1、课时跟踪检测（六） 函数的奇偶性及周期性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)_.解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，则f(2)f(2)(221)3.答案：32(2017南京三模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)2x2，则不等式f(x1)2的解集是_解析：偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(2)2.所以f(x1)2，即f(|x1|)f(2)，即|x1|2，所以1x3.答案：1,33函数f(x)x1，f(a)3，则f(a)_.解析：由题意得f(a)f(a)a1(a)
2、12.所以f(a)2f(a)1.答案：14函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)1，所以当x0，f(x)f(x)(1)，即x0，即f (log3)f(1)f(1)，即log31loga.所以或解得0a1或a3.答案：(0,1)(3，)2设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f _.解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f f f f 2.答案：3定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f 0，则满足f(x)0的x的集合为_解析：由奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f 0，得函数yf(x)在(，0)上递增，且f 0，所以f
3、(x)0时，x或x0的x的集合为.答案：4(2018泰州期末)设f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)2xln，记anf(n5)，则数列an的前8项和为_解析：数列an的前8项和为f(4)f(3)f(3)f(4)(f(3)f(3)(f(2)f(2)(f(1)f(1)f(0)f(4)f(4)16.答案：165(2018徐州高三年级期中考试)已知函数f(x)exex1(e为自然对数的底数)，若f(2x1)f(4x2)2，则实数x的取值范围为_解析：令g(x)f(x)1exex，则g(x)为奇函数，且在R上单调递增因为f(2x1)f(4x2)2，所以f(2x1)1f(4x2)10，即g(2x1)
4、g(4x2)0，所以g(2x1)g(x24)，即2x1x24，解得x(1,3)答案：(1,3)6(2018镇江中学测试)已知奇函数f(x)在定义域R上是单调减函数，若实数a满足f(2|2a1|)f(2)0，则a的取值范围是_解析：由f(2|2a1|)f(2)0，可得f(2|2a1|)f(2)因为f(x)为奇函数，所以f(2|2a1|)f(2)因为f(x)在定义域R上是单调减函数，所以2|2a1|2，即|2a1|，解得a0的解集为_解析：由0，可得或因为奇函数f(x)在(，0)上单调递减，所以f(x)在(0，)上单调递减，且f(2)f(2)0，所以当x1时，f(x)0的解集为(1,2)；当x1时
5、，f(x)0的解集为(2,0)(1,2)答案：(2,0)(1,2)8已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)x，则f(1)，g(0)，g(1)之间的大小关系是_解析：在f(x)g(x)x中，用x替换x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.联立方程组解得f(x)，g(x)，于是f(1)，g(0)1，g(1)，故f(1)g(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)9(2018通州中学检测)已知函数f(x)x2(x0，aR)(1)判断函数f(x)的奇偶性
6、；(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)x2(x0)为偶函数；当a0时，f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)2x，要使f(x)在区间2，)上是增函数，只需当x2时，f(x)0恒成立，即2x0在2，)上恒成立，则a2x316，)恒成立故若f(x)在区间2，)上是增函数，则实数a的取值范围为(，1610已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x
7、)，于是x0时，f(x)x，且当x3，1时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值是_解析：因为当x3，1时，nf(x)m恒成立，所以nf(x)min且mf(x)max，所以mn的最小值是f(x)maxf(x)min，又由偶函数的图象关于y轴对称知，当x3，1时，函数的最值与x1,3时的最值相同，又当x0时，f(x)x，在1,2上递减，在2,3上递增，且f(1)f(3)，所以f(x)maxf(x)minf(1)f(2)541.答案：12设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f f 成立(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值；(3)若g(x)x2ax3，且y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数a的值解：(1)由f f ，且f(x)f(x)，知f(3x)f f f(x)f(x)，所以yf(x)是周期函数，且T3是其一个周期(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又T3是yf(x)的一个周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)202.(3)因为y|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数故g(x)x2ax3为偶函数，即g(x)g(x)恒成立，于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立于是2ax0恒成立，所以a0.
