1、6.4.3 余弦定理、正弦定理正弦定理判断1（2021全国高一课时练习）在中，下列各式正确的是（）ABCD运用正弦定理解三角形1（2021全国高一课时练习）在中，已知，求；2（2020陕西延安市第一中学阶段练习）在中，.（1）求的值；（2）若，求的面积.三角形的个数问题1（2022全国专题练习）满足条件，的三角形的个数是（）A1个B2个C3个D不存在正弦定理求半径1（2021吉林长春市第二十九中学高一阶段练习）在中，内角，的对边分别为，且，则_.1（2019新疆石河子一中高一期末）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积等于，则外接圆的面积为_余弦定理边角互化问题1（2022四川绵
2、阳（文）在中，内角、的对边分别为、，且(1)求角的大小；(2)若，求的面积余弦定理1（2021全国高一课时练习）在中,内角,所对的边分别为,且,则此三角形中的最大角的大小为（）ABCD应用余弦定理解三角形1（2022湖南高一课时练习）在中，(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知，求余弦定理边角互化问题1（2021江西贵溪市实验中学高二期末）在中，角，所对的边分别为，且.（1）求证：；（2）若，且的面积为，求的值.正余弦定理应用实例（三角形形状、实际模型、范围问题）1（2022广西桂林期末（理）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰
3、直角三角形2（2021河南阶段练习）今年多地发生洪水，一小船从处以米分钟的速度沿着北偏东的方向顺河而下，在点南偏东距离为的处有一救生艇，沿着北偏西的方向快速拦截，若要拦截成功，则救生艇速度至少为_米分钟.3（2022四川绵阳（理）在中，角的对边分别为，其中，且.(1)求角的大小；(2)求周长的取值范围.4（2021江苏如皋阶段练习）如图，在平面四边形中，（1）若，求的面积；（2）若，且为锐角，求角A的大小巩固提升一、单选题1已知的内角，所对的边分别为，若，则（）ABCD2在ABC中，已知b2ac且c2a，则cos B等于（）ABCD3某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚A处测得山顶B的
4、仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为75，则此山的高度BC约为（）ABCD4已知是的三边，如果满足，则三角形的形状（）A等腰三角形或直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形5在中，“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中只有一解的是（）ABCD的面积为二、多选题7在中，角、的对边分别是、，下列等式成立的是（）ABCD8三角形 中， 角 的对边分别为 ， 下列条件能判断 是钝角三角形的有 （）ABCD9锐角三角形的面积是，.则（）ABC
5、D10已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（）A若是锐角三角形，则B若，则是等腰三角形C若，则是等腰三角形D若是等边三角形，则三、填空题11在中，则此三角形的最大边长为_.12在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_13已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若的面积为2，边上中线的长为且，则外接圆的面积为_四、解答题14在中，角ABC的对边分别为abc，已知(1)求的值；(2)若，求的值.15已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，且.(1)求C；(2)若D是BC的中点，求AB的长.16如图，在山顶P点已得三点A，B，C的俯角分别为，其中A，B，C
6、为山脚下两侧共线的三点，现欲沿直线AC挖掘一条隧道，试根据测得的AD，EB，BC的长度，建立估计隧道DE长度的数学模型17如图，在平面四边形ABCD中，BCCD，AC=，AD=1，CAD=30(1)求ACD；(2)若ABC为锐角三角形，求BC的取值范围18在非直角中，角，对应的边分别，满足.(1)判断的形状；(2)若边上的中线长为2，求周长的最大值.参考答案：正弦定理判断1D对于选项A：由正弦定理有，故，故选项A错误；对于选项B：因为，故，故选项B错误；对于选项C：，由余弦定理得；故选项C错误；对于选项D：由正弦定理可得，再根据诱导公式可得：，即，故选项D正确；故选：D运用正弦定理解三角形1(
7、1)(2)(3)(1)在中，由正弦定理可得：，即，可得，因为，所以，即.(2)在中，由余弦定理可得：，因为 ，所以.(3)在中，由余弦定理可得：，解得：.2（1）；（2）.（1）因为，所以由正弦定理得；（2）若，则，又由（1）可得，三角形的个数问题1B在中，因为，由正弦定理 ，可得，因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个.故选：B.正弦定理求半径1根据正弦定理可知，所以，而，所以.故答案为：24由，解得解得，解得ABC外接圆的面积为4故答案为：4边角互化问题1(1)；(2).(1)解：，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故.(2)解：由正弦定理，故，故.余弦定理1B中设,由余弦定理可得.因为
8、为三角形的内角,所以此三角形中的最大角,故选:B.应用余弦定理解三角形1(1)或(2)(3)(1)解：，由余弦定理，可得，可得，解得或；(2)解：，由余弦定理，可得；(3)解：，余弦定理边角互化问题1（1）证明见解析；（2）.解：（1）由余弦定理及可得：，变形即可得到，故，综上所述，则结论为.（2）已知，的面积为，则由面积公式可得，由（1）知，有，即正余弦定理应用实例1B解：因为，所以，则，所以，所以是等腰三角形.故选：B.26设在处两船相遇，则由题意得，则是等腰三角形，所以，则，由余弦定理，即，所以，小船需2分钟到处，则救生艇2分钟至少航行12米，速度至少为6米/分钟.故答案为：63(1)(
9、2)(1)解：因为，即，所以，即，所以，又，所以，所以，因为，所以；(2)解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为4（1）4；（2）解：（1）因为，由正弦定理，可得由余弦定理可得，可得，所以（2）因为，所以，即，因为，且为锐角，所以，所以，可得，在中，由正弦定理，可得，可得，因为，又A为锐角，所以巩固提升1B因为，由正弦定理可得：，所以.故选：B.2B，则，由余弦定理得.故选：B3B过点D作，交BC于E，因为，所以，则又因为，所以在中，由正弦定理，得，在中，故山高度约为故选：B.4A解：因为，所以，所以，所以或，即或，所以为等腰三
10、角形或直角三角形.故选：A.5C因为、，且余弦函数在上为减函数，在中，.因此，“”是“”的充要条件.故选：C.6C对于A，此三角形有两个解；对于B，由正弦定理可得，此三角形无解；对于C，且，此三角形只有一个解；对于D，的面积，或，此三角形有两个解故选：C7ABC由余弦定理知：A，B，C正确.对选项D，由余弦定理得，故D错误.故选：ABC8BCA：由可知，且，所以是锐角，故A不能判断；B：由,得，则为钝角，故B能判断；C：由正弦定理，得，则，故C能判断；D：由正弦定理，条件等价于=，则，即，故，则，故D不能判断. 故选：BC9AC解：锐角三角形的面积是，为锐角，故A选项正确，B选项错误，在中，运
11、用余弦定理，可得，故C选项正确，D选项错误故选：AC10ACD对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确；对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确；对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确.故选：ACD.11利用正弦定理可知，B对的边最大，因为，所以，.故答案为：12【解析】【分析】由三角形内角和定理可得角A，B，C的大小，再由正弦定理可得解.【详解】，13或由题设及正弦定理边角关系有，又，又，即又据题意，得，且，或，故或，外接圆的半径或
12、，外接圆的面积为或故答案为：或14(1)(2)(1)在中，由，整理得，又由余弦定理，可得；(2)由（1）可得，又由正弦定理，及已知，可得；故.15(1)(2)(1)，由正弦定理可得，.，即.，.(2)设，则，即，解得或（舍去），.，.16.在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，.17(1)(2)(1)解：在中，由余弦定理得：，所以，又因为，所以(2)解：由，且，可得，在中，由正弦定理得，所以，因为为锐角三角形，所以，可得，则，所以，所以，所以的取值范围为18(1)等腰三角形(2)(1)，可得即根据正弦定理，得代入式，化简得即，为外接圆的半径）化简得，或，即或，又非直角，因此是等腰三角形(2)在ABD和ABC中，由余弦定理可得，又，所以，所以，设，所以ABC的周长2a+ c=，所以当时，2a+ c有最大值为,即ABC周长的最大值为.
