1、第四编三角函数、解三角形4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题(每小题7分，共42分)1(2009汕头模拟)若角和角的终边关于x轴对称，则角可以用角表示为()A2k (kZ) B2k (kZ)Ck (kZ) Dk (kZ)解析因为角和角的终边关于x轴对称，所以2k (kZ)所以2k (kZ)答案B2(2010湛江调研)已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在第几象限()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析P(tan ，cos )在第三象限，由tan 0，得在第二、四象限，由cos 0，m.m0，m.答案B5(2010新乡模拟)已知角是第二象限角，且|cos
2、|cos ，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析由是第二象限角知，是第一或第三象限角又cos ，cos 0)答案B二、填空题(每小题6分，共18分)7(2009惠州模拟)若点P(m，n) (n0)为角600终边上一点，则_.解析由三角函数的定义知tan 600tan(360240)tan 240tan 60，.答案8(2009洛阳第一次月考)已知P在1秒钟内转过的角度为(0180)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点，则_.解析0180且k3601802k360270(kZ)，则必有k0，于是90135，又14n360(nZ)，180，9018
3、0135，n，n4或5，故或.答案或9(2010濮阳模拟)若角的终边落在直线yx上，则的值等于_解析，角的终边落在直线yx上，角是第二或第四象限角当是第二象限角时，0，当是第四象限角时，0.答案0三、解答题(共40分)10(13分)(2010平顶山联考)角终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a0)，角终边上的点Q与A关于直线yx对称，求sin cos sin cos tan tan 的值解由题意得，点P的坐标为(a，2a)，点Q的坐标为(2a，a)sin ，cos ，tan 2，sin ，cos ，tan ，故有sin cos sin cos tan tan (2)1.11(13分)(2
4、009南平调研)设为第三象限角，试判断的符号解为第三象限角，2k2k (kZ)，kk(kZ)当k2n (nZ)时，2n0，cos0.因此0.当k2n1(nZ)时，(2n1)(2n1)(nZ)，即2n2n(nZ)此时在第四象限sin0，因此0，综上可知0.12(14分)(2010茂名联考)已知1，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sin cos 2.解由已知得tan .(1).(2)sin2sin cos 2sin2sin cos 2(cos2sin2).4.2三角函数的诱导公式一、选择题(每小题7分，共42分)1(2009全国文，1)sin 585的值为()A B. C D.解析sin 5
5、85sin(360225)sin(18045).答案A2(2010郑州模拟)若、终边关于y轴对称，则下列等式成立的是()Asin sin Bcos cos Ctan tan Dsin sin 解析方法一、终边关于y轴对称，2k或2k，kZ，2k或2k，kZ，sin sin .方法二设角终边上一点P(x，y)，则点P关于y轴对称的点为P(x，y)，且点P与点P到原点的距离相等设为r，则sin sin .答案A3(2009重庆文，6)下列关系式中正确的是()Asin 11cos 10sin 168Bsin 168sin 11cos 10Csin 11sin 168cos 10Dsin 168cos
6、 10sin 11解析sin 168sin(18012)sin 12，cos 10sin(9010)sin 80.由三角函数线得sin 11sin 12sin 80，即sin 11sin 168cos 10.答案C4(2010青岛调研)已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(2 009)3，则f(2 010)的值是()A1 B2 C3 D1解析f(2 009)asin(2 009)bcos(2 009)asin()bcos()asin bcos 3.asin bcos 3.f(2 010)asin(2 010)bcos(2 010)asin bcos 3.答案C5(2009湛江三模
7、)已知sin(2)，则等于()A. B C7 D7解析sin(2)sin ，sin .又，cos .答案A6(2009东莞模拟)已知cos，且，则cos等于()A. B. C D解析coscossin.又，sin，cos.答案D二、填空题(每小题6分，共18分)7(2009常德三模)cos的值是_解析coscos coscos .答案8(2010合肥联考)已知cos()，则tan _.解析cos()cos ，cos .又，sin 0.sin .tan .答案9(2009烟台模拟)已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角，则tan2()_.解析方程5x27x60的两根为x1，x22，由
8、是第三象限角，sin ，cos ，tan2()tan2tan2tan2.答案三、解答题(共40分)10(13分)(2010揭阳联考)已知sin(3)，求 的值解sin(3)sin ，sin ，原式18.11(13分)(2010菏泽模拟)已知sin()cos().求下列各式的值：(1)sin cos ；(2)sin3cos3.解由sin()cos()，得sin cos .将式两边平方，得12sin cos ，故2sin cos ，又0，cos 0.(1)(sin cos )212sin cos 1，sin cos .(2)sin3cos3cos3sin3(cos sin )(cos2cos si
9、n sin2).12(14分)(2009丽水联考)是否存在角，其中(，)，(0，)，使得等式sin(3)cos()，cos()cos()同时成立若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由解假设满足题设要求的，存在，则，满足22，得sin23(1sin2)2，即sin2，sin .，或.(1)当时，由得cos ，0，.(2)当时，由得cos ，但不适合式，故舍去综上可知，存在，使两个等式同时成立4.3三角函数的图象与性质 一、选择题(每小题7分，共42分)1(2009福建理，1)函数f(x)sin xcos x的最小值是()A1 B C. D1解析f(x)sin xcos xsin 2x.当xk，
10、kZ时，f(x)min.答案B2(2009全国理，8)如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为()A. B. C. D.解析由y3cos(2x)的图象关于点中心对称知，f0，即3cos0.k(kZ)k(kZ)|的最小值为.答案A3(2010枣庄调研)已知函数ysin 在区间0，t上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是()A6 B7 C8 D9解析T=6，则t，t，tmin=8.答案C4(2010嘉兴模拟)已知在函数f(x)sin 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2y2R2上，则f(x)的最小正周期为()A1 B2 C3 D4解析x2y2R2，xR，R
11、函数f(x)的最小正周期为2R，最大值点为，相邻的最小值点为，代入圆方程，得R2，T4.答案D5(2009浙江理，8)已知a是实数，则函数f(x)1asin ax的图象不可能是()解析图A中函数的最大值小于2，故0a1，而其周期大于2.故A中图象可以是函数f(x)的图象图B中，函数的最大值大于2，故a应大于1，其周期小于2，故B中图象可以是函数f(x)的图象当a=0时，f(x)=1，此时对应C中图象，对于D可以看出其最大值大于2，其周期应小于2，而图象中的周期大于2，故D中图象不可能为函数f(x)的图象答案D6(2009巢湖期末)给出下列命题：函数ycos是奇函数；存在实数，使得sin cos
12、 ；若、是第一象限角且，则tan tan ；x是函数ysin的一条对称轴方程；函数ysin的图象关于点成中心对称图形其中正确的序号为()A B C D解析ycosysinx是奇函数；由sin cos sin的最大值为，因为，所以不存在实数，使得sin cos ；，是第一象限角且.例如：45tan(30360)，即tan tan 不成立；把x代入ysinsin1，所以x是函数ysin的一条对称轴；把x代入ysinsin1，所以点不是函数ysin的对称中心综上所述，只有正确答案C二、填空题(每小题6分，共18分)7(2010株州调研)函数ylg(sin x)的定义域为_，函数ysin的单调递增区间
13、为_解析要使函数有意义必须有，即，解得(kZ)，2k0)，ff，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则_.解析如图所示， 且，又f(x)在区间内只有最小值、无最大值，f(x)在x=处取得最小值(kZ)=8k- (kZ)0，当k=1时，=8-当k=2时，=16，此时在区间内存在最大值故=.答案9(2010绍兴月考)关于函数f(x)4sin(xR)，有下列命题：由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整数倍；yf(x)的表达式可改写为y4cos；yf(x)的图象关于点对称；yf(x)的图象关于直线x对称其中正确的命题的序号是_(把你认为正确的命题序号都填上)解析函数f(x)4sin的最小正周期
14、T，由相邻两个零点的横坐标间的距离是知错利用诱导公式得f(x)4cos4cos4cos，知正确由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x代入得f(x)4sin4sin 00，因此点是f(x)图象的一个对称中心，故命题正确曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x时y0，点不是最高点也不是最低点，故直线x不是图象的对称轴，因此命题不正确答案三、解答题(共40分)10(13分)(2010怀化模拟)设函数f(x)sin (0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间解(1)令2k，kZ，k，又0，则k0)的最小正周期是.(
15、1)求的值；(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)2sin 2x1sin 2xcos 2x22sin2.由题设，函数f(x)的最小正周期是，可得，所以2.(2)由(1)知，f(x)sin2.当4x2k，即x(kZ)时，sin取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2，此时x的集合为.12(14分)(2009肇庆模拟)设函数f(x)cos x(sin xcos x)，其中02.(1)若f(x)的周期为，求当x时f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x，求的值解f(x)sin 2xcos 2xsin.(1)因为T，所以1.f(x)sin
16、，当x时，2x，所以f(x)的值域为.(2)因为f(x)的图象的一条对称轴为x，所以2k(kZ)，k (kZ)，又02，所以k0)的图象向右平移个单位长度后，与函数ytan的图象重合，则的最小值为()A. B. C. D.解析函数ytan向右平移后得到解析ytantan.又因为ytan，令k，k(kZ)，由0得的最小值为.答案D5(2009杭州一模)电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(t+)(A0，0,00)的最小正周期为，为了得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度解析因为T
17、，则2，f(x)sin，g(x)cos 2x，将yf(x)的图象向左平移个单位长度时，ysinsincos 2x.答案A二、填空题(每小题6分，共18分)7(2009江苏，4)函数y=Asin(x+)(A、为常数，A0，0)在闭区间-，0上的图象如图所示，则= .解析由函数y=Asin(x+)的图象可知： 答案38(2008全国改编)若动直线xa与函数f(x)sin x和g(x)cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为_解析设xa与f(x)sin x的交点为M(a，y1)，xa与g(x)cos x的交点为N(a，y2)，则|MN|y1y2|sin acos a|.答案9(200
18、9云浮期末)若函数f(x)2sin x (0)在上单调递增，则的最大值为_解析f(x)在上递增，故即.max=.答案三、解答题(共40分)10(13分)(2009周口调研)已知函数f(x)=Asin(x+)+b (0，|0，0，|)的一段图象如图所示(1)求函数yf(x)的解析式；(2)将函数yf(x)的图象向右平移个单位，得到yg(x)的图象，求直线y与函数yf(x)g(x)的图象在(0，)内所有交点的坐标解(1)由题图知A2，T，于是2，将y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得y2sin(2x)的图象于是2，f(x)2sin.(2)依题意得g(x)2sin2cos.故yf(x)g(x
19、)2sin2cos2sin.由2sin，得sin.0x，2x0，0，|，xR)的图象的一部分如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x时，求函数yf(x)f(x2)的最大值与最小值及相应的x的值解(1)由图象知A2，T8，T8，.又图象过点(1,0)，2sin0.|，.f(x)2sin.(2)yf(x)f(x2)2sin2sin2sin2cos x.x，x.当x，即x时，yf(x)f(x2)取得最大值；当x，即x4时，yf(x)f(x2)取得最小值2.4.5两角和与差的正弦、余弦和正切一、选择题(每小题7分，共42分)1(2010青岛模拟)sin 45cos 15cos 225sin 1
20、5的值为()A B C. D.解析原式sin 45cos 15cos 45sin 15sin 30.答案C2(2009岳阳调研)已知sin(45)，则sin 2等于()A B C. D.解析sin(45)(sin cos )，sin cos .两边平方，得1sin 2.sin 2.答案B3(2010阳江一模)已知cos，则sin2cos的值是()A. BC. D.解析sin2cos1cos2cos.答案A4(2009济宁模拟)已知向量a，b(4,4cos )，若ab，则sin等于()A B C. D.解析ab4sin4cos 2sin 6cos 4sin0，sin.sinsin.答案B5(20
21、10舟山一模)已知sin，则cos的值是()A B C. D.解析coscoscos.答案A6(2009哈尔滨期末)在ABC中，角C120，tan Atan B，则tan Atan B的值为()A. B. C. D.解析tan(AB)tan Ctan 120，tan(AB)，即，解得tan Atan B.答案B二、填空题(每小题6分，共18分)7(2010长春一模)若3，tan()2，则tan(2)_.解析3，tan 2.又tan()2，故tan()2.tan(2)tan().答案8(2009宁波模拟)_.解析2.答案29(2009铜陵模拟)已知，sin()，sin，则cos_.解析、，2，c
22、os()，cos()，coscoscos()cossin()sin.答案三、解答题(共40分)10(13分)(2009珠海模拟)化简：(1)sincos；(2).解(1)原式222cos2cos.(2)原式1.11(13分)(2009烟台三模)已知函数f(x)2sin2cos 2x.(1)求f(x)的周期和单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)m2在x上有解，求实数m的取值范围解(1)f(x)2sin2cos 2x1coscos 2x1sin 2xcos 2x2sin1，周期T；令2k2x2k，解得单调递增区间为(kZ)(2)x，所以2x，sin，所以f(x)的值域为2,3而f(x)m2，
23、所以m22,3，即m0,112(14分)(2009宁德期末)已知向量a(3sin ，cos )，b(2sin ，5sin 4cos )，且ab.(1)求tan 的值；(2)求cos的值解(1)ab，ab0.而a(3sin ，cos )，b(2sin ，5sin 4cos )，故ab6sin25sin cos 4cos20.由于cos 0，6tan25tan 40.解之，得tan ，或tan .，tan 0，故tan (舍去)tan .(2)，.由tan ，求得tan 或tan 2(舍去)sin ，cos ，coscos cos sin sin .4.6正弦定理和余弦定理一、选择题(每小题7分，
24、共42分)1(2010汕头模拟)ABC的三边分别为a，b，c且满足b2ac,2bac，则此三角形是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形解析2bac，4b2(ac)2，又b2ac，(ac)20.ac.2bac2a.ba，即abc.答案D2(2009清远期末)ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos 2B3cos(AC)20，b，则csin C等于()A31 B.1C.1 D21解析cos 2B3cos(AC)22cos2B3cos B10，cos B或cos B1(舍)B.2.答案D3(2010滨州模拟)ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于(
25、)A. B.C.或 D.或解析，sin C.0C180，C60或120.(1)当C60时，A90，BC2，此时，SABC；(2)当C120时，A30，SABC1sin 30.答案D4(2008四川文，7)ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若ab，A2B，则cos B等于()A. B. C. D.解析由正弦定理得，ab可化为.又A2B，cos B.答案B5(2008福建理，10)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为()A. B.C.或 D.或解析(a2c2b2)tan Bac，tan B，即cos Btan Bsin B
26、.0B，角B的值为或.答案D6(2010湖州一模)在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若b2c2bca2，且，则角C的值为()A45 B60 C90 D120解析由b2c2bca2，得b2c2a2bc，cos A，A60.又，sin Bsin A，B30，C180AB90.答案C二、填空题(每小题6分，共18分)7(2009上海春招)在ABC中，若AB3，ABC75，ACB60，则BC_.解析根据三角形内角和定理知BAC180756045.根据正弦定理得，即，BC.答案8(2009泰安调研)在ABC中，AB2，AC，BC1，AD为边BC上的高，则AD的长是_解析cos C，sin
27、 C.SABCabsin CaAD.AD.答案9(2010中山一模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S(b2c2a2)，则A_.解析S(b2c2a2)(2bccos A)bccos A，又SABCbcsin A，sin Acos A，即tan A1.又A为ABC的内角，A.答案三、解答题(共40分)10(13分)(2009淮南调研)在ABC中，若，试判断ABC的形状解由已知，所以.方法一利用正弦定理边化角由正弦定理，得，所以，即sin Ccos Csin Bcos B，即sin 2Csin 2B.因为B、C均为ABC的内角，所以2C2B或2C2B180，所以BC或BC
28、90，所以ABC为等腰三角形或直角三角形方法二由余弦定理，得，即(a2b2c2)c2b2(a2c2b2)，所以a2c2c4a2b2b4，即a2b2a2c2c4b40，所以a2(b2c2)(c2b2)(c2b2)0，即(b2c2)(a2b2c2)0，所以b2c2或a2b2c20，即bc或a2b2c2.所以ABC为等腰三角形或直角三角形11(13分)(2010芜湖模拟)在ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2c2bca2和，求角A和tan B的值解由b2c2bca2，得，即cos A，又0A，A.又，CABB，sinsin B，整理得cos Bsin Bsin B
29、sin B.cos Bsin B，则tan B.12(14分)(2010广东五校联考)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知ab5，c，且4sin2cos 2C.(1)求角C的大小；(2)求ABC的面积解(1)ABC180，由4sin2cos 2C，得4cos2cos 2C，4(2cos2C1)，整理，得4cos2C4cos C10，解得cos C，0C180，C60.(2)由余弦定理得c2a2b22abcos C，即7a2b2ab，7(ab)23ab，由条件ab5，得7253ab，ab6，SABCabsin C6.4.7正弦定理、余弦定理应用举例一、选择题(每小题7分，共42分
30、)1(2010佛山模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，则塔高为()A. m B. m C. m D. m解析作出示意图如图，由已知：在RtOAC中，OA=200，OAC=30，则OC=OAtanOAC=200tan 30=.在RtABD中，AD=，BAD=30，则BD=ADtanBAD=tan 30=，BC=CD-BD=200-=.答案A2(2010池州模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里
31、 D10海里解析如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/小时)答案C3(2009六安期末)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a kmC.a km D2a km解析利用余弦定理解ABC.易知ACB120，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 1202a22a23a2，ABa.答案B4(2009黄山第一次月考)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一
32、座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.海里/小时 B34海里/小时C.海里/小时 D34海里/小时解析如图所示，在PMN中，MN34，v(海里/小时)答案A5(2009汕尾联考)如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20(+)海里/小时B20(-)海里/小时C20(+)海里/小时D20(-)海里/小时解析由题意知SM=20，SNM=105，NMS=45，MSN=30，.MN=10(-)货轮航行的速度v
33、20()海里/小时答案B 6(2010滁州调研)线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_ h后，两车的距离最小( )A. B1 C. D2解析如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BDBEcos 60=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)50t=12 900t2-42 000t+40 000.当t=时，DE最小
34、答案C二、填空题(每小题6分，共18分)7(2009辽源模拟)在ABC中，BC1，B，当ABC的面积等于时，tan C_.解析SABCacsin B，c4.由余弦定理：b2a2c22accos B13，cos C，sin C，tan C2.答案28(2009北京海淀区4月一模)在ABC中，AC，BC2，B60，则A_，AB_.解析由正弦定理，sin A.BC2AC，A为锐角A45.C75.AB1.答案4519.(2010舟山调研)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向_才能追上乙船；追上时甲船行驶了_海里解析如图所示
35、，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC=tv，AC=tv，B=120，由正弦定理知，sinCAB=，CAB=30，ACB=30，BC=AB=a，AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 120=a2+a2-2a2=3a2，AC=a.答案北偏东30a三、解答题(共40分)10(13分)(2009福州模拟)如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设AOP=，求POC面积的最大值及此时的值解CPOB，CPO=POB=60-，OCP=120.在POC中，由正弦定理得， 又，OC=sin(60-)因此P
36、OC的面积为S()= CPOCsin 120=sin sin(60-)=sin sin(60-)=sin =2sin cos -sin2=sin 2+cos 2-=sin=时，S()取得最大值为.11(13分)(2009鲁东南三地四市联合考试)在ABC中，已知cos A.(1)求sin2cos(BC)的值；(2)若ABC的面积为4，AB2，求BC的长解(1)sin2cos(BC)cos A.(2)在ABC中，cos A，sin A.由SABC4，得bcsin A4，得bc10.cAB2，b5.BC2a2b2c22bccos A522225217.BC.12(14分)(2009金华模拟)在海岸A
37、处，发现北偏东45方向，距离A(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD=10t，BD=10t.在ABC中，AB=-1，AC=2，BAC=120，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=(-1)2+22-2(-1)2cos 120=6，BC=，CBD=90+30=120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD=，BCD=30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船
