1、课时规范练26平面向量的数量积及其应用基础巩固组1.(2021北京人大附中高三月考)在等边三角形ABC中,AB=1,D为AB边的中点,则ACDA的值为()A.34B.14C.-14D.-34答案:C解析:设AC,DA的夹角为,=120,又D为AB边的中点,AB=1,|DA|=12.ACDA=|AC|DA|cos120=112-12=-14.2.(2021河北张家口二模)设平面向量a=(1,0),为a,b间夹角,若ab=2,cos =13,则|b|=()A.2B.3C.9D.6答案:D解析:cos=ab|a|b|=1321|b|=13|b|=6.3.(2021山西太原一模)已知a,b为单位向量,
2、且满足|a-b|=2,则|2a+b|=()A.3B.7C.5D.22答案:C解析:a,b为单位向量,且满足|a-b|=2,所以a2-2ab+b2=2,解得ab=0,所以|2a+b|=4a2+4ab+b2=5.4.(2021西藏拉萨二模)已知向量a=(-1,2),b=(3,2),设为a+b,a-b间夹角,则cos 为()A.1010B.-55C.22D.-22答案:B解析:因为a=(-1,2),b=(3,2),所以a+b=(2,4),a-b=(-4,0).所以cos=(a+b)(a-b)|a+b|a-b|=-8254=-55.5.(2021江西萍乡二模)已知a与b满足|a|=1,|b|=2,|a
3、-2b|=13,则a与b的夹角为()A.120B.90C.60D.30答案:C解析:由|a-2b|=13,等式左右平方得,(a-2b)2=a2-4ab+4b2=1-4ab+44=13,设为a,b间夹角,所以ab=1,即12cos=1,cos=12,=60.6.(2021吉林长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行,如图所示已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4 km/h,设v1和v2所成角为(0),若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处,则cos 等于()河流两岸示意图A.-215B.-25C.-35D.-45答案:B解析:由题意知(
4、v1+v2)v2=0,有|v1|v2|cos+v22=0,即104cos+42=0,所以cos=-25.7.(2021贵州贵阳二模)若向量a,b满足|a|=2,(a+2b)a=6,则b在a方向上的射影为()A.1B.-1C.-12D.12答案:D解析:设为a,b间夹角,由已知条件可得(a+2b)a=a2+2ab=4+2ab=6,ab=|a|b|cos=1,因此,b在a方向上的射影为|b|cos=12.8.(2021山东济南一模)已知单位向量a,b,c,满足a+b+c=0,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.56答案:C解析:设为a,b间夹角,由a+b+c=0,得a+b=-c,所以|a+
5、b|=|-c|,即|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=1,所以ab=-12,由ab=|a|b|cos=-12,得=23.9.(2021山西晋中三模)若向量m=(0,-2),n=(3,1),写出一个与2m+n垂直的非零向量.答案:(3,1)(答案不唯一)解析:因为m=(0,-2),n=(3,1),所以2m+n=2(0,-2)+(3,1)=(3,-3),设a=(x,y),xy0,因为a与2m+n垂直,所以a(2m+n)=0,即3x-3y=0,令x=3,则y=1,所以a=(3,1).10.如图,在RtABC中,AB=AC,BC=4,O为BC的中点,以O为圆心,1为半径的半圆与线段OC交于点D,
6、P为半圆上任意一点,则BPAD的最小值为.答案:2-5解析:建立如图所示的平面直角坐标系, 则B(-2,0),A(0,2),D(1,0),设P(x,y),故BP=(x+2,y),AD=(1,-2),所以BPAD=x-2y+2.令x-2y+2=t,根据直线的几何意义可知,当直线x-2y+2=t与半圆相切时,t取得最小值,由点到直线的距离公式可得|2-t|5=1,t=2-5,即BPAD的最小值是2-5.11.(2021北京海淀模拟)已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则a与b的夹角为;|2a-b|=.答案:327解析:设为a,b间夹角,由题意,向量a,b满足|a|=1,|
7、b|=6,因为a(b-a)=ab-a2=ab-1=2,可得ab=3,则cos=ab|a|b|=316=12,因为0,所以=3,即a与b的夹角为3,又由|2a-b|2=4a2-4ab+b2=412-43+62=28,所以|2a-b|=27.综合提升组12.(2021湖南师大附中高三月考)已知a,b是非零向量且满足(a-2b)a,(b-2a)b,则a与b的夹角是()A.6B.3C.23D.56答案:B解析:(a-2b)a,(b-2a)b,(a-2b)a=a2-2ab=0,(b-2a)b=b2-2ab=0,a2=b2=2ab,设a与b的夹角为,cos=ab|a|b|=12,0,=3.13.(2021
8、四川成都二诊)在ABC中,已知AB=AC,D为BC边中点,点O在直线AD上,且BCBO=3,则BC边的长度为()A.6B.23C.26D.6答案:A解析:在ABC中,AB=AC,D为BC边中点,ADBC,在RtBDO中有BD=BOcosOBD,且BD=BC2,BC,BO的夹角为OBD,即BCBO=|BC|BO|cosOBD=3,|BC|22=3,可得|BC|=6,所以BC边的长度为6.14.(2021山东临沂二模)点A,B,C在圆O上,若|AB|=2,ACB=30,则OCAB的最大值为()A.3B.23C.4D.6答案:C解析:点A,B,C在圆O上,|AB|=2,ACB=30,设三角形的外接圆
9、的半径为R,可得2R=2sin30=4,所以R=2,如图,因为|AB|=2,|OC|=R=2,所以当OC与AB共线同向时,向量的数量积取得最大值4.故选C.15.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为.答案:6解析:由题意,得F(-1,0),设P(x0,y0),则有x024+y023=1,解得y02=31-x024,因为FP=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),所以OPFP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+31-x024=x024+x0+3=14(x0+2)2+2,因为-2x02,故当x0=2时,OPFP取得最大值6.
10、16.(2021天津部分学校高三调研)如图,在平面四边形ABCD中,ABAD,AB=BC=23,ABC=3,且ADAC=12,则|AD|=,若M是线段AB上的一个动点,则DMCM的取值范围是.答案:4454,18解析:因为AB=BC=23,ABC=3,所以ABC为正三角形,所以AC=23,BAC=3.因为ABAD,所以CAD=6.因为ADAC=12,所以|AD|AC|cos6=12,所以|AD|=122332=4.因为M是线段AB上的一个动点,所以可设AM=tAB(0t1),所以DMCM=(AM-AD)(AM-AC)=(tAB-AD)(tAB-AC)=t2AB2-tABAC-tABAD+ADA
11、C=(23)2t2-t232312-0+12=12t2-6t+12=12t-142+454,因为0t1,所以t=14时,12t-142+454取得最小值454,当t=1时,12t-142+454取得最大值18,所以DMCM的取值范围是454,18.创新应用组17.已知圆O上有三点A,B,C,AB=2且ACB=90,D为BC中点,AD延长线与圆O交于点E,如图,AEAB=185,则ADBC的值为()A.-1B.-85C.-85或-1D.-85或1答案:C解析:由ACB=90,可得BA为直径,连接BE,则ACB=AEB=90,故AEAB=AE(AE+EB)=AE2+AEEB=|AE|2=185,|
12、BE|=|AB|2-|AE|2=4-185=105,BDE=ADC,AEB=ACB=90,则DBEDAC.设|BC|=2x,|AD|=y,|AC|=2z,D为BC中点,则|BD|=|CD|=x,由DBEDAC可得|BD|AD|=|BE|AC|=|DE|CD|,xy=1052z=3105-yx,4x2+4z2=4,解得x=22,y=102,z=22或x=255,y=2105,z=55.D为BC的中点,则AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12(AC-AB)=12(AB+AC),当x=z=22,y=102时,ADBC=12(AB+AC)(AC-AB)=12(AC2-AB2)=-1;当x=255,y=2105,z=55时,ADBC=12(AB+AC)(AC-AB)=12(AC2-AB2)=1245-4=-85.综上所述,ADBC=-1或-85.
