1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一讲平面向量的概念及其线性运算知识梳理双基自测知识点一向量的有关概念(1)向量：既有 大小 又有 方向 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 长度 (或称 模 )(2)零向量： 长度为0 的向量叫做零向量，其方向是 任意 的，零向量记作 0.(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或 相反 的 非零 向量；平行向量又叫 共线 向量规定：0与任一向量 平行 .(5)相等向量：长度 相等 且方向 相同 的向量(6)相反向量：长度 相等 且方向 相反 的向量知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算
2、 三角形 法则 平行四边形 法则(1)交换律：ab ba；(2)结合律：(ab)c a(bc)减法向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a(b)ab 三角形 法则aba(b)数乘实数与向量a的积是一个 向量 记作a(1)模：|a|a| ；(2)方向：当0时，a与a的方向 相同 ；当0时，a与a的方向 相反 ；当0时，a0设，是实数(1) (a)()a(2)()a aa(3)(ab) ab.知识点三共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使 ba.1零向量与任何向量共线2与向量a(a0)共线的单位向量.3若存在非零实数，使得或或，则A，B，C三点共线4首尾相连的一
3、组向量的和为0.5若P为AB的中点，则()6若a、b不共线，且ab，则0.题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)若ab，bc，则ac.()(3)若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反()(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()题组二走进教材2(必修4P91A组T4改编)化简(B)A. B0 C D解析()0.3(必修4P84T4改编)向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，向量ab等于(C)A4e12
4、e2B2e14e2Ce13e2D3e1e2解析由图可知a4e2，b(e1e2)，abe13e2，故选C.4(必修4P91A组T3改编)如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(C)ABCD0解析由，故C错误题组三走向高考5(2020新高考，3,5分)若D为ABC的边AB的中点，则(A)A2 B2C2 D2解析D为ABC的边AB的中点，()，2.故选A.6(2015新课标2)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数 .解析a、b不平行，a2b0，由题意可知存在唯一实数m，使得abm(a2b)，即(m)a(2m1)b，解得.考点突破互动探究考点一向量的基本概念自主练透例1 (1
5、)(多选题)给出下列命题，不正确的有(ACD)A若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形Cab的充要条件是|a|b|且abD已知，为实数，若ab，则a与b共线(2)若a0为单位向量，a为平面内的某个向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0，假命题的个数是(D)A0 B1 C2 D3解析(1)A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为，所以|且，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四
6、边形ABCD为平行四边形；C错误，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线(2)均为假命题名师点拨(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量(4)非零向量a与的关系是：是a方向上的单位向量.考点二向量的线性运算师生共研例2 (1)(2021武汉调研)设M为平行四边形ABCD对
7、角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于(D)A. B2 C3 D4(2)(2018全国理，6)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(A)A. BC D解析(1)如图，在OAC中，M为AC中点，所以2，在OBD中，2，故选D.(2)如图，由E为AD的中点，得，.又D为BC的中点，.故选A.名师点拨平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)考查向量加法或减法的几何意义(2)求已知向量的和或差一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则(3)与三角形综合，求参数的值求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参
8、数(4)与平行四边形综合，研究向量的关系画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解变式训练1(1)已知三角形ABC是等边三角形，D为AB的中点，点E满足20，则(A)A. BC D(2)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则(D)Aab BabCab Dab解析(1)由20知，所以().(2)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB，且a，所以ba.考点三共线向量定理及其应用师生共研例3 设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和
9、akb共线分析(1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；(2)利用共线向量定理求解解析(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，解得k1.引申本例(2)中，若kab与akb反向，则k 1 ；若kab与akb同向，则k 1 .解析由本例可知kab与akb反向时0，从而k1.名师点拨平面向量共线的判定方法(1)向量b与非零向量
10、a共线的充要条件是存在唯一实数，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线变式训练2(1)(2021济南模拟)已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为(B)A1 BC1或 D1或(2)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abc等于(D)Aa Bb Cc D0解析(1)由于c与d共线反向，则存在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得a
11、bka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或.又因为k0，所以0，故.故选B.(2)ab与c共线，ab1c.又bc与a共线，bc2a.由得：b1ca.bc1cac(11)ca2a.即abccc0.故选D.名师讲坛素养提升易错警示都是零向量“惹的祸”例4 (多选题)下列命题错误的是(ABC)A向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使baB在ABC中，0C不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立D若向量a，b不共线，则向量ab与向量ab必不共线解析易知ABC错误对于D.向量a与b不共线，向量a，b，ab与ab均不为零向量若ab与ab共线，则存在实数使ab
12、(ab)，即(1)a(1)b，所以此时无解，故假设不成立，即ab与ab不共线故D正确名师点拨在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误变式训练3(多选题)下列叙述错误的是(ABCD)A若非零向量a与b的方向相同或相反，则ab与a，b其中之一的方向相同B|a|b|ab|a与b的方向相同C0D若ab，则ab解析对于A，当ab0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同；对于B，当a，b中有一个为零向量时结论不成立；对于C，因为两个向量之和仍是一个向量，所以0；对于D，当0时，ab，此时不一定有ab.
