1、第五节椭_圆1椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆：在平面内；与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点(3)焦距：两焦点间的距离2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0,0)顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e，e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21椭圆的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件，
2、当2a|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a|F1F2|不存在轨迹2求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为1(ab0)3注意椭圆的范围，在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因试一试若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.y21B.1C.y21或1 D以上答案都不对解析：选C直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c2，b1，a25，所求椭圆的标准方程为y21.当焦点在y轴上时，b2，c1，a25，所求椭圆标准方程为
3、1.故选C.1求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程2椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为ac.3求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e(0e1)练一练1已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m
4、2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：选D在双曲线中m2n2c2，又2n22m2c2，解得m，又c2am，故椭圆的离心率e.2椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则这个椭圆方程为_解析：由题意知解得椭圆方程为1或1.答案：1或1考点一椭圆的定义及标准方程1.(2014三明模拟)设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|43，则PF1F2的面积为()A30B25C24 D40解析：选C|PF1|PF2|14，又|PF1|PF2|43，|PF1|8，|PF2|6.|F1F2|10，PF1
5、PF2.SPF1F2|PF1|PF2|8624.2(2014烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2, )是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A设椭圆的标准方程为1(ab0)由点P(2, )在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，又c2a2b2，联立得a28，b26.3已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.
6、1 D.1解析：选D设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，故所求的轨迹方程为1.类题通法1椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等2利用定义和余弦定理可求得|PF1|PF2|，再结合|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积3当椭圆焦点位置不明确时，可设为1(m0，n0，mn)，也可设为Ax2By21(A0，B0，且AB)考点二椭圆的几何性质典例(2013福建高考)椭圆：1(
7、ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析直线y(xc)过点F1，且倾斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.答案1本例条件变为“过F1，F2的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.解：作图分析可知以线段F1F2为直径的圆在椭圆的内部，所以cb，从而c2b2，即c2a2c2，2，0，故e.类题通法椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即
8、使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如axa，byb,0e1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系针对训练1椭圆1的离心率为，则k的值为()A21B21C或21 D.或21解析：选C若a29，b24k，则c，由，即，得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21.2若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为21，则此椭圆离心率的取值范围是()A， B，C(，1) D，1)解析：选D设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k2a，又结合椭圆的性质可知椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k2c，2a6c
9、，即e.又0e1，e1.考点三直线与椭圆的位置关系典例(2013天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值解(1)设F(c,0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线的方程为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根与系数
10、的关系可得x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.类题通法1解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单2直线和椭圆相交的弦长公式|AB| 或|AB| .针对训练(2013全国新课标)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1 (ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两
11、点，P为AB的中点，且OP的斜率为. (1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3| .由已知，四边形ACBD的面积S|CD
12、|AB| .当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为. 课堂练通考点1.(2013惠州调研)“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C把椭圆方程化成1.若mn0，则0.所以椭圆的焦点在y轴上反之，若椭圆的焦点在y轴上，则0即有mn0.故为充要条件2. (2013广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D依题意，设椭圆方程为1(ab0)，所以解得a24，b23.3. (2013江南十校联考)若
13、一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：选B由题意知2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)4(2014池州模拟)已知点M(，0)，椭圆y21与直线yk(x)交于点A，B，则ABM的周长为_解析：M(，0)与F(，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F(，0)，且|AB|AF|BF|，ABM的周长等于|AB|AM|BM|(|AF|AM|)(|BF|BM|)4a8.答案：8 5. (2014莆田模拟)点A，B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点
14、P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解：(1)由题意可知点A(6,0)，F(4,0)设点P的坐标为(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)，且y0，由已知得即2x29x180，解得或(舍)点P的坐标为.(2)直线AP的方程为xy60，设点M的坐标为(m,0)，由题意可知|m6|.又6m6，m2，d2(x2)2y2x24x420x2215.当x时，d取得最小值.课下提升考能第卷：夯基保分卷1椭圆x2my21的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为()A.B.C2 D4
15、解析：2设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A4 B3C2 D5解析：选A由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.3(2013石家庄模拟) 中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D依题意，2c4，c2，又e，则a2，b2，所以椭圆的标准方程为1.4已知P是以F1，F2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点，若0，tanPF1F2，则此椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选D0，|PF1|PF2|c2a，e.
16、5若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_解析：因为方程1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|1a30，解得3a2.答案： (3，2)6. (2013辽宁高考)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.解析：设椭圆的右焦点为F1，在ABF中，由余弦定理可解得|BF|8，所以ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|c5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|AF1|8，所以2a14，a7，所以离心率e.答案：7已知椭圆1(ab0)，点P在椭圆上(1)求
17、椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|AO|，求直线OQ的斜率解：(1)因为点P在椭圆上，故1，可得.于是e21，所以椭圆的离心率e.(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为ykx.设点Q的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理得x.由|AQ|AO|，A(a,0)及y0kx0得，(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00.而x00，故x0.代入，整理得(1k2)24k24.由(1)知，故(1k2)2k24，即5k422k2150，可得k25.所以直线OQ的斜率k.8. (2014黄山模拟)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2.点P
18、(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且|MN|AB|，求椭圆的方程解：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2()210.即2e2e10，所以e或1(舍)(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程组的解不妨设A，B(0，c)，所以|AB| c.于是|MN|AB|2c.圆心(1，)到直线PF2
19、的距离d.因为d2242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.第卷：提能增分卷1. (2014长春调研)已知椭圆1(ab0)的离心率为，右焦点到直线xy0的距离为2.(1)求椭圆的方程；(2)过点M(0，1)作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，且满足，求直线l的方程解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c0)，则2，c2，c或c3(舍去)又离心率，故a2，b，故椭圆的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0,0)，因为，所以(x1x0，y1)(x2x0，y2)，y1y2.易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，不成立
20、，于是设直线l的方程为ykx1(k0)，联立方程，得消去x得(4k21)y22y18k20，因为0，所以直线与椭圆相交，于是y1y2，y1y2， 由得，y2，y1，代入整理得8k4k290，k21，k1，所以直线l的方程是yx1或yx1.2已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且 2.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，由题意知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x
21、2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，得则(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)0.由根与系数的关系知又由2，即(x1，my1)2(x2，y2m)，得x12x2，故可得22，整理得(9m24)k282m2，又9m240时不符合题意，所以k20，解得m24，此时0，解不等式m24得m2或2m，所以m的取值范围为.3(2014兰州模拟)已知椭圆方程为x21，斜率为k(k0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0，m)(1)求m的取值范围；(2)求MPQ面积的最大值解：(1)设直线l的方程为ykx1，由可得(k22)x22kx10.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.可得y1y2k(x1x2)2.设线段PQ的中点为N，则点N的坐标为，由题意有kMNk1，可得k1，可得m，又k0，所以0m.(2)设椭圆的焦点为F，则SMPQ|FM|x1x2|，所以MPQ的面积为.设f(m)m(1m)3，则f(m)(1m)2(14m)可知f(m)在区间上递增，在区间上递减所以，当m时，f(m)有最大值f.即当m时，MPQ的面积有最大值.
