1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系第七章 平面解析几何考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关最新考纲核心素养考情聚焦1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1.直线与圆的位置关系判定，达成数学建模和数学抽象的素养2.直线与圆相交、相切问题的研究，增强数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养3.圆与圆的位置关系的判定，增强数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养本部分作为2020年高考的重点内容，主要涉及直线与圆的位置关系、弦长问题、最
2、值问题等常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称性等性质结合考查题型以选择题、填空题为主，有时也以解答题形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，解答时要正确利用图形及性质，合理转化考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关1直线与圆的位置关系设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0，圆心 C(a，b)到直线 l 的距离为 d，由xa2yb2r2，AxByC0消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关方法位置关系 几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0，所以直线 l 与圆 C 相交故选 A.法二：因
3、为圆心(0,1)到直线 l 的距离 d|m|m211 5，故直线l 与圆相交，选 A.法三：直线 l：mxy1m0 过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆 C：x2(y1)25 的内部，所以直线 l 与圆 C 相交故选 A.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关2“a3”是“直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A 若直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切，则有|a34|22 2，即|a1|4，所以 a3 或5.但当 a3 时，直线 yx4 与圆(xa)2(x3)28 一定相切，故“a3”是“直线
4、 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切”的充分不必要条件考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关3圆 x2y21 与直线 ykx2 没有公共点的充要条件是_解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k21)x24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是 16k212(k21)0，解得3k 3.法二：圆心(0,0)到直线 ykx2 的距离 d2k21，直线与圆没有公共点的充要条件是 d1，即2k21 1，解得 3k 3.答案：3k 3考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较
5、繁琐，则用代数法能用几何法，尽量不用代数法考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关考点二 直线与圆相交、相切问题(多维探究)命题角度 1 求弦长或由弦长求直线(圆)的方程 1(经典高考)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|()A2 6 B8 C4 6 D10考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解析：C 设圆的方程为 x2y2D xEyF0，将点 A，B，C 代入，得 D 3EF100，4D 2EF200，D 7EF500，解得 D 2，E4，F20.则圆的方程为 x2y22x4y200.令 x0，得 y24y200，设 M(0，y1
6、)，N(0，y2)，则 y1，y2是方程 y24y200 的两根，由根与系数的关系，得 y1y24，y1y220，故|M N|y1y2|y1y224y1y2168046.故选 C.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长(2)几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l2 r2d2.提醒 代数法计算量较大，我们一般选用几何法考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关命题角度 2 由弦长求参数取值(范围)2(2019南充市一模)已知直线 x
7、ym0 与圆 x2y24 交于不同的两点 A，B，O 是坐标原点若圆周上存在一点 C，使得ABC为等边三角形，则实数 m 的值为 _.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解析：根据题意画出图形，连接 OA，OB，作 OD 垂直于 AB 于D 点因为ABC 为等边三角形，所以AOB120.由余弦定理得|AB|2 3，|BD|3，|OD|1，O(0,0)到直线 AB 的距离|m|21，解得 m 2.答案：2考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解决与弦长有关参数或取值范围问题，一般是找到与弦长公式 l2 r2d2有关的方程或不等式，解方程或不等式即可考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组
8、冲关命题角度 3 求切线方程(切线长)3已知点 A(1，a)，圆 x2y24.若过点 A 的圆的切线只有一条，则切线方程为 _.解析：由于过点 A 的圆的切线只有一条，则点 A 在圆上，故 12a24，a 3.当 a 3时，A(1，3)，切线方程为 x 3y40；当 a 3时，A(1，3)，切线方程为 x 3y40，答案：x 3y40 或 x 3y40考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关4(2019武汉市模拟)已知直线 l：mxy10(mR)是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴，过点 A(2，m)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|为()A4 B2 5 C4 2 D3解析：A
9、 圆 C：x2y24x2y10，即(x2)2(y1)2 4，表示以 C(2，1)为圆心、半径等于 2 的圆由题意可得，直线 l：m xy10 经过圆 C 的圆心(2，1)，故有 2m 110，m 1，点 A(2,1)A C 20，C BR 2，切线的长|A B|2044.故选 A.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关1求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解，利用点斜式直接求解；若点在圆外，有两解设切线的点斜式方程，用待定系数法求解，注意，需考虑无斜率的情况2切线长问题，利用圆心到定点的距离，半径，切线长三者之间的勾股定理来解决考点层级
10、突破第七章基础自主夯实课时分组冲关命题角度 4 圆的最值问题 5在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 _.解析：解法一：设 A(1,0)，由 m xy2m 10，得 m(x2)(y1)0，则直线过定点 P(2，1)，即该方程表示所有过定点 P 的直线系方程 当直线与 A P 垂直时，所求圆的半径最大 此时，半径为|A P|2121022.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解法二：设圆的半径为 r，根据直线与圆相切的关系得 r|m 1|1m2m22m 1m2112m
11、m21，当 m 0 时，12mm21 0 时，m212m(当且仅当 m 1 时取等号)所以 r112，即 rm ax2，故半径最大的圆的方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y22考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关考点三 圆与圆的位置关系(子母变式)母题 已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大值为()A.62 B.32 C.94 D2 3解
12、析 C 由圆 C1 与圆 C2 相外切，可得ab2222213，即(ab)29，根据基本不等式可知 abab2294，当且仅当 ab 时等号成立故选 C.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关子题 1 本例条件中“外切”变为“内切”，则 ab 的最大值为 _.解析：由 C 1与 C 2内切得ab22221.即(ab)21，又 abab2214，当且仅当 ab 时 等号成立，故 ab 的最大值为14.答案：14考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关子题 2 本例条件“外切”变为“相交”，则公共弦所在的直线方程为 _.解析：由题意得，把圆 C1，圆 C2 的方程都化为一般方程圆C1：x2y
13、22ax4ya20，圆 C2：x2y22bx4yb230，由得(2a2b)x3b2a20，即(2a2b)x3b2a20 为所求公共弦所在直线方程答案：(2a2b)x3b2a20考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关子题 3 本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，则直 线 x y 1 0 与 圆(x a)2 (y b)2 1 的 位 置 关 系 是 _.解析：由两圆存在四条切线，故两圆外离，ab22223.(ab)29.即 ab3 或 ab1，直线 xy10 与圆(xa)2(yb)21 相离答案：相离考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关1处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关
14、系判断，一般不采用代数法2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到提醒：判断两圆位置关系时常用几何法，利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切，外离与内含考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练1(2016高考山东卷)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交 C外切D相离考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解析：B 圆 Mx2(ya)2a2，圆心坐标为 M(0，a)，半径 r1 为 a，圆心 M 到直线 xy0 的距离 d|a|2，由几何知识得
15、|a|22(2)2a2，解得 a2.M(0,2)，r12.又圆 N 的圆心坐标 N(1,1)，半径 r21，|MN|102122 2，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选 B.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关2若圆 x2y24 与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2 3，则 a _.解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)40y1a，又 a 0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a22321a1.答案：1考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关
