1、北大附中新疆分校20182019学年度第一学期高二年级月考试卷数 学 问 卷考试时间120分钟 满分150分一：选择题：（51260分）1.在空间直角坐标系中，点（-2,1,4）关于轴对称的点坐标是（ ）A. （-2 , 1 , -4） B. （2 , 1 , -4）C. （-2 , -1 , -4） D. （2 , -1 , 4）【答案】C【解析】【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标【详解】在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，y，z），点（2，1，4）关于
2、x轴的对称点的坐标为：（2，1，4）故选：C【点睛】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题2.若方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆,则k的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次方程表示圆的充要条件列出不等式，通过解不等式求出k的范围【详解】方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆,1+1-4k0故选：D【点睛】二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件为：D2+E2-4F03.边长为正四面体的表面积是 （ ）A. ； B. ；C. ； D. 【答
3、案】D【解析】【分析】根据边长为a的正四面体的表面为4个正三角形，运用公式计算可得【详解】边长为a的正四面体的表面为4个边长为a正三角形，表面积为：4a=a2，故选：D【点睛】本题考查了空间几何体的性质，面积公式，属于简单的计算题4.与圆，圆都相切的直线条数是（ ）A. 2条 B. 3条C. 4条 D. 1条【答案】B【解析】【分析】根据已知中圆的方程，求出圆心坐标和半径，判断出两圆外切，可得答案【详解】圆的圆心坐标为（2，2），半径为1，圆的圆心坐标为（2，5），半径为4，两个圆心之间的距离d=5，等于半径和，故两圆外切，故公切线共有3条，故选：B【点睛】本题考查的知识点是两圆的位置关系，圆
4、的一般方程，属于基础题5.设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】B【解析】试题分析：A中，由可知可能，也可能与相交；B中，由可知可能，也可能；D中，由可知可能也可能与相交故选C考点：线面平行、垂直6.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球表面积是（ ）A. ； B. ；C. ； D. 都不对【答案】B【解析】长方体的8个顶点都在同一球面上，则这个球是长方体的外接球，所以球直径等于长方体的体对角线长，即，所以球的表面积为，故选B7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
5、 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】三视图对应的原图如下所示： ，面，选8.直线与圆相交于两点，则弦长（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：圆心到直线的距离为，所以弦长为.考点：直线与圆的位置关系9. 如下图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM与ED平行 CN与BE是异面直线 CN与BM成60o角 DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是A. B. C. D. 【答案】C【解析】画出正方体，如图所示，易知，错误，正确故选C.10.若圆 上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】略11
6、.四面体中，若，则点在平面内的射影点是的( )A. 外心 B. 内心C. 垂心 D. 重心【答案】A【解析】【分析】由已知条件推导出POAPOBPOC，由此能求出点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的外心【详解】设P在平面ABC射影为O，PA=PB=PC，PO=PO=PO，（公用边），POA=POB=POC=90，POAPOBPOC，OA=OB=OC，O是三角形ABC的外心故选：A【点睛】本题考查三角形外心的判断，是基础题，解题时认真审题，注意空间思维能力的培养12.曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：曲线可以化为，它表示以为
7、圆心，以为半径的圆的上半部分，而直线4过定点，画出图象可知当直线过点时，直线与半圆有两个交点，此时直线的斜率为；当直线与半圆相切时，直线斜率为，所以要使半圆与曲线有两个交点，实数的取值范围是，故选D考点：直线与圆的位置关系二填空题：（5420分）13.点P（4，2）与圆上任一点连线的中点轨迹方程是_.【答案】【解析】设圆上任一点坐标为M(x0，y0)，则，PM的中点坐标为(x，y)，则解得代入中得(x2)2(y1)21.点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是
8、某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程14.空间坐标系中，给定两点A、B，满足条件|PA|=|PB|的动点P的轨迹方程是_（即P点的坐标x、y、z间的关系式）【答案】【解析】设，因为，所以，化简可得，即15.若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是_【答案】【解析】试题分析：圆心,直线斜率 ,所以直线AB为考点：直线方程与直线与圆相交的位置关系点评：直线与圆相交，弦长一半，圆的半径，圆心到直线的距离构成直角三角形16.已知为直线，为平面，有下列三个命题：（1）
9、 ，则； （2） ，则；（3） ，则； （4） ，则；其中正确命题是_【答案】(2)【解析】（1），则；显然不正确，因为两个平面的位置关系可以是任意的，两个直线的关系也是不确定的；（2），则，是正确的，垂直于同一平面的两条直线是平行的；（3），则，不正确，因为还有一种可能是直线a在平面内；（4），则，不正确，因为直线b有可能在平面。故正确的只有（2）.故答案为：1.点睛：这个题目考查了空间中点线面的位置关系，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断。还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断。三解答题（共70分）17.求与圆同心，且与直线
10、相切的圆的方程【答案】【解析】【分析】求出圆心坐标，再求出圆心到切线的距离即圆的半径，然后得圆标准方程【详解】已知圆配方得，圆心为，所求圆标准方程为【点睛】求圆的标准方程，关键是求出圆心坐标和圆的半径，则圆方程为18.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、，（1）求这个长方体的对角线长。 （2）求这个长方体的的体积【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）设此长方体的棱长分别为a，b，c，则，解出a，b，c，再利用长方体的对角线长l=即可（2）由（1）知a，b，c，利用长方体体积公式即可得到结果【详解】（1）设此长方体的棱长分别为a，b，c，则，可得，解得，a=，b=1这个长方体的对角
11、线长l=（2）由（1）可知：V=abc=【点睛】熟练掌握长方体的侧面积、对角线长及体积计算公式是解题的关键19.如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点求证：（1）平面平面（2）直线平面【答案】（1）见解析，（2）见解析【解析】【分析】（1）依题意，可证AD平面BCC1B1，再利用面面垂直的判定定理即可证得平面ADE平面BCC1B1；（2）A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，可证A1FB1C1，进一步可证A1F平面BCC1B1；由（1）知AD平面BCC1B1，从而A1FAD，利用线面平行的判定定理即可证得结论.【详解】（1）因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1
12、平面ABC又AD平面ABC，所以CC1AD 又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DE=E，所以AD平面BCC1B1又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1（2）因为A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F，又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1=C1，所以A1F平面BCC1B1由（1）知AD平面BCC1B1，所以A1FAD又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为
13、证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.如图，在三棱锥中，分别是的中点， （1） 求证：平面；（2） 求异面直线与所成角的余弦值；（3） 求点到平面的距离。【答案】见证明；【解析】【分析】（1）要证AO平面BCD，只需证AOBD，AOCO即可，结合已知条件，根据勾股定理即可得到答案；（2）取AC中点F，连接OF、OE、EF，由中位线定理可得EFAB，OECD，则OEF（或其补角）是异面直线AB与CD所成角，然后在RtAOC中求解；（3）利用等体积变换，可求出点E到平面ACD的距离【详解】（1）证明：连接 在中，由已知可得：， 而，
14、即 （2）解：取的中点，连接由为的中点知 直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角。 在中, ， 是斜边上的中线 （3）解：设点到平面的距离为。 在中， 而 点到平面的距离为【点睛】等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值21.已知圆和直线交于P、Q两点且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.【答案】圆心坐标为（，3），半径【解析】试题分析：将代入方程，得
15、设P，Q，则满足条件： OPOQ, 而，此时，圆心坐标为（，3），半径考点：本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的方程。点评：巧妙地利用一元二次方程根与系数的关系，是解析几何中常见技巧。22.如图，在正三棱柱中，AB2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线与棱的交点记为M，求： （）三棱柱的侧面展开图的对角线长.（）该最短路线的长及的值.（）平面与平面ABC所成二面角（锐二面角）【答案】；,；45【解析】【分析】（）利用侧面展开法即可求出对角线长；（）利用侧面展开法进行求解即可，求出DC1和的值即可；（）连接DB，C1B，可证C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角，在三角
16、形C1BC中求出此角的大小【详解】（）正三棱柱的侧面展开图是长为6， 宽为2的矩形，其对角线长为（）如图，将侧面绕棱AA1, , 旋转120使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，其长为,故；（）连接DB，C1B，则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线，在DCB中，,又平面由三垂线定理得，就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），侧面是正方形，故平面C1MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45【点睛】本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，以及二面角的求解，利用定义法以及侧面展开法是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力
