1、第4讲 空间几何体的结构及其表面积和体积1正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为_解析 S底64224，S侧646144，所以S全S侧2S底1444848(3)答案 48(3)2将一个边长分别为4，8的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是_解析 当以长度为4的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8；当以长度为8的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积322.故所求的表面积是3228或32232.答案 3228或322323一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的棱长为a，则球的表面积为_解析 由题意知，球的半径R.所以
2、S球4R2a2.答案 a24以下命题：以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为_解析 命题错，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行答案 15(2018江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二)在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥，而小强制作了一个球，经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积，则圆锥和球的体积的比值等于_解析 设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，则圆锥的母线长为2r，高为r.由题意可知r2r4R2，即rR.所以()3.答案 6(
3、2018苏锡常镇四市调研)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB2，AD3，PA4，点E为棱CD上一点，则三棱锥EPAB的体积为_解析 因为VEPABVPABESABEPAABADPA2344.答案 4 7(2018江苏省高考名校联考(四)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，上、下底面为平行四边形，E为棱CD的中点，设四棱锥EADD1A1的体积为V1，四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为V2，则V1V2_解析：由题意，将侧面ADD1A1作为四棱柱的底面，设顶点C到平面ADD1A1的距离为2h，因为E为棱CD的中点，所以E到平面ADD1A1的距离为h，所以V
4、1V2VEADD1A1VBCC1B1ADD1A1S四边形ADD1A1hS四边形ADD1A1(2h)16.答案：168.如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析 如图，四棱锥的高h，所以VSh1.答案 9在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是_解析 易知AC10.设底面ABC的内切圆的半径为r，则68(6810)r，所以r2，因为2r43，所以最大球的直径2R3，即R.此时球的体积VR3.答案 10(2018江苏省重点中学领航高考冲刺卷(八)中国古代数学名著九章算
5、术中记载：“今有羡除”刘徽注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是_解析 如图，过点A作APCD，AMEF，过点B作BQCD，BNEF，垂足分别为P，M，Q，N，连结PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为10315.棱柱的高为8，体积V158120.答案 12011一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm、18 cm，侧棱长是13 cm，求它的全面积解 上底面周长为c3824 cm，下底面
6、周长c31854 cm，斜高h12 cm，所以S正棱台侧(cc)h(2454)12468 cm2，S上底面8216 cm2，S下底面18281 cm2，所以正三棱台的全面积为S4681681(46897) cm2.12.如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积解 法一：连结A1C1，B1D1交于点O1，连结B1D，EF，过O1作O1HB1D于H.因为EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离因为平面B1D1D平面B1EDF，平
7、面B1D1D平面B1EDFB1D，所以O1H平面B1EDF，即O1H为棱锥的高因为B1O1HB1DD1，所以O1Ha.所以VC1B1EDFS四边形B1EDFO1HEFB1DO1Haaaa3.法二：连结EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D1a.由题意得，VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EFSC1EF(h1h2)a3.1已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则过圆锥的高的中点的平面截圆锥所得的圆台的体积为_解析 如图，在正三角形SAB中，AB2，SO，OB1，O1O，圆台的体积为Vh(r2rrr2).答案 2(2018江苏省高考命题研
8、究专家原创卷(五)九章算术第五章商功记载：今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？此处圆堡瑽即圆柱体，其意思是：有一个圆柱体的底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若的值取3，估算该圆堡瑽的体积为_立方尺(注：一丈等于十尺)解析：设该圆柱体底面圆的半径为r尺，则由题意得2r48，所以r8，又圆柱体的高为11尺，故该圆堡瑽的体积Vr2h2 112立方尺答案：2 1123已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为_解析：如图，设球的半径为R，因为 AOB90，所以SAOBR2.因为 VO ABCVCAOB，而A
9、OB面积为定值，所以当点C到平面AOB的距离最大时，VO ABC最大，所以当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO ABC最大为R2R36，所以R6，所以球O的表面积为4R2462144.答案：1444已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面积为_解析 如图所示，设点D为BC的中点，则A1D平面ABC，因为BC平面ABC，所以A1DBC，因为ABC为等边三角形，所以ADBC，又ADA1DD，AD平面A1AD，A1D平面A1AD，所以BC平面A1AD，因为A1A平面A1AD，所以BCA1A.又因为A1AB1B，所以BC
10、B1B.又因为三棱柱的侧棱与底面边长都等于2，所以四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.作DEAB于E，连结A1E，则ABA1E，又因为AD，DE，所以AE，所以A1E，所以S四边形ABB1A1S四边形AA1C1C，所以S三棱柱侧24.答案 245四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积解 (1)如图，在四面体ABCD中，设ABBCCDACBDa，ADx，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP，得到AD平面BPC，所以VABCDVABPCVDBPCSBPCAPSBPCPDSBPCADaxa3.所以该四面体的体
11、积的最大值为a3.(2)由(1)知，ABC和BCD都是边长为a的正三角形，ABD和ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，所以S表2a22a a2aa2a2.6把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解 由题图可知，箱底边长为x，则箱高为h(0xa)，箱子的容积为V(x)x2sin 60hax2x3(0x0；当x时，V(x)0，所以函数V(x)在xa处取得极大值，这个极大值就是函数V(x)的最大值：Vaa3.所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a3.
