1、第五节椭圆一、教材概念结论性质重现1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)若ac，则集合P为椭圆(2)若ac，则集合P为线段(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B
2、1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2(1)椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程1时，椭圆的焦点在x轴上mn0，椭圆的焦点在y轴上0mn.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个方程，再结合b2a2c2就可求得e(0eb0)与1(ab0)的焦点坐标相同()2椭圆1的焦点坐标为()A(3,0) B(0，3)C(9,0) D(0，9)B解析：根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2a2b225169，所以c3，故焦点坐标为(0，3)3已知椭圆C：1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A B C DC解析：不妨设a0.因为椭圆C的一
3、个焦点为(2,0)，所以焦点在x轴上，且c2，所以a2448，所以a2，所以椭圆C的离心率e.4若F1(3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是_1解析：因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a5，c3，b4，故点P的轨迹方程为1.5已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_或解析：设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x.又x0，所以x，所以
4、点P坐标为或.考点1椭圆的定义及应用基础性(1)(2020广东东莞4月模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点若AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为()A1 B1C1 D1B解析：如图所示，因为ABF2是边长为4的等边三角形，所以|AF2|4，|AF1|AB|2，所以2a|AF1|AF2|6，所以a3.又因为|F1F2|2c2，所以c，则b2a2c26，故椭圆C的方程为1.故选B(2)(2020怀宁县第二中学高三月考)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆
5、C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A1 B1C1 D1D解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r.因为圆M与圆C1：(x4)2y2169内切，与C2：(x4)2y29外切，所以|MC1|13r，|MC2|3r.|MC1|MC2|16|C1C2|8，由椭圆的定义，点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴为16的椭圆，则a8，c4，所以b2824248，所以动圆的圆心M的轨迹方程为1.(3)(2020深圳高三二模)已知A，F分别是椭圆C：1(ab0)的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且点N的纵坐标为b.若FMN的周长为6，则FAN的面积为_解析：如图所示
6、，由题意得，A(0，b)，F(c,0)，直线MN的方程为yxb.把yb代入椭圆方程，解得xa，所以N.因为N在直线MN上，所以bab，解得.又a2b2c2，所以b2c2，解得bc.令yxb0，则M，即M(c，0)，所以M为椭圆的右焦点，所以|FM|2c.由椭圆的定义可知，|NF|NM|2a，因为FMN的周长为6，所以2a2c6，因为，bc，所以a2c，所以c1，a2，b，所以SFAN|FM|cb.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等(2)椭圆的定义常和余弦定理、正弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题1(20
7、20北京四中高三开学考试)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为()A1 By21C1 D1A解析：若AF1B的周长为4，由椭圆的定义可知，4a4，所以a.因为e，所以c1，所以b22，所以椭圆C的方程为1.故选A2(2020上海高三三模)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，O为坐标原点，点A是椭圆在第一象限的一点，且OAF为等边三角形，则a_.解析：如图所示，OAF为等边三角形，由|OF|OF1|OA|1，得AF1F是直角三角形所以|F1F|2，|AF|1，|AF1|.由椭圆的定义得2a|A
8、F1|AF|1，所以a.考点2椭圆的标准方程综合性(1)“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件C解析：把椭圆方程化成1.若mn0，则0.所以椭圆的焦点在y轴上反之，若椭圆的焦点在y轴上，则0，即有mn0.故“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_1解析：(方法一)椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.(方法二)因为所求椭圆与椭圆1的焦
9、点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，所以a2b216.又点(，)在所求椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.本例(2)若改为：已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的方程为_1解析：设椭圆的方程为mx2ny21(m，n0，mn)由解得所以椭圆的方程为1.求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a|F1F2|.(2)待定系数法利用待定系
10、数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式1(2020银川高级中学高三月考)已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，ABF1F2于F2，|AB|4，|F1F2|2，则椭圆方程为()Ay21 B1C1 D1C解析：由题意可得c，4，c2a2b2，解得a3，b，所以所求椭圆方程为1.故选C2(2020福建省抚州市高三模拟)椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点E在C上，EF1EF2，直线EF1的斜率为(c为半焦距)，则椭圆C的方程
11、为_1解析：因为EF1EF2，且直线EF1的斜率为，根据斜率的定义可知，倾斜角的正切值，故根据比例关系有EF2EF1F1F2bcbca.故离心率，即.故a2bcc2a2c2bcb2bc，故bc.又2c2，故bc.故a.故椭圆C的方程为1.考点3椭圆的几何性质综合性考向1求椭圆的离心率或取值范围已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则椭圆C的离心率为()A B C DD解析：由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示设|F1F2|2c，因为PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，所以|PF2|F1F
12、2|2c.因为|OF2|c，过P作PE垂直x轴于点E，则PF2E60，所以|F2E|c，|PE|c，即点P(2c，c)因为点P在过点A，且斜率为的直线上，所以，解得，所以e.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解考向2与椭圆的性质有关的最值或范围问题如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为_4解析：由题意知a2，因为e，所以c1，b2a2c23.故椭圆方程为1.设点P的坐标为(x0，y0)，所以2
13、x02，y0.因为F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，所以xx02yxx01(x02)2.则当x02时，取得最大值4.椭圆的范围与最值问题(1)在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，有|x|a，|y|b，可以把椭圆上某一点的坐标视为某一函数问题，进而求函数的单调区间、最值(2)椭圆上点到焦点的最大距离为ac，最小距离为ac；椭圆短轴端点与两焦点连线的夹角是椭圆上点与两焦点连线夹角的最大值1(多选题)(2020菏泽期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点
14、)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则()AacmR BacnRC2amnDbABD解析：由题设条件可得所以acmR，故A正确；acnR，故B正确；得mn2a2R，可得2amn2R，故C不正确；由可得(mR)(nR)a2c2，因为a2c2b2，所以b2(mR)(nR)b，故D正确故选ABD2已知两定点A(1,0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，求椭圆C的离心率的最大值解：不妨设椭圆方程为1(a1)，与直线l的方程联立消去y得(2a21)x26a2x10a2
15、a40.由题意易知36a44(2a21)(10a2a4)0，解得a，所以e，所以e的最大值为.设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，如果椭圆上存在点P，使F1PF290，求离心率e的取值范围四字程序读想算思在椭圆上存在点P，使得F1PF2为直角1.在焦点三角形中可利用哪些性质或结论？2离心率的表达式有哪些？构建点P的横坐标x与a，b，c的关系式，利用椭圆的有界性求解转化与化归，函数与方程求椭圆离心率e的取值范围1.在焦点三角形中要注意应用椭圆的定义；勾股定理或余弦定理；三角形的面积公式2e或ex21.椭圆的有界性；2一元二次方程有实根的条件思路参考：利用曲线范围解：设P(x，y)，又
16、知F1(c,0)，F2(c,0)，则(xc，y)，(xc，y)由F1PF290，知，则0，即(xc)(xc)y20，得x2y2c2.将这个方程与椭圆方程1联立，消去y，可得x2.由椭圆的取值范围及F1PF290，知0x2a2，即0a2.可得c2b2，即c2a2c2，且c2a2，从而得e，且e1，所以e.思路参考：利用二次方程有实根解：由椭圆定义知|PF1|PF2|2a|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.又由F1PF290，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，可得|PF1|PF2|2(a2c2)因此，|PF1|与|PF2|是方程x22ax2(a2c2)0的两个实根，所
17、以4a28(a2c2)0e2e.所以e.思路参考：利用三角函数有界性解：记PF1F2，PF2F1，由正弦定理有，即|F1F2|.又|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，则有e.由0|90，知045，所以cos1，从而可得e1.当m3时，t.tan()，所以tan tan (1t)，所以tan ，tan 为方程x2(1t)xt0的两个根，所以3(1t)24t0.得(3t1)(t3)0.因为t1，故t3，故3或3，解得m9或0m1.故选A(方法二)当0m0，A(，0)，B(，0)则SMABy0|MA|MB|sin|MA|MB|，得|MA|MB|4y0.(x0，y0)，(x0，y0)，故(x0)(x0)y|cos，得x3y2y0.因为M(x0，y0)在椭圆上，所以1，得x3y，故yy2y0，得y0，解得03时，如图2，设M(x0，y0)，不妨x00，则A(0，)，B(0，)，SMABx0|MA|MB|sin|MA|MB|，|MA|MB|x0，(x0，y0)，(x0，y0)，所以x(y0)(y0)|cos，解得xymx0.因为M(x0，y0)在椭圆上，所以1，得ymx，故xxx0，解得x0，解得m9.综上m9或0m1.故选A图2
