1、课时规范练35综合法、分析法、反证法1.已知a5,求证:a-5-a-3a-2-a.证明:要证a-5-a-3a-2-a,只需证a-5+aa-3+a-2,只需证(a-5+a)2(a-3+a-2)2,只需证2a-5+2a2-5a2a-5+2a2-5a+6,只需证a2-5aa2-5a+6,只需证a2-5aa2-5a+6,只需证06,显然成立,所以a-5-a-30,只需证4cos11-cos.1-cos0,只需证4cos(1-cos)1,即4cos2-4cos+10,只需证(2cos-1)20,显然成立.命题得证.(方法2综合法)sin1-cos-2sin2=sin11-cos-4cos=(1-2cos
2、)2sin1-cos,(0,),-1cos1,0sin1,(1-2cos)2sin1-cos0,即sin1-cos-2sin20,2sin2sin1-cos.4.(2021上海松江实验高级中学月考)(1)证明:|x-3|-|x-5|-2,对所有实数x均成立,并求等号成立时x的取值范围.(2)求证:6是无理数.证明:(1)对于不等式|x-3|-|x-5|-2,当x3时,左边=3-x+(x-5)=-2,不等式成立.当3x-2,不等式成立.当x5时,左边=x-3-(x-5)=2-2.所以|x-3|-|x-5|-2,对所有实数x均成立,等号成立时x(-,3.(2)假设6是有理数,则6=mn,其中m,n
3、是互质的整数,则m=6n,两边平方得m2=6n,所以m为偶数,设m=2k,kZ,则4k2=6n,2k2=3n,所以n为偶数,与“m,n是互质的整数”矛盾,所以假设不成立.所以6是无理数.5.(2021青海海东模拟)(1)用分析法证明:若x1,则3x2+1x23x+1x3x+1x.(2)用反证法证明:若a0)无零点.证明:(1)因为x1,所以要证3x2+1x23x+1x,只需证3x4+13x3+x,即证3x3(x-1)x-1,所以只需证3x31.因为x1,所以3x331,故3x2+1x23x+1x得证.令t=x1,则3x+1x3x+1x等价于3t2+1t23t+1t,又因为已证明3x2+1x23
4、x+1x,所以3t2+1t23t+1t.故3x2+1x23x+1x3x+1x.(2)假设函数f(x)=ax2-4ex(x0)有零点,则方程f(x)=0在(0,+)上有解,即a=4exx2在(0,+)上有解.设g(x)=4exx2(x0),g(x)=4ex(x-2)x3(x0),当0x2时,g(x)2时,g(x)0.所以g(x)min=g(2)=e2,又因为ae2,所以a=4exx2在(0,+)上无解,显然矛盾,故假设不成立,即原命题得证.6.(2021安徽黄山模拟)列三角形数表假设第n行的第二个数为an(n2,nN+).(1)归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式;(2)求证:数列a
5、n(n2,nN+)中任意的连续三项不可能构成等差数列.(1)解:由三角形数表可知a2=2,an+1=an+n(n2,nN+),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+a2=(n-1)+(n-2)+2+2=(n-2)(n-1+2)2+2=n2-n+22(n3).又a2=2也满足上式,an=n2-n+22(n2,nN+).(2)证明:(反证法)假设an中存在连续三项构成等差数列,可设an-1,an,an+1(n3,nN+)成等差数列,则2an=an-1+an+1,即2n2-n+22=(n-1)2-(n-1)+22+(n+1)2-(n+1)+22=n2-n+3,得0=1,显然矛盾,即假设不成立.故数列an(n2,nN+)中任意的连续三项不可能构成等差数列.
