1、第13讲 导数的综合运用1.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf(x)0的解集为_解析 由f(x)的图象知，当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0，所以xf(x)0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件解析 依题意得，y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0.因此，当x3时，该商品的年利润最大答案 33若f(x)xsin xcos x，则f(3)，f，f(2)的大小关系为_解析 由f(x)f(x)知函数f(x)为偶函数，因此f(3)f(3)又f(x)sin xxcos xsin xxcos x，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以f(x)在
2、区间上是减函数，所以ff(2)f(3)f(3)答案 f(3)f(2)f4若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析 由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可f(x)3x23，令3x230，得x1，只需f(1)f(1)0，即(a2)(a2)0，故a(2，2)答案 (2，2)5若f(x)，0ab0，即f(x)0，所以f(x)在(0，e)上为增函数，又因为0abe，所以f(a)f(b)答案 f(a)0，若f(1)0，那么关于x的不等式xf(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增又函数f(x)是R上的偶函数，所以f(1)f(1)0.当x0时，f(x)0，所以0x1
3、；当x0，所以xlog0.5对任意x2，4恒成立，则m的取值范围为_解析 以0.5为底的对数函数为减函数，所以得真数关系为x37x2x7，令f(x)x37x2x7，则f(x)3x214x1，因为f(2)0且f(4)0，所以f(x)0在2，4上恒成立，即在2，4上函数f(x)为增函数，所以f(x)的最大值为f(4)45，因此m45.答案 (45，)11(2018泰州期中考试)已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x)1，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1)解 (1)函数的定义域为(0，)，对函数求导，得f(x)x1.由f(x)0，得解得0x
4、，故f(x)的单调递增区间为.(2)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(1，)，则有F(x)，当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)1满足题意；当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)，则f(x)1满足题意；当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(1，)，则有G(x)x1k，由G(x)0得，x2(1k)x10.解得x11，所以当x(1，x2)时，G(x)0，故G(x)在(1，x2)内单调递增，从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即f(x)k(x1)，综上，k的取值范围是k1.12(2018江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二)如图，两居民小区A和B相距20 km，现
5、计划在两居民小区外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建信号发射塔，其对小区的影响度与所选地点到小区的距离有关，对小区A和小区B的总影响度为小区A与小区B的影响度之和，记点C到小区A的距离为x km，建在C处的信号发射塔对小区A和小区B的总影响度为y，统计调查表明：信号发射塔对小区A的影响度与所选地点到小区A的距离的平方成反比，比例系数为k；对小区B的影响度与所选地点到小区B的距离的平方成反比，比例系数为9.当信号发射塔建在半圆弧AB的中点时，对小区A和小区B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断半圆弧AB上是否存在一点，使建在此处的信号发射塔
6、对小区A和小区B的总影响度最小？若存在，求出该点到小区A的距离；若不存在，请说明理由解 (1)由题意知ACBC，BC2400x2，y(0x20)，其中当x10时，y0.065，所以k4.所以y(0x20)(2)因为y(0x20)，所以y，令y0得18x48(400x2)2，所以x2160，即x4，当0x4时，18x48(400x2)2，即y0，所以函数y为单调递减函数，当4x8(400x2)2，即y0，所以函数y为单调递增函数所以当x4时，即当点C到小区A的距离为4 km时，函数y(0x20)有最小值，即信号发射塔对小区A和小区B的总影响度最小1某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商
7、品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元解析 设商场销售该商品所获利润为y元，则y(p20)Q(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，则y3p2300p11 700.令y0得p2100p3 9000，解得p30或p130(舍去)则p，y，y变化关系如下表：p(20，30)30(30，)y0y极大值故当p30时，y取极大值为23 000元又yp3150p211 700p166 000在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件
8、30元，所获利润最大为23 000元答案 3023 0002(2018南京、盐城高三模拟)已知函数f(x)ln x(ea)xb，其中e为自然对数的底数若不等式f(x)0恒成立，则的最小值为_解析：由不等式f(x)0恒成立可得f(x)max0.f(x)ea，x0，当ea0，即ae时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，且x趋近于，f(x)趋近于，此时f(x)0不可能恒成立；当ea0，即ae时，由f(x)0得x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，此时f(x)maxfln(ae)1b0，则bln(ae)1，又ae，所以，ae，令aet0，则，t0.令g
9、(t)，t0，则g(t)，由g(t)0得te，且当t(0，e)时，g(t)0，g(t)单调递减，当t(e，)时，g(t)0，g(t)单调递增，所以g(t)ming(e)，即，故的最小值为.答案：3(2018南京、盐城模拟)已知函数f(x)满足：f(x)2f(x2)，xR；f(x)ln xax，x(0，2)；f(x)在(4，2)内能取到最大值4.(1)求实数a的值；(2)设函数g(x)bx3bx，若对任意的x1(1，2)总存在x2(1，2)使得f(x1)g(x2)，求实数b的取值范围解 (1)当x(4，2)时，有x4(0，2)，由条件得f(x4)ln(x4)a(x4)，再由条件得f(x)2f(x
10、2)4f(x4)4ln(x4)4a(x4)故f(x)4a，x(4，2)由，f(x)在(4，2)内有最大值，方程f(x)0，即4a0在(4，2)内必有解，故a0，且解为x4.又最大值为4，所以f(x)maxf(4)4ln()4a()4，即ln()0，所以a1.(2)设f(x)在(1，2)内的值域为A，g(x)在(1，2)内的值域为B，由条件可知AB.由(1)知，当x(1，2)时，f(x)ln xx，f(x)10，故f(x)在(1，2)内为减函数，所以A(f(2)，f(1)(ln 22，1)对g(x)求导得g(x)bx2bb(x1)(x1)若b0，则当x(1，2)时，g(x)0，则当x(1，2)时
11、，g(x)0，g(x)为增函数，所以B(g(1)，g(2)(b，b)由AB，得bln 22且b1，故必有b3ln 2.若b0，则B0，此时AB不成立综上可知，b的取值范围是(，ln 233ln 2，)4(2018江苏省扬州中学月考)设函数f(x)ln x，g(x)(m0)(1)当m1时，函数yf(x)与yg(x)在x1处的切线互相垂直，求n的值；(2)若函数yf(x)g(x)在定义域内不单调，求mn的取值范围；(3)是否存在实数a，使得ff(eax)f0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由解 (1)当m1时，g(x)，所以yg(x)在x1处的切线斜率为，由f
12、(x)，所以yf(x)在x1处的切线斜率为1，所以11，所以n5.(2)易知函数yf(x)g(x)的定义域为(0，)，又yf(x)g(x)，由题意，得x2m(1n)的最小值为负，所以m(1n)4(注：结合函数yx22m(1n)x1图象同样可以得到)，所以m(1n)4，所以m(1n)4，所以mn3.(3)令(x)ff(eax)faxln 2aaxln xln xln 2a，其中x0，a0，则(x)aln 2aaln xa，设(x)aln 2aaln xa，(x)0，所以(x)在(0，)单调递减，(x)0在区间(0，)必存在实根，不妨设(x0)0，即(x0)aln 2aaln x0a0，可得ln x0ln 2a1，(*)(x)在区间(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减，所以(x)max(x0)，(x0)(ax01)ln 2a(ax01)ln x0，将(*)式代入得(x0)ax02，根据题意(x0)ax020恒成立又根据基本不等式，ax02，当且仅当ax0时，等式成立，所以ax02，ax01所以x0.代入(*)式得，ln ln 2a，即2a，a.
