1、第三章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.已知 ab,则下列不等式a2b2,-不成立的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:取 a=2,b=-4,可知均不成立.答案:D2.不等式(x+3)2-2B.x|x-4C.x|-4x-2D.x|-4x-2解析:原不等式可化为 x2+6x+80,解得-4x0 的解集是(-)(),则 ab 等于()A.24B.6C.14D.-14解析:由已知得-所以 a=12,b=2.所以 ab=24.答案:A5.设 a0,若关于 x 的不等式 x+4 在 x(0,+)恒成立,则 a 的最小值为(
2、)A.4B.2C.16D.1解析:因为 x0,a0,所以 x+2.因此要使不等式恒成立,应有 2 4 所以 a4 即 a 的最小值为 4.答案:A6.不等式 -0 的解集为()A.x|x3B.x|x-2 或 1x3C.x|-2x3D.x|-2x1 或 1x0,由穿针引线法(如图)可得-2x3.答案:C7.已知当 x(1,2)时,不等式 x2+mx+40 有解,则 m 的取值范围为()A.m-4B.m-5D.m0 或 f(2)0 时,不等式 x2+mx+40 在(1,2)上一定有解,即 m+50 或 2m+80,解得 m-5.故选 C.答案:C8.(2017 浙江高考)若 x,y 满足约束条件
3、-则 z=x+2y 的取值范围是()A.0,6B.0,4C.6,+)D.4,+)解析:画出约束条件 -所表示的平面区域为图中阴影部分,由目标函数 z=x+2y 得直线 l:y=-x+z,当 l 经过点 B(2,1)时,z 取最小值,zmin=2+21=4.又 z 无最大值,所以 z 的取值范围是4,+),故选 D.答案:D9.已知 a2+c2-3=0,则 c+2a 的最大值是()A.2 B.2 C.2 D.3 解析:解法一:由 a2+-3=0,得 4a2+c2=12,所以(2a+c)2=4a2+c2+22ac4a2+c2+4a2+c2=24,当且仅当 2a=c=时取等号,则 c+2a 的最大值
4、是 2.解法二:由 a2+c2-3=0,可得 a2+c2=1,令 a=cos,c=2 sin,R,可得 c+2a=2 sin+2 cos=2 sin()2.答案:B10.若变量 x,y 满足 -且 2x-y 的最大值为-1,则 a 的值为()A.0B.1C.-1D.2解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示,令 z=2x-y,则 y=2x-z.因为 2x-y 的最大值为-1,所以 2x-y=-1 与阴影部分的交点为阴影区域的一个顶点,由图像可知,当直线 2x-y=-1 经过点 C 时,z 取得最大值,由 -解得 -故 a=-1.答案:C11.已知在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小
5、于 300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x(单位:m)的取值范围是()A.15,20B.12,25C.10,30D.20,30解析:矩形的一边长为 x m,则其邻边长为(40-x)m,故矩形面积 S=x(40-x)=-x2+40 x,由 S300 得-x2+40 x300 即 10 x30.答案:C12.已知点 P(x,y)的坐标满足条件 -记 的最大值为 a,x2+(y+)2的最小值为 b,则a+b=()A.4B.5C.7+4 D.8+4 解析:线性约束条件表示的可行域为直线 x=1,y=2,2x+y-2=0 围成的三角形及其内部,-可看作点(x,y),(-2,0)连线的斜率,
6、观察图形可知最大值 a=1,x2+(y+)2可看作两点(x,y),(0,-)间距离的平方,观察图形可知最小值 b=4,所以 a+b=5.答案:B二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知 m,n 为实数,若关于 x 的不等式 x2+mx+n0).(1)求(x)的最大值.(2)证明:对任意实数 a,b,恒有(a)b2-3b+.(1)解 f(x)=2,当且仅当 即 x=2 时,等号成立.所以(x)的最大值为 2.(2)证明 b2-3b+(-)+3,当 b=时,b2-3b+有最小值 3,由(1)得,(a)有最大值 2.又因为 2 3,所以对任意实数 a,b 都有(a)b
7、2-3b+.18.(本小题满分 12 分)已知实数 x,y 满足约束条件 -设不等式组所表示的平面区域为 D,若直线 y=a(x+1)与区域 D 有公共点,求实数 a 的取值范围.解作出约束条件 -所对应的可行域 D(如图阴影部分),直线 y=a(x+1)表示过点 A(-1,0),且斜率为 a 的直线,联立 -解得 即 B(3,3),由斜率公式可得 kAB=-,结合图像可得,要使直线 y=a(x+1)与区域 D 有公共点,需使 a .所以 a 的取值范围为(-.19.导学号 33194080(本小题满分 12 分)一批救灾物资随 26 辆汽车以 x km/h 的速度匀速开往 400 km 处的
8、地震灾区,为安全起见,每辆汽车的前后间距不得小于()km,问这批物资全部到达灾区,最少要用多少小时?解设这批物资全部到达灾区需用 y h,由题意可知,y 相当于最后一辆车行驶 ()km 所用的时间,所以 y=()2 =10,当且仅当 ,即 x=80 时,等号成立.所以这些汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为 10 h.20.导学号 33194081(本小题满分 12 分)已知不等式 mx2+nx-0,其中 a 是实数.解(1)依题意得 -(-)-解得 m=-1,n=.(2)原不等式为(2a-1-x)(x-1)0,即x-(2a-1)(x-1)0.当 2a-11,即
9、a1 时,2a-1x1,即 a1 时,1x2a-1.综上,当 a1 时,原不等式的解集为x|2a-1x1 时,原不等式的解集为x|1x0).现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品 t 万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为()万元/万件.(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.解(1)由题意知,y=()t-(10+2t)-x,又 t=5-,代入化简得 y=20-()0 xa2-3a+3,且 a0).(2)当 1a2-3a+3,即 a2 或 0a1 时,y=21-()21-2 =17,当且仅当 =x+1,即 x=1 时,等号成立.促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大;当 a2-3a+31,即 1a0,所以 y=21-()在0,a2-3a+3上是增加的,所以,当 x=a2-3a+3 时,函数取得最大值.所以促销费用投入(a2-3a+3)万元时,厂家的利润最大.综上所述,当 a2 或 0a1 时,此时促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大;当 1a2 时,此时促销费用投入(a2-3a+3)万元,厂家的利润最大.
