个数的是_A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线
7、垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】3【解析】对于D, 若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面，其余选项均是正确的【1-2】以下四个命题中，正确命题的个数是_不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面【答案】1【1-3】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_【答案】【解析】在图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，
8、因此，P、Q、R、S四点不共面可证中四边形PQRS为梯形；中可证四边形PQRS为平行四边形；中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形【思想方法】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共
9、线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.【温馨提醒】证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上 证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合 异面直线的判定方法 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、
10、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面考点2 空间两直线的位置关系【2-1】对于直线m、n和平面，下列命题中的假命题个数是_A如果m，n，m、n是异面直线，那么nB如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交C如果m，n，m、n共面，那么mnD如果m，n，m、n共面，那么m与n相交【答案】3【2-2】已知a，b，c是直线，是平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；a，b，则ab；若a，b异面，且a，则b与相交；若a，b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直其中真命题的个数为_【答案】1【解析】仅为真命题【2-3】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题错误个数是
11、_Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl2l3l1 l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【答案】3【2-4】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条【答案】无数【解析】在A1D1上任取一点P，则E，F，P确定一个平面，过P作PQEF，则Q，连接QF并延长交DC的延长线于M，则M，连接PM，则PM与EF相交，当然也与A1D1，CD相交重复以上过程，另取P点，会产生PM，故这样的直线有无数条. 【思想方法】空间中直线位置关系的判定，主要是异面和垂直的判定对于异面
12、直线，可采用定理或反证法，对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质说明【温馨提醒】要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上考点3异面直线所成的角【3-1】已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是_【答案】相交、平行或异面【解析】依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.【3-2】如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线_对【答案】24【解析】如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1，A1D1
13、，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线24(对)【3-3】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)【答案】(2)(4)【思想方法】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作
14、出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围【温馨提醒】证明两直线为异面直线的方法定义法(不易操作)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面【易错试题常警惕】1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件3两条异面直线所成角的范围是(0，90
