1、高考大题强化练(六)统计与概率综合问题1.某校高二年级共有1 000名学生,为了了解学生返校上课前口罩准备的情况,学校统计了所有学生口罩准备的数量,并绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求x的值;(2)现用分层抽样的方法,从口罩准备数量在10,20)和50,60的学生中选10人参加视频会议,则两组各选多少人?(3)在(2)的条件下,从参加视频会议的10人中随机抽取3人,参与学校组织的复学演练.记X为这3人中口罩准备数量在10,20)的学生人数,求X的分布列与数学期望.【解析】(1)(0.015+0.035+0.01+2x)10=1,解得x=0.02.所以x 的值为0.02.(2)口罩准备数量
2、在10,20)的人数:10 =6(人),50,60的人数:10 =4(人).(3)由题意得X=0,1,2,3,P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,故分布列为:X0123P数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 = = .所以数学期望为 .【加练备选拔高】甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动,每位同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团.(1)求恰有两位同学选报的社团完全相同的概率.(2)求同学甲选报足球社的概率.(3)若甲已经报名参加了合唱社团,只需在其余三个社团中再选报一个,乙、丙从四个社团中随机选两个,设报名足
3、球社的同学人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.【解析】(1)设“恰有两位同学选报的社团完全相同”为事件A,P(A)= = .(2)设“甲同学选报足球社”为事件B,P(B)= = .(3)X的所有可能值为0,1,2,3,甲同学报名足球社的概率为 ,由(2)可知,乙、丙报名足球社的概率都为 ,故P(X=0)= = ,P(X=1)= + 2 = ,P(X=2)= + 2 = ,P(X=3)= = ,X的分布列为:X0123PE(X)=0 +1 +2 +3 = .2.潜叶蝇是南方地区水稻容易遭受的虫害之一,成虫将虫卵产在叶片里,待虫卵孵化之后,幼虫会在叶片中啃叶肉,使得秧苗的叶片呈现白色的状态,
4、进而降低水稻产量.经研究,每只潜叶蝇的平均产卵数y和夏季平均温度x有关,现收集了某地区以往6年的数据,得到下面数据统计表格.平均温度xi212325272931平均产卵数yi个711212264115(1)根据相关系数r判断,潜叶蝇的平均产卵数y与平均温度x是否具有较强的线性相关关系,若有较强的线性相关关系,求出线性回归方程y= x+ ,若没有较强的线性相关关系,请说明理由(一般情况下,当|r|0.75时,可认为变量有较强的线性相关关系);(2)根据以往的统计,该地区夏季平均气温为()近似地服从正态分布N(26.5,2),且P(250.75,所以存在较强的线性相关关系,所以 = = = =10
5、,所以 =40-2610=-220,所以线性回归方程为 =10x-220.(2)因为夏季平均气温近似地服从正态分布 N(26.5,2),且P(2528)= 2= ,所以由题知平均每次虫害损失为(1 0004+1 4006)(4+6)=1 240(元),所以可知每次虫害需要人工治理的概率为 ,因此E(Y)=(1 240+200) =360元.3.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩后,得到如表所示的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为 .(1)请完成上面的列联表;(2)根据列联表的数据,若按9
6、5%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到4号或9号的概率.附:K2= .P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】(1)由题知优秀的人数为105 =30,可得22列联表如表格:优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105(2)根据列联表中的数据,得到K2的观测值k= 6.1093.841,因此
7、有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.(3)设“抽到4号或9号”为事件A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y),则所有的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(6,6),共36种.事件A包含的基本事件有(1,3),(2,2),(3,1),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)共7种,所以P(A)= .4.某单位对员工业务进行考核,从A类员工(工作3年及3年以内的员工)和B类员工(工作3年以上的员工)的成绩中各抽取15个,具体数据如下:A类成绩:20102230151241223125 1226293233B类成绩:21403041423149515243 47
8、47324548(1)根据两组数据完成两类员工成绩的茎叶图,并通过茎叶图比较两类员工成绩的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);(2)研究发现从业时间与业务能力之间具有线性相关关系,从上述抽取的30名员工中抽取4名员工的成绩如表格:员工工作时间x(单位:年)1234考核成绩y10152030根据四个的数据,求y关于x的线性回归方程.附:回归直线 = x+ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: = = , = - .【解析】(1)A类成绩:201022301512412231251226293233,B类成绩:21403041423149515243 4747324548, 由茎叶图可知B员工成绩的平均值大于A员工成绩的平均值,B员工成绩集中,A员工成绩分散.(2) = = , = =18.75, xiyi=110+215+320+430=220, =12+22+32+42=30, = = =6.5, = - =18.75-6.5 =2.5,所以 =6.5x+2.5.
