1、11.3二项分布与正态分布基础篇固本夯基考点一条件概率、相互独立事件及二项分布1.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,4)若随机事件A,B满足P(A)=13,P(B)=12,P(A+B)=34,则P(A|B)=()A.29B.23C.14D.16答案D2.(2022届昆明一中双基检测三,8)某同学从家到学校要经过三个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,该同学在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14,则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为()A.124B.1124C.23D.34答案D3.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,7)已知随机变量XB(n,p),E(X)=2,D(X)=23,
2、则P(X2)=()A.2027B.23C.1627D.1327答案A4.(2022届河南重点中学模拟一,7)2021年国庆节期间,小李报名参加市电视台举办的“爱我祖国”有奖竞答活动,活动分两轮回答问题.第一轮从5个题目中随机选取2个题目回答,若2个回答都正确,则本轮得奖金500元;若仅有1个回答正确,则本轮得奖金200元;若两个回答都不正确,则没有奖金且被淘汰.有资格进入第二轮者,最多回答两个问题,先从5个题目中随机选取1个题目回答,若回答错误,则本轮奖金为零且被淘汰;若回答正确,则本题回答得奖金2000元,再从剩余4个题目中随机选1个,回答正确,本题得奖金3000元,回答错误,本题没有奖金.
3、已知小李第一轮5个题目中3个能回答正确,第二轮每个题目回答正确的概率为25(每轮选题相互独立),则小李获得2500元的概率为()A.54625B.9125C.18125D.925答案B5.(2021全国卷地区3月联考,4)宋代著名类书太平御览记载:“伏羲坐于方坛之上,听八风之气,乃画八卦.”乾为天,坤为地,震为雷,坎为水,艮为山,巽为风,离为火,兑为泽,象征八种自然现象,以类万物之情.如图所示为太极八卦图,八卦分据八方,中绘太极,古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成,其中“”为阳爻,“”为阴爻.现从八卦中任取两卦,已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻,则另一
4、卦至少有两个阳爻的概率为()A.47B.37C.56D.23答案D6.(2018课标,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)4)=0.1,则P(Z21)的值为()A.0.1B.0.2C.0.8D.0.9答案C3.(2021安徽蚌埠二模,6)已知随机变量X服从正态分布N(2,2),且P(X3)=19,则P(1X2)=()A.16B.14C.13D.12答案A4.(2020陕西教学质量检测,6)设XN(0,1),其正态分布密度曲线如图所示,点A(1,0),点B(2,0),点C(2,1)
5、,点D(1,1),向正方形ABCD内任意投掷一粒黄豆,则该黄豆落入阴影部分的概率是()(注:XN(,2),则P(-X+)=0.6827,P(-2X+2)=0.9545,P(-3X+3)=0.9973)A.0.8641B.0.6587C.0.5228D.0.9785答案A5.(2021陕西咸阳武功第一次质量检测,6)如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线,则下列说法不正确的是()A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等B.三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C.三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好答案B
6、6.(2021江西九所重点中学联考,13)已知随机变量服从正态分布N(3,2),P(6)=0.84,则P(0)=.答案0.167.(2022届成都七中期中,16)已知某品牌电子元件的使用寿命X(单位:天)服从正态分布N(98,64).(1)该品牌一个电子元件的使用寿命超过100天的概率为;(2)由三个该品牌的电子元件组成的一条电路(如图所示)在100天后仍能正常工作(要求K能正常工作,A,B中至少有一个能正常工作,且每个电子元件能否正常工作相互独立)的概率为.(参考公式:若XN(,2),则P(-0.25X+0.25)0.2)答案(1)25(2)32125综合篇知能转换考法一独立重复试验及二项分
7、布问题的求解方法1.(2019课标,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成1010平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方1010平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.解析(1)X=2就是1010平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10
8、10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.2.(2022届河南洛阳孟津一高月考,19)幼儿园给小朋友发放六一小礼包,总共有红、黄、蓝、绿4种颜色可以选择(各色礼包的数量都超过小朋友的人数),假设每个小朋友只能独立选择其中的一种颜色,且每个小朋友选择各色礼包的可能性均相等.(1)若有4个小朋友,求恰有2人选择蓝色礼包的概率;(2)若有5个小朋友,记其中选择蓝色礼包的人数为X,求X的分布列与数学期望.解析(1)4个小朋友中恰有2人选择蓝色礼包的概率P=C42
9、1421-142=27128.(2)由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,则XB5,14,P(X=k)=C5k14k345-k(k=0,1,2,3,4,5),故X的分布列为X012345P24310244051024270102490102415102411024E(X)=514=54.3.(2018课标,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0;当p(0.1,1)时,f
10、(p)400,故应该对余下的产品作检验.4.(2019天津,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.解析(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故XB3,23,从而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.所以
11、,随机变量X的分布列为X0123P1272949827随机变量X的数学期望E(X)=323=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则YB3,23,且M=X=3,Y=1X=2,Y=0.由题意知事件X=3,Y=1与X=2,Y=0互斥,且事件X=3与Y=1,事件X=2与Y=0均相互独立,从而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=82729+49127=20243.5.(2021安徽安庆一模,20)某商超为庆祝店庆十周年,准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到
12、400元,则可参加一次抽奖活动,主办方设计了两种抽奖方案:方案:一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球,其中3个红球,9个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得80元的返金券,若抽到白球,则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.方案:一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球,其中3个红球,9个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得100元的返金券,若抽到白球,则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.(1)现有一位顾客消费了420元,获得一次抽奖机会,试求这位顾客获得180元返金券的概率;(2)如果某顾客获得一次抽奖机
13、会,那么他选择哪种方案更划算?解析(1)在一次抽奖机会的情况下,要想获得180元返金券,只能选择方案,且摸到两次红球,一次白球,而每一次摸到红球的概率P=312=14.设“这位顾客获得180元返金券”为事件A,则P(A)=C3134142=964.故这位顾客获得180元返金券的概率为964.(2)若选择抽奖方案,则每一次摸到红球的概率为14,每一次摸到白球的概率为34.设获得返金券金额为X元,则X可能的取值为60,120,180,240.则P(X=60)=C30343=2764,P(X=120)=C31141342=2764,P(X=180)=C3214234=964,P(X=240)=C33
14、143=164.所以选择抽奖方案,该顾客获得返金券金额的数学期望为E(X)=602764+1202764+180964+240164=105(元).若选择抽奖方案,设三次摸球的过程中,摸到红球的次数为Y,最终获得返金券的金额为Z元,则YB3,14,故E(Y)=314=34.所以选择方案,该顾客获得返金券金额的数学期望为E(Z)=E(100Y)=10034=75(元),从而有E(X)E(Z),所以选择方案更划算.考法二正态分布问题的求解方法1.(2021四川南充重点高中月考,18)为了了解扬州市高中生周末运动时间,随机调查了3000名学生,统计了他们的周末运动时间,制成如下的频率分布表:a30,
15、40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90人数300600900450450300(1)从周末运动时间在70,80)的学生中抽取3人,在80,90的学生中抽取2人,现从这5人中随机推荐2人参加体能测试,记推荐的2人中来自70,80)的人数为X,求X的分布列和数学期望;(2)由频率分布表可认为:周末运动时间t服从正态分布N(,2),其中为周末运动时间的平均数t,近似为样本的标准差s,并已求得s14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率,现从扬州市所有高中生中随机抽取10名学生,记周末运动时间在(43.9,87.7之外的人数为Y,求P(Y=2)的值.(精确到0.001)参考数
16、据1:当tN(,2)时,P(-t+)=0.6827,P(-2t+2)=0.9545,P(-3t+3)=0.9973.参考数据2:0.818680.202,0.181420.033.解析(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C30C22C52=110,P(X=1)=C31C21C52=35,P(X=2)=C32C20C52=310,所以X的分布列为X012P11035310所以E(X)=0110+135+2310=65.(2)=t=13000(35300+45600+55900+65450+75450+85300)=58.5,又43.9=58.5-14.6=-,87.7=58.5
17、+14.62=+2,所以P(43.9t87.7)=P(-+2)=1-0.8186=0.1814,所以YB(10,0.1814),所以P(Y=2)=C1020.181420.81868450.0330.2020.300.2.(2022届河南许昌一模,19)某省2021年开始全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中,物理、历史这两门科目采用原始分计分;思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分,将每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级,各等级人数所占比例分别为15%,35%,35%,13%和2%,并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试,并对思想政
18、治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.(1)某校思想政治学科获得A等级的共有10名学生,其原始分及转换分如表:原始分9190898887858382转换分10099979594918886人数11211211现从这10名学生中随机抽取3名,设这3名学生中思想政治转换分不低于94分的人数为X,求X的分布列和数学期望;(2)假设该省此次高一学生思想政治学科原始分Y服从正态分布N(76.3,25).若YN(,2),令=Y-,则N(0,1).若以此次高一学生思想政治学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分,试估计该划线分为多少分.(结果保留整数,附:若N(0,1),则P(1.
19、04)0.85)解析(1)由题意知这10名学生中思想政治转换分不低于94分的人数为6,低于94分的人数为4,则随机变量X所有可能的取值为0,1,2,3,P(X=0)=C60C43C103=130,P(X=1)=C61C42C103=310,P(X=2)=C62C41C103=12,P(X=3)=C63C40C103=16,则随机变量X的分布列为X0123P1303101216E(X)=0130+1310+212+316=95.(2)设该划线分为m,由YN(76.3,25)得=76.3,=5,则=Y-=Y-76.35,则Y=5+76.3,依题意,P(Ym)=15%+35%+35%=0.85,即P
20、(5+76.3m)=Pm-76.35=0.85,因为当N(0,1)时,P(1.04)0.85,所以P(-1.04)0.85,所以m-76.35=-1.04,故m71.综上,估计该划线分为71分.3.(2022届西安西工大附中10月联考,20)某行业对本行业人员的身高有特殊要求,该行业人员的身高X(单位:cm)服从正态分布N(188,2).已知P(X186)=1100,P(X189)=4950.(1)从该行业中随机抽取一人,求此人身高在区间(187,190的概率;(2)从该行业人员中随机抽取3人,设这3人中身高在区间(189,190内的人数为,求的分布列和数学期望E()(分布列结果可以只列式不计
21、算).解析(1)由该行业人员的身高X(单位:cm)服从正态分布N(188,2),可得正态曲线的对称轴为直线x=188.因为P(X186)=1100,P(X189)=4950,所以P(186X189)=P(X189)-P(X186)=4950-1100=97100.根据正态曲线的对称性,可得P(187X190)=P(186X189)=97100.(2)由P(X186)=1100及正态曲线的对称性,可得P(X190)=1-P(X186)=99100,又P(X189)=4950,所以P(189X190)=P(X190)-P(X189)=1100,则随机变量服从二项分布B3,1100,可得P(=0)=
22、C301-11003,P(=1)=C3111001-11002,P(=2)=C32110021-1100,P(=3)=C3311003,所以随机变量的分布列为:0123PC301-11003C3111001-11002C32110021-1100C3311003E()=31100=0.03.4.(2017课标,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3
23、)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x)2=116(i=116xi2-16x2)0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,
24、2,16.用样本平均数x作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(-3Z+3)=0.9974.0.9974160.9592,0.0080.09.解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.0026,故XB(16,0.0026).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.9974160.0408.X的数学期望为EX=160.0026=0.0416.(2)(i)如果生
25、产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x=9.97,s0.212,得的估计值为=9.97,的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115(169.97-9.22)=10.02,因此的估计
26、值为10.02.i=116xi2=160.2122+169.9721591.134,剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115(1591.134-9.222-1510.022)0.008,因此的估计值为0.0080.09.5.(2020山西运城一模,19)在创建“全国文明城市”过程中,运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次),通过随机抽样,得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示:组别30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100)频数212202524134(1)由
27、频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分ZN(,198),近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用该正态分布,求P(38.2Z80.2);(2)在(1)的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制订如下奖励方案:得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费;每次获赠的随机话费和对应的概率为:赠送话费的金额(单位:元)2050概率3414现有市民甲参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列与数学期望.附:19814,若XN(,2),则P(-X+)=0.6827,P(-2X+2)=0.9545,P(-3
28、X+3)=0.9973.解析(1)=350.02+450.12+550.20+650.25+750.24+850.13+950.04=66.2.故ZN(66.2,198),=19814,P(Z80.2)=1-1-P(66.2-14Z66.2+14)2=1-1-0.68272=0.84135.又P(Z38.2)=1-P(66.2-214Z66.2+214)2=1-0.95452=0.02275.故P(38.2300,x为正整数,所以x8,故预计从8月份开始,来该楼盘看楼的人数能超过30000.(2)遥控车开始在第0格为必然事件,所以P0=1,若第一次掷硬币正面朝上,则遥控车移到第一格,其概率为1
29、2,即P1=12,遥控车移到第n(2n19)格的情况有且只有两种:遥控车先移到第(n-1)格,又掷出正面朝上,其概率为12Pn-1;遥控车先移到第(n-2)格,又掷出反面朝上,其概率为12Pn-2,所以Pn=12Pn-1+12Pn-2,所以Pn-Pn-1=-12(Pn-1-Pn-2),又P1-P0=-12,所以当1n19时,数列Pn-Pn-1是首项为-12,公比为-12的等比数列,所以Pn-Pn-1=-12n,所以P19=P0+(P1-P0)+(P2-P1)+(P3-P2)+(P19-P18)=1+-12+-122+-123+-1219=11-12201-12=231-1220=231-1220,所以购楼者参与游戏一次获得购楼券5000元的概率为231-1220.
