1、【创新设计】（江苏专用）2016高考数学二轮复习 专题五 解析几何考点整合 理第1讲直线与圆高考定位高考对本内容的考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识多为B级或C级要求真 题 感 悟1(2015江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析直线mxy2m10恒过定点(2，1)，由题意，得半径最大的圆的半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.答案(x1)2y
2、222(2013江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上 (1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解(1)由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在设过A(0，3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，得1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2 ，化简得x2y22y30，即x
3、2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.整理得85a212a0.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围是.考 点 整 合1两直线平行或垂直(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在且l1与l2不重合时，l1l2.(2)两条直线垂直：对于两条直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k21.特别地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条
4、直线的斜率为零时，l1l2.2圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为，半径为r；对于二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是3直线方程的5种形式中只有一般式可以表示所有的直线在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理4处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长
5、的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化5直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.热点一直线与圆有关问题微题型1求圆的方程【例11】 (2015广州模拟)若圆C经过(1，0)，(3，0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为_解析因为圆C经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线x2上，又圆与y轴相切，所以半径为2，设圆心坐标为(2，b)，则(21)2
6、b24，b23，b.答案(x2)2(y)24探究提高圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式微题型2圆的切线问题【例12】 (2015重庆卷改编)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB_解析圆C的标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为C(2，1)，半径为r2，因此2a110，a1，即A(4，1)，AB6.答案6探究提高(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求
7、切线方程时主要选择点斜式(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理微题型3与圆有关的弦长问题【例13】 (2015泰州调研)若圆上一点A(2，3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，且圆与直线xy10相交的弦长为2，则圆的方程是_解析设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，点A(2，3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x2y0上，即有a2b0，又(2a)2(3b)2r2，而圆与直线xy10相交的弦长为2，故r22，依据上述方程，解得或所以，所求圆的方程为(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244.答案(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)
8、2244探究提高涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理d2r2求解；二是若斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB|x1x2|.【训练1】 (2015全国卷改编)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|_解析由已知，得(3，1)，(3，9)，则3(3)(1)(9)0，所以，即ABBC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|MN|y1y2|4.答案4热点二直线与圆
9、、圆与圆的位置关系【例2】 (2015全国卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求MN.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为直线l与圆C交于两点，所以1.解得k0)可知圆心为(a，0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2y22ax6)(x2y2)4，即x，所以有，解得a1或1(舍去)答案16(2012江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_解析圆C的标准方程为(x4
10、)2y21，设圆心C(4，0)到直线ykx2的距离为d，则d，由题意知问题转化为d2，即d2，得0k，所以kmax.答案7(2014新课标全国卷)设点M(x0，1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_解析由题意可知M在直线y1上运动，设直线y1与圆x2y21相切于点P(0，1)当x00即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(1，0)符合要求；当x00时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当OMP45时，有x01.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为1，1答案1，18直线axb
11、y1与圆x2y21相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间距离的最小值为_解析根据题意画出图形，如图所示，过点O作OCAB于C，因为AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又OAOB1，根据勾股定理得AB，OCAB.圆心到直线的距离为，即2a2b22，即a2b210.b.则点P(a，b)与点(0，1)之间距离d.设f(b)b22b2(b2)2，此函数为对称轴为x2的开口向上的抛物线，当bF1F2)；(2)双曲线：|MF1MF2|2a(2ab0)(焦点在x轴上)或1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：1(a0，b0
12、)(焦点在x轴上)或1(a0，b0)(焦点在y轴上)3圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e；(2)双曲线：e.渐近线方程：yx或yx.4有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2 |x2x1|或P1P2|y2y1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”、“设而不求法”来简化运算.热点一圆锥曲线的定义和标准方程【例1】 (1)(2015福建卷改编)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双
13、曲线E上，且PF13，则PF2等于_(2)(2015天津卷改编)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为_解析(1)由双曲线定义|PF2PF1|2a，PF13，P在左支上，a3，PF2PF16，PF29.(2)由题意可得，c，又c27a2b2，解得a24，b23.故双曲线方程为1.答案(1)9(2)1探究提高(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟悉记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求PF1PF2F1F2，双曲线的定义中要求|PF1PF2|F1F2，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化(2)注意数形结合，画出合
14、理草图【训练1】 (1)(2015广东卷改编)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4，0)，则m_(2)(2014安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_解析(1)抛物线y24x的焦点坐标是(1，0)，即双曲线的一个顶点坐标是(1，0)，设双曲线方程是1(a0，b0)，则a1，又，因此c2，b，故其渐近线方程是yx.(2)由题意，不妨设直线OA的方程为yx，直线OB的方程为yx.由得x22p x，x，y，A.设抛物线C2的焦点为F，则F，kAF.OAB的垂心为F，AFOB，kA
15、FkOB1，1，.设C1的离心率为e，则e21.e. 答案(1)yx(2)探究提高解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等【训练2】 (1)(2015临沂模拟)已知对称中心为坐标原点的椭圆与双曲线有共同的焦点，其左、右焦点都在x轴上，分别设为F1，F2，它们在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形，若PF23，且椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为_(2)(2015镇江期末)椭圆C：1(ab0)的左
16、焦点为F，若F关于直线xy0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为_解析(1)如图，设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，F1F22c，则PF1F1F22c.在椭圆中，由离心率的定义可知，e1，解得c3，即PF1F1F26.在双曲线中，2a2|PF1PF2|633，故其离心率e22.(2)设左焦点F(c，0)，A点坐标为(x0，y0)，则解得：x0，y0c，又点A在椭圆C上1，又b2a2c2，整理得：c48a2c24a40，e48e240，解得：e242，e1(e1舍去)答案(1)2(2)1热点三有关圆锥曲线的弦长问题【例3】 (2015江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，
17、已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程解(1)由题意，得且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时，AB，又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1，2，C的坐标为，且AB.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而k0，故直线PC的
18、方程为y，则P点的坐标为，从而PC.因为PC2AB，所以，解得k1.此时直线AB的方程为yx1或yx1.探究提高(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交【训练3】 设椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，2.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果AB，求椭圆C的
19、方程解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20.(1)直线l的方程为y(xc)，其中c.联立得(3a2b2)y22b2cy3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2，即2，得离心率e.(2)因为AB|y2y1|，所以，由，得ba，所以a，得a3，b，故椭圆C的方程为1.1椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2By21，其中A，B是不等的常数，AB0时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0时表示双曲线2对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础3在椭圆焦点三角形PF1F2，F1PF2，
20、则c|y0|b2tan.4求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a，c，计算e；法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求.5通径：过双曲线、椭圆的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为，过椭圆焦点的弦中通径最短.一、填空题1(2015南通泰州调研)双曲线1(m0)的离心率为，则m等于_解析由题意得c，所以，解得m9.答案92(2015安徽卷改编)双曲线x21的渐近线方程为_解析焦点在y轴上的渐近线方程为yx2x.答案y2x3已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为_解析由于抛物线y2
21、4x的焦点为F(1，0)，即c1，又e，可得a，结合条件有a2b2c21，可得b2，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2y21.答案5x2y214(2015湖南卷)设F是双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_解析不妨设F(c，0)，则由条件知P(c，2b)，代入1得5，e.答案5(2015江苏五市模拟)已知椭圆1(0m9)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆与A，B两点，若AF2BF2的最大值为10，则m的值为_解析已知椭圆1(0m9)中，a29，b2m.AF2BF24aAB10，AB2，ABmin2，解
22、得m3.答案36(2013新课标全国卷改编)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为_解析直线AB的斜率k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以得.又x1x22，y1y22，所以k，所以，又a2b2c29，由得a218，b29.故椭圆E的方程为1.答案17(2013天津卷改编)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p_解析因为双曲线的离心率e2，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为yxx，与抛物线的准线x相交
23、于A，B，所以AOB的面积为p，又p0，所以p2.答案28(2015青岛模拟)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为_解析双曲线1的渐近线方程为yx，圆C的标准方程为(x3)2y24，圆心为C(3，0)又渐近线方程与圆C相切，即直线bxay0与圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3，0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.答案1二、解答题9已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(1，0)的距离与到定点B(1，0)的距离之比为.(1)求曲线C的方程；(2)过点M(1，
24、2)的直线l与曲线C交于两点M、N，若MN4，求直线l的方程解(1)由题意得PAPB，故化简得：x2y26x10(或(x3)2y28)即为所求(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1.将x1代入方程x2y26x10得y2，所以MN4，满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxk2，由圆心到直线的距离d2，解得k0，此时直线l的方程为y2.综上所述，满足题意的直线l的方程为x1或y2.10(2015安徽卷)设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足BM2MA，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)
25、设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程解(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而，进而得ab，c2b，故e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNSkAB1，从而有解得b3.所以a3，故椭圆E的方程为1.11(2014江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
26、(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解设椭圆的焦距为2c，则F1(c，0)，F2(c，0)(1)因为B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a.因为点C在椭圆上，所以1.解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0，b)，F2(c，0)在直线AB上，所以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2.因此e.第3讲圆锥曲线的综合问题高考定位圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与
27、定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求真 题 感 悟 (2012江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率 (1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.()若AF1BF2，求直线AF1的斜率；()求证：
28、PF1PF2是定值解(1)由题设知a2b2c2，e，由点(1，e)在椭圆上，得1，解得b21，于是c2a21，又点在椭圆上，所以1，即1，解得a22.因此，所求椭圆的方程是y21.(2)由(1)知F1(1，0)，F2(1，0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x1my，直线BF2的方程为x1my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，y20.由，得(m22)y2my110，解得y1，故AF1.同理，BF2.()由得AF1BF2，解得m22，注意到m0，故m.所以直线AF1的斜率为.()证明因为直线AF1与BF2平行，所以，于是，故PF1BF1.由B点在椭圆上知BF1
29、BF22，从而PF1(2BF2)同理PF2(2AF1)因此，PF1PF2(2BF2)(2AF1)2.又由知AF1BF2，AF1BF2，所以PF1PF22.因此，PF1PF2是定值考 点 整 合1定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量2圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等(1)椭圆中的最值F1、F2分别为椭圆1(ab0
30、)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有OPb，a；PF1ac，ac；PF1PF2b2，a2；F1PF2F1BF2.(2)双曲线中的最值F1、F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有OPa；PF1ca.3求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的
31、点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一定点与定值问题微题型1定点的探究与证明【例11】 (2015苏、锡、常、镇模拟)如图，以原点O为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1，过原点O的射线交大圆于点P，交小圆于点Q，P在y轴上的射影为M.动点N满足且
32、0. (1)求点N的轨迹方程；(2)过点A(0，3)作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，与点N的轨迹分别交于E，F两点，k1k29.求证：直线EF过定点(1)解由且0可知，N，P，M三点共线且PMQN.过点Q作QNPM，垂足为N，设N(x，y)因为OP3，OQ1，由相似比可知P(3x，y)因为P在圆x2y29上，所以(3x)2y29，即x21，所以点N的轨迹方程为x21.(2)证明设E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，由得(k9)x26k1x0，解得x0或x，所以xE，yEk13，所以E.因为k1k29，所以k2，用替代中的k1，同理可得F.显然E，F关于原点对称，所以直线EF必过
33、原点O.探究提高如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法微题型2定值的探究与证明【例12】 (2014南京、盐城模拟)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(1，0)，点H(1，)在椭圆上(1)求此椭圆方程；(2)点M(x0，y0)在圆x2y2b2上，M在第一象限，过M作圆x2y2b2的切线交椭圆于P，Q两点，问F2PF2QPQ是否为定值？如果是，求出定值；如不是
34、，说明理由解(1)右焦点为F2(1，0)，c1，左焦点为F1(1，0)又点H(1，)在椭圆上，2aHF1HF24，a2，b，故所求椭圆方程为1.(2)如图所示：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，1(|x1|2)，PF(x11)2y(x11)23(1)(x14)2，PF2(4x1)2x1.连接OM，OP，由相切条件知：PM2OP2OM2xy3x3(1)3x，PMx1，PF2PM2x1x12.同理可求：QF2QM2x2x22.所以F2PF2QPQ224为定值探究提高定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的定值问题同
35、证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现【训练1】 (2015江苏高考命题原创卷)如图，过点C(0，)的椭圆1(ab0)的离心率为，椭圆与x轴交于A(a，0)和B(a，0)两点，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q. (1)当直线l过椭圆的右焦点时，求线段CD的长；(2)当点P异于点B时，求证：为定值(1)解由已知得b，得a2，所以椭圆的方程为1.椭圆的右焦点为F(1，0)，此时直线l的方程为yx.由解得x10，x2，所以CD|x1x2|.(2)证明当直线l与x轴垂直时，与题意不符，所以直线l
36、与x轴不垂直，即直线l的斜率存在设直线l的方程为ykx(k0且k)将其代入椭圆的方程，化简得(34k2)x28kx0，解得x10，x2.将其代入直线l的方程，得y1，y2.所以D点的坐标为.因为B(2，0)，kBD，所以直线BD的方程为y(x2)又直线AC的方程为1，联立直线AC与直线BD的方程解得即Q.而P，所以404.所以为定值4.热点二最值与范围问题微题型1求线段长度、三角形面积的最值【例21】 (2014新课标全国卷)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OP
37、Q的面积最大时，求l的方程解(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1，2.从而PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQdPQ.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.探究提高若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方
38、法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值微题型2求几何量、某个参数的取值范围【例22】 (2015青岛模拟)已知椭圆C：1(ab0)经过点M，其离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：ykxm(与椭圆C相交于点A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求OP的取值范围解(1)由已知可得e2，所以3a24b2.又点M在椭圆C上，所以1.由以上两式联立，解得a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)当k0时，P(0，2m)在椭圆C上，解得m，所以OP.当k0时，由消去y并化简整理，得(34k2)x28kmx
39、4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)48(34k2m2)0，设A，B，P点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)，由题意得x1，x2为上述一元二次方程的两根，解方程得x1，2，则x0x1x2，y0y1y2k(x1x2)2m.由于点P在椭圆C上，所以1.从而1，化简得4m234k2.所以OP.因为0|k|，所以34k234，即1.故OP.综上，所求OP的取值范围是.探究提高求OP的取值范围的关键是用待定系数k，m表示其大小，找到k和m的大小关系式后利用已知条件0|k|求OP的取值范围本题利用了不等式的性质，也可以利用函数、导数来求范围【训练2】 (2015浙
40、江卷)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将AB中点M代入直线方程ymx解得b，由得m或m.(2)令t，则AB.且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)ABd.当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.1解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定
41、值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标2圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范
42、围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.一、填空题1(2015苏北四市调研)若双曲线x21(b0)的一条渐近线与圆x2(y2)21至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_解析双曲线的渐近线方程为ybx，则有1，解得b23，则e21b24，得1e2.答案(1，22(2015广州模拟)已知椭圆1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则PAPB的最大值为_解析在椭圆中，由a5，b4，得c3，故焦点为(3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(3，0)，由椭圆的定义得PBPC10，所以PAPB10PAPC，因为|PAPC|AC5，所以当点P，A，C三点共线时，PAPB
43、取得最大值15.答案153在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点，则k的取值范围为_解析由已知可得直线l的方程为ykx，与椭圆的方程联立，整理得x22kx10，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以8k244k220，解得k或k，即k的取值范围为.答案4已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_解析由已知得A1(1，0)，F2(2，0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，则f(x)在1，)上单调递增，所以当x1时，函数f(x)取最小值，即取最小值，最小值为2.
44、答案25(2015榆林模拟)若双曲线1(a0，b0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围是_解析因为双曲线的渐近线为yx，要使直线yx与双曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1e2.答案(1，26(2015成都模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1k2的值为_解析由e21，得，设M(x，y)，A(m，n)，B(m，n)，则k1k2，把y2b2，n2b2代入式并化简，可得k1k2.答案7(2014福建卷改编)设
45、P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是_解析如图所示，设以(0，6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2(y6)2r2(r0)，与椭圆方程y21联立得方程组，消掉x2得9y212yr2460.令12249(r246)0，解得r250，即r5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r6.答案68(2014湖北卷改编)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_解析设PF1r1，PF2r2(r1r2)，F1F22c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e
46、2，由(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得.令m，当时，mmax，即的最大值为.答案二、解答题9设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上(1)解因为焦距为1，且焦点在x轴上，所以2a21，解得a2.故椭圆E的方程为1.(2)证明设P(x0，y0)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中c.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P.直线F2P的斜率kF2P.故直线F2P的方程为y(xc)当x0时，y
47、，即点Q坐标为.因此，直线F1Q的斜率为kF1Q.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得yx(2a21)，将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限解得x0a2，y01a2.即点P在定直线xy1上10(2015天津卷)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，FM.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围解(1)由已知，有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c，0
48、)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由FM.解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1，或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.当x(1，0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是
49、m，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.11已知椭圆的焦点坐标为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆方程为1(ab0)，由焦点坐标可得c1.由PQ3，可得3.又a2b21，得a2，b.故椭圆方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y10，y20，所以f(t)在1，)上单调递增，有f(t)f(1)4，3，当t1，m0时，3，又4R，Rmax.这时所求内切圆面积的最大值为.故F1MN内切圆面积的最大值为，且此时直线l的方程为x1.
