1、课时作业梯级练五十九圆锥曲线中的最值问题【基础落实练】（30分钟50分）一、选择题(每小题5分，共35分)1已知双曲线C：4y21(a0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：y22px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x3y60和l2：x1距离之和的最小值为()A1B2C3D4【解析】选B.由双曲线方程4y21(a0)可得双曲线的右顶点为(a，0)，渐近线方程为yx，即x2ay0.因为双曲线的右顶点到渐近线的距离等于，所以，解得a2，所以双曲线的方程为4y21，所以双曲线的右焦点为(1，0).又抛物线E：y22px的焦点与双曲线C的右焦点重合，所以p2，所
2、以抛物线的方程为y24x，焦点坐标为F(1，0).如图，设点M到直线l1的距离为|MA|，到直线l2的距离为|MB|，因为|MB|MF|，所以|MA|MB|MA|MF|，结合图形可得当A，M，F三点共线时，|MA|MB|MA|MF|最小，且最小值为点F到直线l1的距离d2.2已知F1，F2分别为椭圆C的两个焦点，P为椭圆上任意一点若的最大值为3，则椭圆C的离心率为()A B C D【解析】选B.P点到椭圆C的焦点的最大距离为ac，最小距离为ac，又的最大值为3，所以3，所以e.3过抛物线x2y的焦点F作两条互相垂直的弦AC，BD，则四边形ABCD面积的最小值为()A3 B2 C1 D【解析】选
3、B.由题意可知，直线AC和BD的斜率都存在且不为0，设直线AC的斜率为k，则直线BD的斜率为，焦点F的坐标为，则直线AC的方程为ykx，联立得x2kx0，则x1x2k，x1x2，所以|AC|k21，同理可得|BD|1，所以S四边形ABCD|AC|BD|(k21)1122，当且仅当，即k21时，等号成立，所以四边形ABCD面积的最小值为2.4已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A，B是C上两动点，且AFB(为常数)，线段AB中点为M，过点M作l的垂线，垂足为N，若的最小值为1，则()A B C D【解析】选C.如图，过点A，B分别作准线的垂线AQ，BP，垂足分别是Q，P.设|A
4、F|a，|BF|b，由抛物线定义得|AF|AQ|，|BF|BP|.在梯形ABPQ中，2|MN|AQ|BP|ab.在AFB中，由余弦定理得|AB|2a2b22ab cos .所以44422cos ，当且仅当，即ab时等号成立因为的最小值为1，所以22cos 1，解得cos ，所以.5已知双曲线C：1(a0，b0)的一条准线与抛物线y24x的准线重合，当取得最小值时，双曲线C的离心率为()A4BC2D【解析】选D.抛物线y24x的准线方程为x1，双曲线C：1(a0，b0)的准线方程为x，所以1，即a2c，所以c4，当且仅当c2时等号成立所以a2c2，解得a，所以双曲线的离心率为e.6设O为坐标原点
5、，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|3|MF|，则直线OM的斜率的最大值是()A3 B C D【解析】选D.由题意可知点F，p0，设P(y00)，由|PM|3|MF|可得PF4MF，则MF，所以点M，所以kO M，当且仅当时等号成立7过抛物线y24x的焦点F作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于A，B和C，D两点，则|AB|CD|的最小值为()A16 B12 C8 D4【解析】选A.因为抛物线的焦点为F(1，0)，所以设直线AB的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并化简得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24
6、k416k2160，则x1x22，x1x21.所以|AB|x1x2p24.由于ABCD，所以直线CD的斜率为，所以直线CD的方程为y(x1)，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，可求得x3x424k2，所以|CD|x3x4p24k2244k2.所以|AB|CD|444k28216，当且仅当4k2k1时等号成立，所以|AB|CD|的最小值为16.二、填空题(每小题5分，共15分)8设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PF1PF20，则4ee的最小值为_【解析】设椭圆的半长轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2(a1a2)，它们的半焦距为c，
7、P为两曲线的一个公共点，不妨设|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|a1a2，|PF2|a1a2，又PF1PF20，所以PF1PF2，|PF1|2|PF2|2(2c)2，所以(a1a2)2(a1a2)2(2c)2，即2c2aa，所以2，即2，所以4ee(4ee)，当且仅当e2e时等号成立，所以4ee的最小值为.答案：【加练备选拔高】已知直线l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点A,B,点P在椭圆+y2=1上运动,则PAB面积的最大值为.【解析】因为l:x+y=3与x轴,y轴分别交于点A,B,所以A(3,0),B(0,3),因此|AB|=3,又点
8、P在椭圆+y2=1上运动,所以可设P(cos ,sin ),所以点P到直线l的距离为d=(其中tan )，所以SPAB|AB|d.答案：9已知抛物线C：yx2，点P(0，2)，A，B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1.则|AB|的最小值为_【解析】设直线AB的方程为ykxm，则1，所以k21(m2)2.由得x2kxm0，所以x1x2k，x1x2m，所以|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x2(1k2)(k24m)(m2)2(m23).记f(m)(m2)2(m23)，所以f(m)2(m2)(2m22m3)，又k21(m2)21，所以m1或m3，当m(，1时，f(m)0，f(m)单调
9、递减，当m3，)时，f(m)0，f(m)单调递增，又因为f(1)4，f(3)12，所以f(m)minf(1)4，所以|AB|min2.答案：210已知抛物线y22px(p0)的焦点F到准线l的距离为2，若点P在抛物线上，且点P到l的距离为d，Q在圆x2(y3)21上，则p_，|PQ|d的最小值为_【解析】因为抛物线y22px(p0)的焦点F到准线l的距离为2，所以p2，F(1，0)，准线l：x1，由抛物线的定义可知点P到l的距离d|PF|，所以|PQ|d|PQ|PF|，设圆x2(y3)21的圆心为C，则C(0，3)，圆的半径为1，|PQ|PF|CF|111，当且仅当C，P，Q，F共线时等号成立
10、，所以|PQ|d的最小值为1.答案：21【素养提升练】（25分钟35分）1已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为yx，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2(y)21上一点，则|MN|MF2|的最小值为()A8 B9 C10 D11【解析】选B.由题意可得2a6，即a3，渐近线方程为yx，即有，即b1，可得双曲线方程为y21，焦点为F1(，0)，F2(，0)，由双曲线的定义可得|MF2|2a|MF1|6|MF1|，由圆E：x2(y)21可得E(0，)，半径r1，|MN|MF2|6|MN|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，可得|MN|MF
11、1|取得最小值，且|EF1|4，则|MN|MF2|的最小值为6419.2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3 C D【解析】选A.直线l2：x1为抛物线y24x的准线由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin2.3.如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(3，6)，圆C2：x2y26x80，过圆心C2的直线l与
12、抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|3|QM|的最小值为_【解析】由题意，抛物线过点(3，6)，得抛物线方程y212x，设焦点为F(3，0)，圆的标准方程为(x3)2y21，所以圆心为(3，0)，与抛物线焦点重合半径r1.由于直线过焦点，所以有，又|PN|3|QM|(|PF|1)(3|QF|3)|PF|3|QF|43(|PF|3|QF|)434166.当且仅当|PF|QF|时取等号答案：1664已知椭圆C：1(ab0)的四个顶点组成的四边形的面积为2，且椭圆C经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于
13、OM，且与椭圆C交于A，B两点，与OM交于点N，设四边形AMBO和ONP的面积分别为S1，S2，求S1S2的最大值【解析】(1)因为在椭圆C上，所以1，又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2，所以2a2b2，ab，解得a22，b21，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)可知F(1，0)，设M(2，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则当t0时，OM：yx，所以kAB，直线AB的方程为y(x1)，即2xty20(t0)，由得(8t2)x216x82t20，则(16)24(8t2)(82t2)8(t44t2)0，x1x2，x1x2，所以|AB|.又OM，所以S1OMAB.由得xN，所以
14、S21，所以S1S2，当t0时，直线l：x1，AB，S12，S211，S1S2，所以当t0时，(S1S2)max.5.(10分)已知椭圆C:+=1(ab0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为.(1)求C的方程;(2)点N为C上一动点,求AMN的面积的最大值.【解析】(1)由题意,点A的坐标为A(-a,0),所以kAM=,解得a=4,因为点M(2,3)在椭圆C上,所以+=1,解得b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意,直线AM的方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0,因为点N在椭圆C上,所以设N(4cos ,2sin ),0,2),设点N到直线AM的距离为d,所以
15、d=|sin -cos -1|=,因为|AM|=3,所以SAMN=|AM|d=3=6,因为0,2),所以2sin-1-3,1,所以0,3,所以当=3时,(SAMN)max=63=18.【加练备选拔高】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.()求的值；()求ABQ面积的最大值【解析】(1)因为两圆的公共点在椭圆C上，所以2a314，a2
16、.又因为椭圆C的离心率为e，所以c，b2a2c21.即椭圆C的方程为y21.(2)()由(1)知，椭圆E：1.设P(x0，y0)是椭圆C上任意一点，则x4y4.直线OP：yx与椭圆E：1联立消y得x2(1)16，即x24x，所以Q(2x0，2y0).即2.() 因为点P(x0，y0)在直线ykxm上，所以y0kx0m，点Q(2x0，2y0)到直线ykxm的距离为d.将ykxm与1联立消y得(14k2)x28kmx4m2160，由0可得m2416k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|x1x2|.直线ykxm与y轴交点为(0，m)，所以OAB面积SOAB|m|x1x2|，令t，则SOAB22.将ykxm与y21联立消y得(14k2)x28kmx4m240，由0可得m214k2.由可知0t1，因此SOAB22(当且仅当t1即m214k2时取得最大值)，注意到SABQ3SOAB，所以SABQ3SOAB6.即ABQ的面积的最大值为6.
