1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关最新考纲核心素养考情聚焦1.理解平面向量基本定理及其意义2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算4.能用坐标表示平面向量共线的条件1.平面向量的基本定理的应用，发展直观想象和数学运算素养2.平面向量的坐标运算，提升数学运算素养3.平面向量共线的坐标表示，增强数学抽象和数学运算素养高考对平面向量的基本定理与坐标运算的考查主要有以下几方面：平面向量基本定理及其意义；用坐标表示平面向量
2、的加法、减法与数乘运算；用坐标表示平面向量共线的条件对用坐标表示平面向量共线的条件的考查是比较突出的考查的形式以选择题、填空题为主，难度中等考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关1平面向量的基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有 一对实数 1，2，使 a 1e12e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关2平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解3平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x
3、1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|x21y21.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12y2y12.4平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab x1y2x2y10.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关1若 a 与 b 不共线，ab0，则 0.2已知OA OB OC(，为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 1.以上三
4、个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且 1 常被当作隐含条件运用3平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC 中，向量AB，BC的夹角为ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成 x1x2y1y2.()(5)若a，b 不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)考点层级突破
5、第四章基础自主夯实课时分组冲关小题查验1已知向量 a(2,4)，b(1,1)，则 2ab 等于()A(5,7)B(5,9)C(3,7)D(3,9)解析：D 2ab2(2,4)(1,1)(3,9)故选 D.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关2(2015全国卷)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4，3)，则向量BC()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)解析：A 根据题意得AB(3,1)，BCACAB(4，3)(3,1)(7，4)故选 A.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关3(2018全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则E
6、B()A.34AB14ACB.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC解析：A 如图，由题意可得BE12BA12BD 12BA14BC12BA14BA14AC34BA14AC，所以EB34AB14AC，故选 A.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关4(人教 A 版教材复习题改编)设 M 是ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA OB OC OD _ OM.答案：4考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关5e1，e2 是不共线向量，且 ae13e2，b4e12e2，c3e112e2，若 b，c 为一组基底，则 a _.解析：设 a1b2c，则e13e21(4e1
7、2e2)2(3e112e2)，即e13e2(4132)e1(21122)e2，41321，211223，解得1 118，2 727，a 118b 727c.答案：118b 727c考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关考点一 平面向量基本定理的应用(师生共研)典例(1)如果 e1，e2 是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1 与 e1e2 Be12e2 与 e12e2Ce1e2 与 e1e2De13e2 与 6e22e1考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关解析 D 选项 A 中，设 e1e2e1，则1，10，无解；选项 B 中，
8、设 e12e2(e12e2)，则1，22，无解；选项 C 中，设 e1e2(e1e2)，则1，1，无解；选项 D 中，e13e212(6e22e1)，所以两向量是共线向量考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关(2)如图，在ABC 中，AN13NC，P 是 BN 上的一点，若APmAB 211AC，则实数 m 的值为 _.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关解析 设|BP|y，|PN|x，则APANNP14AC xxyBN，APABBPAB yxyBN，yx 得AP xxyABy4xyAC，令y4xy 211，得 y83x，代入得 m 311.答案 311考点层级突破第四章基础自主夯实
9、课时分组冲关(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练(2019盐城市模拟)如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点若BEBABD(，R)，则 _.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关解析：由题意可得BE12BA12BO 12BA14BD，由平面向量基本定理可得 12，14，所以 34.答案：34考点层级突破第四章基础自
10、主夯实课时分组冲关考点二 平面向量的坐标运算(自主练透)题组集训1若向量 a(2,1)，b(1,2)，c0，52，则 c 可用向量 a，b表示为()A.12ab B12abC.32a12bD.32a12b考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关解析：A 设 cxayb，则0，52(2xy，x2y)，所以2xy0，x2y52，解得x12，y1，则 c12ab.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关2已知平行四边形的三个顶点分别是 A(4,2)，B(5,7)，C(3,4)，则第四个顶点 D 的坐标是 _.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关解析：设顶点 D(x，y)若平行四边形为 AB
11、CD，则由AB(1,5)，DC(3x,4y)，得3x1，4y5，所以x4y1；若平行四边形为 ACBD，则由AC(7,2)，DB(5x,7y)，得5x77y2，所以x12，y5；若平行四边形为 ABDC，则由AB(1,5)，CD(x3，y4)，得x31，y45，所以x2，y9.综上所述，第四个顶点 D 的坐标为(4，1)或(12,5)或(2,9)答案：(4，1)或(12,5)或(2,9)考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相
12、等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关考点三 平面向量共线的坐标表示(子母变式)母题 平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数 m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数 k.解析(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以m4n3，2mn2，得m59，n89.(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得 2(34k)(5)(2k)0.k1613.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关子题 1 在本例条件下，若 d 满足(dc)(ab)，且|dc|5，求 d.解
13、：设 d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得4x42y10，x42y125，得x3，y1 或x5，y3.d(3，1)或 d(5,3)考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关子题 2 在本例条件下，若 manb 与 a2b 共线，求mn的值解：manb(3mn,2m2n)，a2b(5，2)，由题意得2(3mn)5(2m2n)0.mn12.考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关子题 3 若本例条件变为：已知 A(3,2)，B(1,2)，C(4,1)，判断 A，B，C 三点能否共线解：AB(4,0)，AC(1，1)，4(1)010，AB，AC不共线A，B，C 三点不共线考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关1向量共线的两种表示形式设 a(x1，y1)，b(x2，y2)：abab(b0)；abx1y2x2y10.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用.2两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关考点层级突破第四章基础自主夯实课时分组冲关
