1、专题十三数系的扩充与复数的引入一、选择题1.(2022届T8联考,2)已知z=2i1-i-1+2i,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B因为z=2i(1+i)(1-i)(1+i)-1+2i=i-1-1+2i=-2+3i,所以复数z在复平面内对应的点Z(-2,3)位于第二象限,故选B.2.(2022届河南安阳月考,2)已知复数z=2+i+(1-i)x是纯虚数,则实数x的值为()A.-2B.-1C.0D.1答案Az=(2+x)+(1-x)i是纯虚数,2+x=0,1-x0x=-2,故选A.3.(2022届西南四省名校联考,2)已知复数z=21+i3
2、,则z的虚部为()A.-1B.-iC.1D.-2i答案Az=21-i=2(1+i)2=1+i,z=1-i,则z的虚部为-1.故选A.4.(2022届安徽八校联考,2)在复平面内,复数1-i2i对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C1-i2i=-12-12i,对应点为-12,-12,在第三象限,故选C.5.(2022届安徽六安质检,2)设复数z的共轭复数为z,若2z+z=32+2i,则z=()A.-1+2iB.1+2iC.1-2iD.12+2i答案D设z=a+bi(a,bR),则z=a-bi,所以2z+z=2a+2bi+a-bi=3a+bi=32+2i,故3a=3
3、2,b=2,解得a=12,故z=12+2i,故选D.6.(2022届朝阳期中,3)设mR,则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案Cz=(m+2i)(1+i)=(m-2)+(m+2)i,由z为纯虚数,得m-2=0,m+20,即m=2,即必要性成立;当m=2时,z=(2+2i)(1+i)=4i,为纯虚数,即充分性成立.故选C.7.(2022届北京一零一中学统考二,2)在复平面内,已知复数z对应的点与复数1+i对应的点关于实轴对称,则zi=()A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i答案C由题
4、意得z=1-i,从而zi=1-ii=-1-i.故选C.8.(2022届长沙长郡中学第一次月考,2)设复数z满足z=2i-1+i,则|z|=()A.1B.2C.12D.22答案B因为z=2i-1+i=2i(i+1)(i-1)(i+1)=1-i,所以|z|=2.故选B.9.(2022届湖北九师联盟10月质检,2)已知复数z=2-i1+i,则下列说法正确的是()A.z的模为102B.z的虚部为-32iC.z的共轭复数为-12-32iD.z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限答案Az=2-i1+i=(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3i2=12-32i,所以z的模为122+-322=10
5、2,故A中说法正确;z的虚部为-32,故B中说法错误;z的共轭复数为12+32i,故C中说法错误;z的共轭复数在复平面内对应的点为12,32,在第一象限,故D中说法错误.故选A.10.(2022届江苏如皋中学月考,5)已知复数z满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z对应的点的轨迹为()A.直线B.线段C.圆D.等腰三角形答案A设复数z=x+yi(x,yR),根据复数的几何意义知:|z-1|表示复平面内的点Z(x,y)与点A(1,0)的距离,|z-i|表示复平面内的点Z(x,y)与点B(0,1)的距离,因为|z-1|=|z-i|,即点Z(x,y)到A,B两点间的距离相等,所以点Z(x,y)在
6、线段AB的垂直平分线上,所以在复平面上z对应的点的轨迹为直线.故选A.11.(2022届安徽安庆月考,2)设复数z满足(1-i)z=4i(i是虚数单位),则|z|=()A.1B.2C.2D.22答案D(1-i)z=4i(i是虚数单位),(1+i)(1-i)z=4i(1+i),化简得z=2i-2,则|z|=(-2)2+22=22,故选D.12.(2022届江西吉安月考,1)已知i为虚数单位,则|1+i3|等于()A.2B.1C.0D.2答案D1+i3=1-i,|1+i3|=12+(-1)2=2.故选D.13.(2022届山西长治质检,2)若复数z满足zi=2+i(i是虚数单位),则复数z的虚部为
7、()A.2iB.-2iC.2D.-2答案D由zi=2+i,得z=2+ii=-i(2+i)-i2=1-2i,z的虚部是-2.故选D.14.(2022届福建泉州科技中学月考,4)若z=1+i,则zz2020+zz2021的虚部为()A.iB.-iC.1D.-1答案D因为z=1+i,所以zz=1+i1-i=(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)=i,zz=1-i1+i=(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)=-i,所以zz2020+zz2021=i2020+(-i)2021=1-i,故其虚部为-1.15.(2022届昆明质检,2)设复数z满足(1+i)z=m-i(mR),若z为纯虚数,则m=()
8、A.-1B.1C.2D.-2答案Bz=m-i1+i=m-1-(m+1)i2,若z为纯虚数,则m-1=0且-(m+1)0,故m=1,故选B.16.(2022届广西调研,2)已知复数z=(1+i)(2-i),则z的共轭复数z为()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案Cz=(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,z=3-i.故选C.17.(2022届吉林名校期中,6)设z是纯虚数,若1-iz+2是实数,则z=()A.-2iB.-iC.iD.2i答案Dz是纯虚数,设z=ai(aR,a0),1-i2+z=(1-i)(2-ai)(2+ai)(2-ai)=2-a+(-2-a)i4+a2
9、是实数,-2-a=0,解得a=-2,z=-2i,z=2i.故选D.18.(2022届山西名校联盟调研,2)复数z=(3-i)(1+i)2,则|z|=()A.42B.4C.23D.22答案Bz=(3-i)(1+i)2=(3-i)(2i)=2+23i,|z|=22+(23)2=4.故选B.二、填空题19.(2022届北京十二中10月月考,11)已知复数z=2+ii(i是虚数单位),则|z|=.答案5解析z=2+ii=(2+i)(-i)i(-i)=1-2i,|z|=12+(-2)2=5.20.(2022届北京一七一中学10月月考,11)复数1+i1-i2=.答案-1解析1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i,1+i1-i2=i2=-1.21.(2022届北京师大附中期中,11)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则z1+z2=.答案2解析由题意知,z1=i,z2=2-i,则z1+z2=2.22.(2021上海,1,4分)已知z1=1+i,z2=2+3i,则z1+z2=.答案3+4i解析z1+z2=(1+2)+(1+3)i=3+4i.4
