1、2014-2015学年河南省信阳市罗山高中高三（上）12月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知R是实数集，则NRM=( )A（1，2）B0，2CD1，22复数等于( )A1+2iB12iC2+iD2i3给出下列命题，其中错误的是( )A在ABC中，若AB，则sinAsinBB在锐角ABC中，sinAcosBC把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=cos2x的图象D函数y=sinx+cosx（0）最小正周期为的充要条件是=24已知函数f（x）=，若f（f（1）=4a，则实数a等
2、于( )ABC2D45已知a0，且a1，则函数f（x）=ax+（x1）22a的零点个数为( )A1B2C3D与a有关6为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象( )A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位7已知两个非零向量与，定义|=|sin，其中为与的夹角若=（3，4），=（0，2），则|的值为( )A8B6C6D88数列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列，则a4=( )A4B8C10D149一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至前一次高度的一半落下，当它第10次着
3、地时，共经过的路程为 （结果精确到1米）( )A199米B200米C300米D100米10已知函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象是( )ABCD11若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为( )A1B1CD212函数，则下列说法中正确命题的个数是( )函数y=f（x）ln（x+1）有3个零点；若x0时，函数f（x）恒成立，则实数k的取值范围是，+）；函数f（x）的极大值中一定存在最小值；f（x）=2kf（x+2k），（kN），对于一切x0，+）恒成立A1B2C3D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把
4、答案填在题中横线上.13设为锐角，若cos（）=，则sin（）=_14在边长为1的正三角形ABC中，设，则=_15已知a，b都为正实数，且，则的最大值为_16对于函数f（x）=2cosx（x0，）与函数有下列命题：函数f（x）的图象关于对称；函数g（x）有且只有一个零点；函数f（x）和函数g（x）图象上存在平行的切线；若函数f（x）在点P处的切线平行于函数g（x）在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为其中正确的命题是_（将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=sin2xcos2x（xR）（1）求函数f（x）的最
5、小值和最小值时x的集合；（2）设ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值18如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=（）求cosCAD的值；（）若cosBAD=，sinCBA=，求BC的长19设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（）求角B的大小；（）若，试求的最小值20已知函数f（x）=alnx+bx2图象上点p（1，f（1）处的切线方程为2xy3=0（1）求函数y=f（x）的解析式及单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）+m1n4在上恰有两个零点，求实数m的取值范围2
6、1已知数列an是等差数列，a2=6，a5=18；数列bn的前n项和是Tn，且Tn+bn=1（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列bn是等比数列；（3）记cn=anbn，求cn的前n项和Sn22已知函数f（x）=+lnx在1，+）上为增函数，且（0，），（1）求的值；（2）若g（x）=f（x）+mx在1，+）上为单调函数，求实数m的取值范围；（3）若在1，e上至少存在一个x0，使得kx0f（x0）成立，求实数k的取值范围2014-2015学年河南省信阳市罗山高中高三（上）12月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
7、目要求的.1已知R是实数集，则NRM=( )A（1，2）B0，2CD1，2考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：先化简两个集合M、N到最简形式求出M，N，依照补集的定义求出CRM，再按照交集的定义求出NCRM解答：解：M=x|1=x|x0，或x2，N=y|y=+1=y|y1 ，CRM=x|0x2，故有 NCRM=y|y1 x|0x2=1，+）0，2=1，2，故选D点评：本题考查函数的值域求法，不等式的解法，以及求集合的补集和交集的方法2复数等于( )A1+2iB12iC2+iD2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个
8、向量的乘法法则化简解答：解：复数=2+i，故选C点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数3给出下列命题，其中错误的是( )A在ABC中，若AB，则sinAsinBB在锐角ABC中，sinAcosBC把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=cos2x的图象D函数y=sinx+cosx（0）最小正周期为的充要条件是=2考点：命题的真假判断与应用 专题：阅读型；三角函数的图像与性质分析：由正弦定理和三角形中大角对大边，即可判断A；由锐角三角形中，两锐角之和大于90，运用正弦函数的单调性，即可判断B；运用图象的左右平移，只
9、对自变量x而言，再由诱导公式，即可判断C；由两角和的正弦公式化简，再由周期公式，即可判断D解答：解：对于A在ABC中，若AB，则ab，即由正弦定理有sinAsinB，故A正确；对于B在锐角ABC中，A+B，则AB，由y=sinx在（0，）上递增，则sinAsin（B）=cosB，故B正确；对于C把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=sin2（x）=sin（2x）=cos2x的图象，故C正确；对于D函数y=sinx+cosx（0）=2sin（x），最小正周期为时，也可能为2，故D错故选D点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查三角形的边角关系和正弦定理的运用，正弦函数的
10、单调性，以及三角函数的图象平移规律，周期公式，属于中档题4已知函数f（x）=，若f（f（1）=4a，则实数a等于( )ABC2D4考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：利用分段函数，先求出f（1），然后利用条件f（f（1）=4a，建立方程关系进行求解即可解答：解：由分段函数可知f（1）=1+1=2，f（f（1）=f（2）=4+2a，即4a=4+2a，2a=4，解得a=2故选C点评：本题主要考查分段函数求值问题，利用分段函数的取值范围，直接代入即可，比较基础5已知a0，且a1，则函数f（x）=ax+（x1）22a的零点个数为( )A1B2C3D与a有关考点：根的存在性及根的个数判断 专题
11、：函数的性质及应用分析：令g（x）=ax2a，h（x）=（x1）2，而x=1时：g（x）=ax2a=a0，h（x）=（x1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点解答：解：令f（x）=0，得：ax2a=（x1）2，令g（x）=ax2a，h（x）=（x1）2，x=1时：ax2a=a0，（x1）2=0，a1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点；0a1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点，故选：B点评：本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题6为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以
12、将函数y=cos3x的图象( )A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可解答：解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x=的图象向右平移个单位，得到y=的图象故选：A点评：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查7已知两个非零向量与，定义|=|sin，其中为与的夹角若=（3，4），=（0，2），则|的值为( )A8B6C6D8考点：平面向量的坐标运算
13、专题：新定义；平面向量及应用分析：根据给出的两向量、的坐标，求出对应的模，运用向量数量积公式求两向量夹角的余弦值，则正弦值可求，最后直接代入定义即可解答：解：由=（3，4），=（0，2），所以，cos=，因为0，所以sin=，所以=故选C点评：本题考查了平面向量的坐标运算，解答的关键是熟记两向量的数量积公式，是新定义中的基础题8数列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列，则a4=( )A4B8C10D14考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：根据题意先求出a1，a2，a3，再由等比中项的性质列出关于c的方程，求出c的值验证公比
14、不为1，从而求出a1，a2，a3，再由递推公式求出a4解答：解：由题意得，a1=2，an+1=an+cn，所以a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成公比不为1的等比数列，所以，即（2+c）2=2（2+3c），解得且a1，a2，a3成或c=0，当c=0时，且a1=a2=a3=2，则公比为1，故舍去，所以c=2，则且a1=2，a2=4，a3=8，a4=a3+23=14，故选：D点评：本题考查等比中项的性质应用，以及数列的递推公式，属于基础题9一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至前一次高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过的路程为 （结果精确到1米）( )A199米B2
15、00米C300米D100米考点：等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：设第n次球从最高点到着地点的距离是an，数列an是首项为100，公比为的等比数列，由于球弹起又落下，则球经过的路程是2S10100解答：解：设第n次球从最高点到着地点的距离是an，数列an是首项为100，公比为的等比数列，球弹起又落下，球经过的路程：S=2S10100=2100300（米）故选：C点评：本题考查等比数列的前n项和的计算，易错点是忽视球弹起又落下路程为二倍的情况，是基础题10已知函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象是( )ABCD考点：指数函数的图
16、像变换 专题：数形结合分析：由已知中函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象，我们易判断出a，b与0，1的关系，根据指数函数的图象的性质及指数函数图象的平移变换，我们分析四个答案中函数的图象，即可得到结论解答：解：由已知中函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象可得b10a1则函数g（x）=ax+b为减函数，即函数的图象从左到右是下降的且与Y轴的交点在X轴下方分析四个答案只有A符合故选A点评：本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据已知判断出a，b与0，1的关系，进而分析出函数图象的单调性及特殊点是解答本题的关键11若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的
17、最大值为( )A1B1CD2考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；数形结合分析：根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m1，由此可得结论解答：解：由题意，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示可得m1实数m的最大值为1故选B点评：本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题12函数，则下列说法中正确命题的个数是( )函数y=f（x）ln（x+1）有3个零点；若x0时，函数f（x）恒成立，则实数k的取值范围是，+）；函数f（x）的极大值中一定存在最小值；f（x）=2kf（x+2k），（kN），对
18、于一切x0，+）恒成立A1B2C3D4考点：命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断 专题：数形结合分析：分别画出y=f（x）和y=ln（x+1）的图象，找其交点个数；画出y=的图象，通过k的变化，观察双曲线的变化，找出在y=f（x）图象上方的k值；通过f（x）的图象得到；不完全归纳得到f（x）的解析式解答：解：先画出y=1|x2|（0x2）的图象C，由f（x）=f（x2）（x2）得：将C的图象向右平移2n（kN*）个单位，再将纵坐标缩小为（nN*）倍，再画出y=ln（x+1）的图象，发现有2个交点，故错；画出y=（x0）的图象，观察k的变化，根据题意和图象可得，当x=1
19、时，y=1，xy=1；当x=3时，y=，xy=；当x=5时，y=，xy=，因此当n+时，横纵坐标的乘积为，令f（n）=，则f（2）=0，因此当n=2取即x=3时得极大值因此当图象过点（3，）时，图象恒在y=f（x）的图象方，此时k=，所以实数k的取值范围是，+），故正确；由y=f（x）的图象可知，f（x）的极大值中不存在最小值0，故错；当k=0，0X2时，f（x）=20f（x）=1|X1|；当2x4时，f（x）=f（x2）；当4x6时，f（x）=f（x4），当2kx2k+2时，f（x）=f（x2k），即有f（x2k）=2kf（x），从而有f（x）=2kf（x+2k），（kN），对于一切x0，+
20、）恒成立，故正确故选：B点评：本题主要考查分段函数的图象和性质，以及函数的零点、恒成立问题，函数解析式求法，意在考查运用数形结合数学思想方法解决问题的能力，是一道中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13设为锐角，若cos（）=，则sin（）=考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的求值分析：根据题意求得sin（+）=，再根据sin（）=sin（+），再利用两角差的正弦公式计算求得结果解答：解：为锐角，cos（）=为正数，+是锐角，sin（+）=，sin（）=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=，故答案为：点评：
21、本题着重考查了两角和与差的正弦公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题14在边长为1的正三角形ABC中，设，则=考点：向量在几何中的应用 专题：计算题；数形结合；转化思想分析：根据，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值解答：解：，D为BC的中点，=）=，故答案为：点评：此题是个中档题，考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合的思想15已知a，b都为正实数，且，则的最大值为考点：二次函数的性质 专题：计算题分析：由已知可得a=，结合a0，b0可得b1，代入 =，利用二次函数的性质可求解
22、答：解：，ab=a+b即a=a0，b0b1则=则的最大值为故答案为：点评：本题主要考查了二次型函数值域的求解，解题中利用b表示a后要注意由a0，b0得到b1的范围不要漏掉16对于函数f（x）=2cosx（x0，）与函数有下列命题：函数f（x）的图象关于对称；函数g（x）有且只有一个零点；函数f（x）和函数g（x）图象上存在平行的切线；若函数f（x）在点P处的切线平行于函数g（x）在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为其中正确的命题是（将所有正确命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：综合题分析：对于，根据函数f（x）在对称轴处取得最值作出判断
23、即可；对于，函数的导函数，所以函数g（x）在定义域内为增函数，利用零点存在定理，可得函数g（x）在（e1， 1）上有且只有一个零点；因为f（x）=2sinx2，又因为，所以函数f（x）和函数g（x）图象上存在平行的切线；同时要使函数f（x）在点P处的切线平行于函数g（x）在点Q处的切线只有f（x）=g（x）=2，这时可求得故可得结论解答：解：对于，根据函数f（x）在对称轴处取得最值，可知错；对于，函数的导函数，所以函数g（x）在定义域内为增函数，函数g（x）在（e1，1）上有且只有一个零点，正确；因为f（x）=2sinx2，又因为，所以函数f（x）和函数g（x）图象上存在平行的切线，正确；同时
24、要使函数f（x）在点P处的切线平行于函数g（x）在点Q处的切线只有f（x）=g（x）=2，这时，所以，也正确所以正确的命题是故答案为：点评：本题以命题为载体，考查命题的真假，考查导数知识的运用，考查零点存在定理，知识综合性强三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=sin2xcos2x（xR）（1）求函数f（x）的最小值和最小值时x的集合；（2）设ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值 专题：三角函数的图像
25、与性质分析：（1）首先，化简函数解析式f（x）=sin（2x）1，然后，借助于三角函数的图象与性质求解最值即可；（2）根据f（C）=sin（2C）1=0，求解C=，然后，根据余弦定理和坐标运算求解解答：解：（1）f（x）=sin2xcos2x=sin2x=sin（2x）1，f（x）=sin（2x）1，函数f（x）的最小值为2，当且仅当x=k+，kZ，时取得，最小值时x的集合x|x=k+，kZ，（2）f（C）=sin（2C）1=0，sin（2C）=1，0C，2C，2C=，C=，与=（2，sinB）共线，=，=3，联立，解得a=1，b=2点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、三角函数的性质、平面向
26、量的坐标运算等知识，属于中档题18如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=（）求cosCAD的值；（）若cosBAD=，sinCBA=，求BC的长考点：解三角形的实际应用 专题：解三角形分析：（）利用余弦定理，利用已知条件求得cosCAD的值（）根据cosCAD，cosBAD的值分别，求得sinBAD和sinCAD，进而利用两角和公式求得sinBAC的值，最后利用正弦定理求得BC解答：解：（）cosCAD=（）cosBAD=，sinBAD=，cosCAD=，sinCAD=sinBAC=sin（BADCAD）=sinBADcosCADcosBADsinCAD=+=，由正弦定理知=
27、，BC=sinBAC=3点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用考查了学生对基础知识的综合运用19设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（）求角B的大小；（）若，试求的最小值考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理 专题：计算题分析：（1）根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式，得到关于三角形边和角的等式关系，根据正弦定理把变化为角，逆用两角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根据角的范围写出角（2）本题要求向量的数量积的最值，而这两个向量的夹角是上一问求出的B，在表示向量数量积时，只有两边之积是一个变量，因此要表示出两边之积，根据
28、余弦定理和基本不等式得到ac的范围，得到结果解答：解：（），（2a+c）accosB+cabcosC=0，即（2a+c）cosB+bcosC=0，则（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=02sinAcosB+sin（C+B）=0，即，B是三角形的一个内角，（），12=a2+c2+ac3ac，即ac4=，即的最小值为2点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量的数量积为条件，得到三角函数的关系式，在高考时可以以解答题形式出现，本题又牵扯到解三角形，是一个综合题20已知函数f（x）=alnx+bx2图象上点p（1，f（1）处的切线方程为2xy3=0（1）求函数y=f（x）的解
29、析式及单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）+m1n4在上恰有两个零点，求实数m的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数的运算法则可得f（x），由题意可得，解出即可得到函数y=f（x）的解析式；分别解出f（x）0，f（x）0，即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则可得g（x），列出表格，要满足条件，则g（x）max0，g（2）0即可解答：解：（1）f（x）=alnx+bx2，（x0），f（x）=+2bx，函数f（x）=alnx+bx2图象上点P（1，f（1）处的切线方程为2xy3=0，即，a=4，b=1，函数f（x
30、）的解析式为f（x）=4lnxx2则有f（x）=2x，令f（x）0，即2x0，解得：令f（x）0，即2x0，解得：函数f（x）的单调增区间是（0，）；单调减区间是（，+）（2）由（1）可知：g（x）=f（x）+mln4=4lnxx2+mln4（x4），=，令g（x）=0，解得x=或（舍）当x变化时，如下表：可得函数的大致图象：由图象可知：要使方程g（x）=0在上恰有两解，则，即，解得2m42ln2，实数m的取值范围是（2，42ln2点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义等是解题的关键21已知数列an是等差数列，a2=6，a5=18；数列bn的前n项和是Tn，且Tn+
31、bn=1（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列bn是等比数列；（3）记cn=anbn，求cn的前n项和Sn考点：等差数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和 专题：计算题；压轴题分析：（1）设an的公差为d，根据等差数列通项公式根据a2=6，a5=18可求得a1和d，进而可求得数列an的通项公式；（2）先看当n2时根据TnTn1=bn，可得bn与bn1的关系式整理的，进而可知为等比数列，最后验证n=1时，也成立原式得证（3）由（2）可求得数列bn的通项公式，进而可得cn的通项公式数列cn由等差数列和等比数列构成，进而可用错位将减法求和解答：解：（1）设an的公差为d，则：a2=a1+d
32、，a5=a1+4d，a2=6，a5=18，a1=2，d=4an=2+4（n1）=4n2（2）当n=1时，b1=T1，由，得当n2时，即bn是以为首项，为公比的等比数列（3）由（2）可知：=Sn=c1+c2+cn1+cn=点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和求和问题当出现由等比数列和等差数列构成的数列求和时，一般采用错位相减法22已知函数f（x）=+lnx在1，+）上为增函数，且（0，），（1）求的值；（2）若g（x）=f（x）+mx在1，+）上为单调函数，求实数m的取值范围；（3）若在1，e上至少存在一个x0，使得kx0f（x0）成立，求实数k的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；
33、利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）由已知得在1，+）上恒成立，从而由此能求出的值（2）由=，得mx2+x10，或mx2+x10在1，+）恒成立，由此能求出m的取值范围（3）构造F（x）=kx=kx，转化为：若在1，e上存在x1，使得F（x0）0，求实数k的取值范围，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出k的取值范围解答：解：（1）f（x）=+lnx，在1，+）上恒成立，即（0，），sin0故sinx10在1，+）上恒成立只须sin110，即sin1，又0sin1，只有sin=1，得（2）g（x）=f（x）+mx=，=，g（x）在其定义域内为单调函数，mx2+x10，或mx2+x10在1，+）恒成立m，或m在1，+）恒成立，m的取值范围是m，m0（3）构造F（x）=kx=kx，则转化为：若在1，e上存在x1，使得F（x0）0，求实数k的取值范围当k0时，x1，e，F（x）0在1，e恒成立，在1，e上不存在x0，使得kx0f（x0）成立当k0时，=，x（1，e），ex0，F（x）0在1，e）恒成立，故F（x）在1，e上单调递增，F（x）max=F（e）=ke3，只要ke30，解得k综上，k的取值范围是（）（14分）点评：本题考查角的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用
