1、第6讲 正弦定理和余弦定理1(2018惠州一调改编)在ABC中，a，b3，c2，则A_解析 由余弦定理直接得cos A，且A(0，)，得A.答案 2在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有_个解解析 因为，所以sin Bsin Asin 45，所以sin B.又因为ab，所以角B有两个答案 两3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b_.解析 由余弦定理，得4b222bcos A5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)答案 34(2018江苏省高考名校联考(三)在ABC中，已知2asin A2(bsin Bcsin C)(csin Bbsin
2、 C)，则角A的值为_解析：因为2asin A2(bsin Bcsin C)(csin Bbsin C)，所以a2b2c2bc，即cos A，得A.答案：5在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A_.解析 设BC边上的高为AD，则BC3AD，DC2AD，所以ACAD.由正弦定理，知，即，解得sin A.答案 6在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2b22c2，则cos C的最小值为_解析 因为a2b22c2，所以由余弦定理可知，c22abcos C，cos C.答案 7设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a，3sin A5sin B，则角C_
3、解析 由已知条件和正弦定理得：3a5b，且bc2a，则a，c2ab，cos C，又0C，因此角C.答案 8(2018苏州质量检测)已知ABC中，角A、B、C成等差数列，且ABC的面积为1，则AC边的长的最小值是_解析 因为A、B、C成等差数列，所以AC3B，又ABC，所以B，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由SABCacsin B1得ac2(2)，由余弦定理及a2c22ac，得b2(2)ac，即b2(2)2(2)，所以b2，所以AC边的长的最小值为2.答案 29如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，2ABBD，BC2BD，则sin C_解析 设BD1，则ABAD，BC2.在A
4、BD中，解得sin A，在ABC中，由正弦定理，得sin C.答案 10(2018合肥质检)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2b2c2bc.若a，S为ABC的面积，则S3cos Bcos C的最大值为_解析 由cos AA，又a，故Sbcsin Aasin C3sin Bsin C，因此S3cos Bcos C3sin Bsin C3cos Bcos C3cos(BC)，于是当BC时取得最大值3.答案 311(2018江苏省重点中学领航高考冲刺卷(九)在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a2csin A.(1)求角C的大小；(2)若c2，且ABC的面积
5、为，求ab的值解 (1)由题意得sin A，由正弦定理得sin A.又sin A0，所以sin C，又0C90，所以C60.(2)因为SABCabsin 60，所以ab4.又c2，所以由余弦定理得c2a2b22abcos 60，即4a2b22ab，即4(ab)22abab，所以(ab)243ab16，所以ab4.12(2018江苏省高考名校联考(四)已知在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且.(1)证明：cos Acos Bcos C；(2)若b2c2a2bc，求tan C的值解：(1)证明：因为，所以由正弦定理可知，即.因为在ABC中，sin(AB)sin C0，所以cos A
6、cos Bcos C.(2)因为b2c2a2bc，根据余弦定理可知cos A，因为A为三角形的内角，所以sin A，tan A2.由cos Acos Bcos C和ABC得，cos Acos Bcos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B，所以2cos Acos Bsin Asin B，所以tan Atan B2，由tan A2得，tan B，所以tan Ctan(AB).1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_解析 法一：因为cos A，cos C，所以sin A，sin C，由正弦定理，得c.从而bacos Cccos A.
7、法二：如图，作BDAC于点D，由cos C，aBC1，知CD，BD.又cos A，所以tan A，从而AD.故bADDC.答案 2ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，则A_.解析 由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A，所以2b2(1sin A)2b2(1cos A)，所以sin Acos A，即tan A1，又0ABC，因为钝角三角形三个内角的度数成等差数列，所以2BAC，从而3B180，即B60，所以AC120，又A90，所以0C30，所以A120C(C(0，30)，故m，由于C(0，30) ，所以tan C，故m(2
8、，)答案 (2，)4在ABC中，C90，M是BC的中点若sinBAM，则sinBAC_解析 因为sinBAM，所以cosBAM.如图，在ABM中，利用正弦定理，得，所以.在RtACM中，有sinCAMsin(BACBAM)由题意知BMCM，所以sin(BACBAM)化简，得2sinBACcosBACcos2BAC1.所以1，解得tanBAC.再结合sin2BACcos2BAC1，BAC为锐角可解得sinBAC.答案 5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围解 (1)由已知得cos(
9、AB)cos Acos Bsin Acos B0，即有sin Asin Bsin Acos B0，因为sin A0，所以sin Bcos B0，即cos Bsin B.因为0B0，所以cos B0，所以tan B，即B.(2)由余弦定理得b2a2c22accos B，因为ac1，cos B，所以b2(ac)23ac(ac)23(ac)2，所以b.又acb，所以b1，所以b1.6(2018江苏省高考名校联考(一)已知在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量m(cos A，cos B)，n(b2c，a)，且mn.(1)求角A的大小；(2)若a4，bc8，求AC边上的高h的值解：(1)因为mn，所以mn0，所以(b2c)cos Aacos B0，由正弦定理得cos Asin B2cos Asin Ccos Bsin A0，即sin(AB)2cos Asin C0，因为ABC，所以sin(AB)sin C，所以sin C2cos Asin C0.又C(0，)，所以sin C0，所以cos A.因为A(0，)，所以A.(2)由解得bc4.又SABCbcsin AhAC，所以h2.
