1、1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x，x0,2的图像中，五个关键点是：(0,0)，(2，1)，(，0)，(32，1)，(2，0)余弦函数 ycos x，x0,2的图像中，五个关键点是：(0,1)，(2，0)，(，1)，(32，0)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数ysin xycos xytan x图像定义域RRx|xR 且 x2k，kZ 值域1,11,1R单调性在22k，22k(kZ)上是增加的；在22k，32 2k(kZ)上是减少的在2k，2k(kZ)上是增加的；在2k，2k(kZ)上是减少的在(2k，2k)(kZ)上是增加的最值当 x22k(
2、kZ)时，ymax1；当 x2k(kZ)时，ymax1；当 x22k(kZ)时，ymin1当 x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(2k，0)(kZ)(k2，0)(kZ)对称轴方程x2k(kZ)xk(kZ)周期22【知识拓展】1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若 f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是 2k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是 k(kZ)【思考辨析
3、】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x 在第一、第四象限是增函数()(2)常数函数 f(x)a 是周期函数，它没有最小正周期()(3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数()(4)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.()(5)ysin|x|是偶函数()(6)若 sin x 22，则 x4.()1函数 f(x)cos(2x6)的最小正周期是()A.2BC2D4答案 B解析 最小正周期为 T222.故选 B.2(教材改编)函数 f(x)3sin(2x6)在区间0，2上的值域为()A32，32 B32，3C3 32，3 32 D3 32，3答案
4、B解析 当 x0，2时，2x66，56，sin(2x6)12，1，故 3sin(2x6)32，3，即 f(x)的值域为32，33函数 ytan 2x 的定义域是()A.xxk4，kZB.xxk2 8，kZC.xxk8，kZD.xxk2 4，kZ答案 D解析 由 2xk2，kZ，得 xk2 4，kZ，ytan 2x 的定义域为xxk2 4，kZ.4(2016开封模拟)已知函数 f(x)4sin(32x)，x，0，则 f(x)的单调递减区间是()A 712，12B，2C，712，12，0D，512，12，0答案 C解析 f(x)4sin(32x)4sin(2x3)由22k2x322k(kZ)，得
5、12kx 512k(kZ)所以函数 f(x)的递减区间是 12k，512k(kZ)因为 x，0，所以函数 f(x)的递减区间是，712，12，05ysin(x4)的图像的对称中心是_答案(k4，0)，kZ解析 令 x4k(kZ)，xk4(kZ)，ysin(x4)的图像的对称中心是(k4，0)，kZ.题型一 三角函数的定义域和值域例 1(1)函数 f(x)2tan(2x6)的定义域是_(2)(2016郑州模拟)已知函数 f(x)sin(x6)，其中 x3，a，若 f(x)的值域是12，1，则实数 a 的取值范围是_答案(1)x|xk2 6，kZ(2)3，解析(1)由 2x62k，kZ，得 xk2
6、 6，kZ，所以 f(x)的定义域为x|xk2 6，kZ(2)x3，a，x66，a6，x66，2时，f(x)的值域为12，1，由函数的图像知2a676，3a.思维升华(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解(2)三角函数值域的不同求法利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；把所给的三角函数式变换成 yAsin(x)的形式求值域；通过换元，转换成二次函数求值域(1)函数 ylg(sin x)cos x12的定义域为.(2)函数 y2sin(x6 3)(0 x9)的最大值与最小值的和为_答案(1)x|2kx32k，k
7、Z(2)2 3解析(1)要使函数有意义必须有sin x0，cos x120，即sin x0，cos x12，解得2kx2kkZ，32kx32kkZ，2kx32k(kZ)，函数的定义域为x|2kx32k，kZ.(2)0 x9，3x6 376，32 sin(x6 3)1，故 32sin(x6 3)2.即函数 y2sin(x6 3)(0 x9)的最大值为 2，最小值为 3.最大值与最小值的和为 2 3.题型二 三角函数的单调性例 2(1)函数 f(x)tan2x3 的单调递增区间是()A.k2 12，k2 512(kZ)B.k2 12，k2 512(kZ)C.k6，k23(kZ)D.k 12，k51
8、2(kZ)(2)已知 0，函数 f(x)sinx4 在2，上单调递减，则 的取值范围是_答案(1)B(2)12，54解析(1)由 k22x3k2(kZ)，得k2 12xk2 512(kZ)，所以函数 f(x)tan2x3 的单调递增区间为k2 12，k2 512(kZ)，故选 B.(2)由2x，0，得2 4x44，又 ysin x 的单调递减区间为2k2，2k32，所以2 422k，432 2k，kZ，解得 4k122k54，kZ.又由 4k12(2k54)0，kZ 且 2k540，kZ，得 k0，所以 12，54引申探究本例(2)中，若已知 0，函数 f(x)cos(x4)在(2，)上单调递
9、增，则 的取值范围是_答案 32，74解析 函数 ycos x 的单调递增区间为2k，2k，kZ，则2 42k，42k，kZ，解得 4k522k14，kZ，又由 4k522k14 0，kZ 且 2k140，kZ，得 k1，所以 32，74.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(其中 0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果 0，那么一定先借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，
10、然后利用集合间的关系求解(1)函数 f(x)sin2x3 的单调减区间为_(2)若函数 f(x)sin x(0)在区间0，3上单调递增，在区间3，2上单调递减，则 等于()A.23B.32C2D3答案(1)k 12，k 512，kZ(2)B解析(1)已知函数可化为 f(x)sin2x3，欲求函数的单调减区间，只需求 f(x)sin2x3 的单调增区间由 2k22x32k2，kZ，得 k 12xk512，kZ.故所给函数的单调减区间为k 12，k512(kZ)(2)f(x)sin x(0)过原点，当 0 x2，即 0 x 2时，ysin x 是增加的；当2x32，即 2x32时，ysin x 是
11、减少的由 f(x)sin x(0)在0，3 上是增加的，在3，2 上是减少的，知 23，32.题型三 三角函数的周期性、对称性命题点 1 周期性例 3(1)(2016北京东城区模拟)函数 y12sin 2x 3cos2x 32 的最小正周期等于()AB2C.4D.2(2)若函数 f(x)2tan(kx3)的最小正周期 T 满足 1T2，则自然数 k 的值为_答案(1)A(2)2 或 3解析(1)y12sin 2x 31cos 2x2 32 12sin 2x 32 cos 2xsin(2x3)，所以函数的最小正周期 T222，故选 A.(2)由题意得，1k2，k2k，即2k，又 kZ，k2 或
12、3.命题点 2 对称性例 4 对于函数 f(x)sinx2，下列说法正确的是()Af(x)的周期为，且在0,1上是增加的Bf(x)的周期为 2，且在0,1上是减少的Cf(x)的周期为，且在1,0上是增加的Df(x)的周期为 2，且在1,0上是减少的答案 B解析 因为 f(x)sinx2 cos x，则周期 T2，在0,1上是减少的，故选 B.命题点 3 对称性的应用例 5(1)已知函数 y2sin2x3 的图像关于点 P(x0,0)对称，若 x02，0，则 x0_.(2)若函数 ycos(x6)(N)图像的一个对称中心是(6，0)，则 的最小值为()A1B2C4D8答案(1)6(2)B解析(1
13、)由题意可知 2x03k，kZ，故 x0k2 6，kZ，又 x02，0，23k13，kZ，k0，则 x06.(2)由题意知66k2(kZ)，6k2(kZ)，又 N，min2.思维升华(1)对于函数 yAsin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 xx0 或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断(2)求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义利用公式：yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.(1)(2016北京朝阳区模拟)已知函数 f(x)2sin(2x5)，
14、若对任意的实数 x，总有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值是()A2B4CD2(2)如果函数 y3cos(2x)的图像关于点(43，0)中心对称，那么|的最小值为()A.6B.4C.3D.2答案(1)A(2)A解析(1)由题意可得|x1x2|的最小值为半个周期，即T22.(2)由题意得 3cos(243)3cos(23 2)3cos(23)0，23 k2，kZ，k6，kZ，取 k0，得|的最小值为6.5三角函数的性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻
15、破，并在高考中拿全分典例(1)(2015课标全国)函数 f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为()A.k14，k34，kZB.2k14，2k34，kZC.k14，k34，kZD.2k14，2k34，kZ(2)已知函数 f(x)2cos(x)b 对任意实数 x 有 f(x4)f(x)恒成立，且 f(8)1，则实数b 的值为()A1B3C1 或 3D3(3)已知函数 f(x)2sin x(0)在区间3，4 上的最小值是2，则 的最小值为_解析(1)由图像知，周期 T25414 2，22，.由 1422k，kZ，不妨取 4，f(x)cosx4.由 2kx 4 2k，kZ
16、，得 2k14 x0)的最小正周期为，则 f(8)等于()A1B.12C1D12答案 A解析 T，2，f(8)sin(284)sin 21.2若函数 f(x)cos 2x，则 f(x)的一个递增区间为()A(4，0)B(0，2)C(2，34)D(34，)答案 B解析 由 f(x)cos 2x 知递增区间为k，k2，kZ，故只有 B 项满足3关于函数 ytan(2x3)，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间(0，3)上单调递减C(6，0)为其图像的一个对称中心D最小正周期为 答案 C解析 函数 ytan(2x3)是非奇非偶函数，A 错误；在区间(0，3)上是增加的，B 错误；最小正周期为2，D
17、 错误当 x6时，tan(263)0，(6，0)为其图像的一个对称中心，故选 C.4(2016潍坊模拟)已知函数 f(x)2sin(x6)1(xR)的图像的一条对称轴为 x，其中 为常数，且(1,2)，则函数 f(x)的最小正周期为()A.35B.65C.95D.125答案 B解析 由函数 f(x)2sin(x6)1(xR)的图像的一条对称轴为 x，可得 6k2，kZ，k23，53，从而得函数 f(x)的最小正周期为25365.5已知函数 f(x)2sin(2x)(|)，若 f(8)2，则 f(x)的一个单调递减区间是()A8，38 B8，98 C38，8 D8，58 答案 C解析 由 f(8
18、)2，得f(8)2sin(28)2sin(4)2，所以 sin(4)1.因为|0 且|2)在区间6，23 上是单调减函数，且函数值从 1 减少到1，则 f(4)等于()A.12B.22C.32D1答案 C解析 由题意得函数 f(x)的周期 T2(23 6)，所以 2，此时 f(x)sin(2x)，将点(6，1)代入上式得 sin(3)1(|0)在区间2，23 上是增加的，则 的取值范围是_答案(0，34解析 方法一 由 2k2x2k2，kZ，得 f(x)的增区间是2k 2，2k 2，kZ.因为 f(x)在2，23 上是增加的，所以2，23 2，2，即2 2且23 2，所以(0，34方法二 因为
19、 x2，23，0.所以 x2，23，又 f(x)在区间2，23 上是增加的，所以2，23 2，2，则2 2，23 2，又 0，得 034.11设函数 f(x)sin()2x(0)，yf(x)图像的一条对称轴是直线 x8.(1)求；(2)求函数 yf(x)的单调递增区间解(1)令 28k2，kZ，k4，kZ，又0，函数 f(x)2asin2x6 2ab，当 x0，2 时，5f(x)1.(1)求常数 a，b 的值；(2)设 g(x)fx2 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间解(1)x0，2，2x66，76，sin2x6 12，1，2asin2x6 2a，a，f(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此 a2，b5.(2)由(1)得 f(x)4sin2x6 1，g(x)fx2 4sin2x76 14sin2x6 1，又由 lg g(x)0，得 g(x)1，4sin2x6 11，sin2x6 12，2k62x62k56，kZ，其中当 2k62x62k2，kZ 时，g(x)是增加的，即 kxk6，kZ，g(x)的单调增区间为k，k6，kZ.又当 2k22x62k56，kZ 时，g(x)是减少的，即 k6xk3，kZ.g(x)的单调减区间为k6，k3，kZ.
