1、专练40空间几何体的表面积和体积命题范围：空间几何体的表面积与体积基础强化一、选择题1已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12B12C8D1022022全国甲卷(理)，4如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()A8B12C16D203已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为()A1B3C2D44在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积
2、为()A.BCD252022江西省南昌市高三模拟圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为()AcmB15cmC10cmD20cm6已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是()A2R2BR2CR2DR27某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为()A8B8C4D482022全国乙卷(理)，9已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高
3、为()AB.CD92021全国甲卷已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，ACBC1，则三棱锥OABC的体积为()ABCD二、填空题102020全国卷已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_11已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_122022安徽省高三联考在三棱锥PABC中，侧棱PAPBPC，BAC，BC2，则此三棱锥外接球的表面积为_.能力提升132022全国甲卷(理)，9甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙
4、若2，则()AB.2C.D.142022江西省赣州市一模在半径为2的球O的表面上有A，B，C三点，AB2.若平面OAB平面ABC，则三棱锥OABC体积的最大值为()ABCD152022安徽省高三一模半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体现有一个体积为V1的二十四等边体，其外接球体积为V2，则_162022江西省高三质量监测如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C
5、1D1中，点P在面AA1B1B内，记PD，PC与平面DD1C1C所成角分别为、，且tan3tan，则四棱锥PAB1C1D体积的最小值是_专练40空间几何体的表面积和体积1B设圆柱的底面半径为r，由题意得高h2r，(2r)28，得r，S圆柱表2r22rh4812.2B如图，将三视图还原成直观图该直观图是一个侧放的直四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD是直角梯形，ADAB，ABDC，ADDC2，AB4，AA12.所以底面面积S6，设该直四棱柱的高为h，则该几何体的体积VSh6212.故选B.3D由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去一个以1为底面圆的半径，高为1的圆柱的，如图所示，故其
6、表面积S1111211124.4C过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示由于V圆柱AB2BC1222，V圆锥CE2DE12(21)，所以该几何体的体积VV圆柱V圆锥2.5B由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯的底面半径为r，则玻璃球的体积为，圆柱的底面面积为r2, 若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为2r，所以r2(2r10)，解得r15 (cm).6B设内接圆柱的底面半
7、径为r(0r0)，则正方形ABCD的外接圆的半径ra，四棱锥OABCD的高h，则1a20，解得0a，所以VOABCDa2h.令f(x)x4x6(0x0；当x(，)时，f(x)0.所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减当x2时，f(x)取得极大值，也是最大值，即VOABCD取得最大值，此时四棱锥OABCD的高h.故选C.9A如图所示，因为ACBC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB.连接OO1，则OO1面ABC，OO1，所以三棱锥OABC的体积VSABCOO111.10.解析：如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图其中球心为O，设其半径为r，AC3，O1C1，AO12.OO1OMr，A
8、OAO1OO12r，又AMOAO1C，即，故3r2r，r.该圆锥内半径最大的球的体积V.118解析：由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高设圆锥的母线长为l，则由SASB，SAB的面积为8，得l28，得l4.在RtASO中，由题意知SAO30，所以SOl2，AOl2.故该圆锥的体积VAO2SO(2)228.12.解析：因为PAPBPC，所以点P在底面ABC的射影为ABC的外心O1，所以球心O在直线PO1上，设三棱锥外接球的半径为R，因为2AO1，所以AO12，PO1，由AO2OOAO可得，R2(R)24，解得R，故此三棱锥外接球的表面积为4R24.13C设甲、
9、乙两个圆锥的母线长都为l，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2.因为两圆锥的侧面展开图的圆心角之和为2，所以2，则r1r2l.又2，所以r1l2r2l，所以r12r2，所以r1l，r2l，所以h1l，h2l，所以.故选C.14B作出如图三棱锥OABC，OAOBOC2，取AB中点D，连接DC，DO，则ODAB，又平面OAB平面ABC，平面OAB平面ABCAB，OD平面OAB，所以OD平面ABC，CD平面ABC，则ODCD，又AB2，OA2OB2AB2，所以OD，OAOB，所以CDAB，所以ACBC，SOAB222，要使三棱锥OABC体积最大，则C到平面OAB的距离h最大，
10、显然hCD，当CDAB时，平面OAB平面ABCAB，CD平面ABC，所以CD平面OAB，此时hCD，为最大值，Vmax2.15.解析：设该半多面体是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，内侧即为二十四等边体，其体积V12228111；由二十四等边体的对称性可知，如图所示，其外接球的球心即为正方体中心O，半径为中心到一个顶点的距离，则R，故V2()3，从而.16248解析：依题意DA平面ABB1A1，所以DPA即为DP与平面ABB1A1所成的角，又平面ABB1A1平面DCC1D1，所以DPA即为DP与平面DCC1D1所成的角，同理可得CPB为PC与平面DCC1D1所成的角，即DPA，CPB，因为tan3tan，所以，又BCAD，所以AP3BP，在平面AA1B1B内建立以点A为原点，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴的直角坐标系，设点P(x，y)，则3，即x2y29x180，即(x)2y2，直线AB1的方程为yx，即xy0，所以圆心到直线的距离d，所以点P到直线AB1的距离的最小值为，又|AB1|4，SAB1C1D4416，所以四棱锥PAB1C1D体积的最小值是16248.
