1、易错点4 函数的图象一、单项选择题1. 形如y=bxcc0,b0的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数fx=ax2+x+1(a0且a1)有最小值，则当c=1,b=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为( )A. 1B. 2C. 4D. 62. 已知实数m是给定的常数，函数f(x)=mx3x22mx1的图象不可能是()A. B. C. D. 3. 记实数x1 ，x2 ，xn中的最大数为maxx1,x2,xn ，最小数为minx1,x2,xn ，则maxminx+1,x2x+1,x+6= ()A. 34B. 1C. 3D. 724. 中国传统文化中很多内容体
2、现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”给出下列命题：正弦函数y=sinx可以是无数个圆的“优美函数”；函数fx=2018x12018x+1+x2019可以是无数个圆的“优美函数”；函数fx=lnx2+x2+1可以是某个圆的“优美函数”；函数y=fx是“优美函数”的充要条件为函数y=fx的图象是中心对称图形.其中正确命题的序号是()A. B. C. D. 5. 定义在R上的函数f(x)同时满足：对任意的xR都有f(x+1)=f(x)；当x(1,2时
3、，f(x)=2x.若函数g(x)=f(x)logax(a1)恰有3个零点，则a的最大值是 ( )A. 5B. 2C. 3D. 46. 定义在R上的函数fx同时满足：对任意的xR都有fx+1=fx；当x1,2时，fx=2x.若函数gx=fxlogaxa1恰有3个零点，则a的最大值是( )A. 5B. 2C. 3D. 47. 已知函数fx与fx的图象如图所示，则不等式fxfx0x0时，方程f(x)=0，只有一个实数根C. y=f(x)的图象关于点(0,c)对称D. 方程f(x)=0，至多有两个实数根10. 设f(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y=f(x)的图象画在同一个直角坐标系中，
4、可能正确的是()A. B. C. D. 11. 如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)，与时间t(单位：月)的关系为y=ax，(a0且a1)，则下列说法正确的是( )浮萍每月的增长率为1第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2浮萍每月增加的面积都相等若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2=t3A. B. C. D. 12. 已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数f(x)的图象的是( )A. B. C. D. 三、填空题13. 设函数，若函数fx恰有3个零点，则实数m的取值范围为_14. x表示不超过x的最大整数，例
5、如2.9=2，4.1=5，已知f(x)=xx(xR)，g(x)=log4(x1)，则函数(x)=f(x)g(x)的零点个数是_15. 已知函数f(x)=(2x+1)ex+1+ax(aR,e是自然对数的底数).若有且仅有3个负整数x1，x2，x3，使得f(x1)0，f(x2)0，f(x3)0，则a的最小值是_16. 对于函数y=lgx3和y=sinx2(4x10)，下列说法正确的是_(1)函数y=lgx3的图象关于直线x=3对称；(2)y=sinx2(4x10)的图象关于直线x=3对称；(3)两函数的图象一共有10个交点；(4)两函数图象的所有交点的横坐标之和等于30；(5)两函数图象的所有交点
6、的横坐标之和等于24四、解答题17. 设函数，其中03，已知f(6)=0()求；()将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在4,34上的最小值18. 已知函数f(x)=sinx2，将函数y=f(x)的图象上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图象上每个点的横坐标缩短到原来的12，然后向左平移6个单位，再向上平移32个单位，得到y=g(x)的图象(1)当x0,2时，求g(x)的值域；(2)已知锐角ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(A)=34，a=4，b+c=5，求ABC的面积1
7、9. 已知，将函数f(x)的图象向左平移12个单位得到函数y=g(x)的图象(1)求函数g(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)当x4,4时，求函数g(x)的取值范围20. 已知函数f(x)=psin2xqcos2x(其中p，q是实数)的部分图象如图所示 (1)求函数f(x)=Asin(x+)形式的解析式及其最小正周期；(2)将函数y=f(x)的图象向左平移m(0m1,x2,00)，若存在唯一的x，使得(x)=minf(x),g(x)的最小值为(x)，则实数a的取值范围为_(4)已知ABC中，3sin2B+7sin2C=2sinAsinBsinC+2sin2A，则sin(A+4)=_一、单项
8、选择题1. 形如y=bxcc0,b0的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数fx=ax2+x+1(a0且a1)有最小值，则当c=1,b=1时的“囧函数”与函的图象交点个数为( )A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】函数fx=ax2+x+1a0,a1有最小值，a1，当c=1,b=1时，y=bxc=1x1，画出函数y=1x1与y=logax的图象在同一坐标系数内的图象：结合图形，得到交点个数有4个故选C2. 已知实数m是给定的常数，函数f(x)=mx3x22mx1的图象不可能是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】当m=0时，C符合题意
9、；当m0时，f(x)=3mx22x2m，=4+24m20，设3mx22x2m=0的两根为x1，x2，则x1x2=230时是单调递增的，大致图象如图1，故其不可能为圆的“优美函数”；不正确；函数y=f(x)的图象是中心对称图形，则y=f(x)是“优美函数”，但函数y=f(x)是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2，故错误故选B5. 定义在R上的函数f(x)同时满足：对任意的xR都有f(x+1)=f(x)；当x(1,2时，f(x)=2x.若函数g(x)=f(x)logax(a1)恰有3个零点，则a的最大值是 ( )A. 5B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】画出函数y=f(x)的
10、图象，如下图所示若函数g(x)=f(x)logax(a1)恰有3个零点，则函数y=logax的图象与函数y=f(x)的图象有3个交点则需满足loga21loga31，解得21恰有3个零点，则a的最大值是( )A. 5B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】由题意得方程有三个解，所以函数y=f(x)和的图象有三个交点，因为对任意的xR都有f(x+1)=f(x)，所以函数y=f(x)是周期为1的函数，又当x(1,2时，f(x)=2x，画出函数y=f(x)的图象，如下图所示结合图象可得，要使两函数的图象有三个交点，则需满足loga21loga31，解得2fx0xfx0x0时，方程f(x)=0，只有
11、一个实数根C. y=f(x)的图象关于点(0,c)对称D. 方程f(x)=0，至多有两个实数根【答案】ABC【解析】对A:当c=0时，f(x)=x|x|+bx，xR，f(x)=f(x)恒成立，故A正确对B:b=0,c0时，得f(x)=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，故方程fx=0，只有一个实数根，故B正确对C:因为f(x)=x|x|bx+c，所以f(x)+f(x)=2c，可得函数f(x)的图象关于点(0,c)对称，故C正确对D:当b0时，函数f(x)的大致图像如下图.此时方程fx=0有3个实根，且为根最多的情况，故D错误故选ABC10. 设f(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(
12、x)和y=f(x)的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是()A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】A.若fx是二次函数图象，则递增时，递减时，图形符合，B.若f,(x)是与x轴无交点的曲线的图象，根据图象恒成立，则f(x)单调递增，图形符合，C.若fx是下面的图象，呈单调递增，则，图形符合，D.若fx是上面的图象，左递增，则，图形不符合，若fx是下面的图象，中间递减，则，图形不符合，故选ABC11. 如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)，与时间t(单位：月)的关系为y=ax，(a0且a1)，则下列说法正确的是( )浮萍每月的增长率为1第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2浮萍每
13、月增加的面积都相等若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2=t3A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】由题意可知：浮萍蔓延的面积(m2)与时间(月)的关系：y=ax(a0且a1)，且由函数图象可知函数过点(1,2)，a1=2，a=2，这个指数函数的底数是2，可知浮萍每月的增长率为1，正确；函数的解析式为：y=2x，对于，当x=5时，y=25=3230，故第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2，成立；对于，浮萍一月增加的面积与浮萍二月增加的面积不相等，C错误；对于，由于：2=2t1，3=2t2，6=2t3，t1=1，t2=log23，t3=log
14、26，又因为1+log23=log22+log23=log223=log26，若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2=t3成立正确为：故选：A、B、D12. 已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数f(x)的图象的是( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】由导函数图象可知，函数f(x)在(,0)，(2,+)上递增，在(0,2)上递减，由选项可知，只有选项A符合题意，选项B，C，D均不合题意故选BCD三、填空题13. 设函数，若函数fx恰有3个零点，则实数m的取值范围为_【答案】(1,2【解析】由题意，设函
15、数令f(x)=0，即g(x)=m，所以问题转化为y=g(x)，y=m有3个交点，在坐标系内，作出函数g(x)的图象如下所示：结合图象可知：1m2，故实数m的取值范围为(1,2故答案为(1,214. x表示不超过x的最大整数，例如2.9=2，4.1=5，已知f(x)=xx(xR)，g(x)=log4(x1)，则函数(x)=f(x)g(x)的零点个数是_【答案】2【解析】当0x1时，x=0，则f(x)=xx=x，当1x2时，x=1，则f(x)=xx=x1，当2x3时，x=2，则f(x)=xx=x2，当3x4时，x=3，则f(x)=xx=x3，当4x5时，x=4，则f(x)=xx=x4，当5x6时，
16、x=5，则f(x)=xx=x5，此时f(x)0,1)，即当nxn+1，n1且n为整数时，x=n，则f(x)=xx=xn0,1)，由(x)=f(x)g(x)=0得f(x)=g(x)，分别作出函数f(x)和g(x)的图象如图：则两个函数图象有2个交点，故函数零点的个数为2个，故答案为215. 已知函数f(x)=(2x+1)ex+1+ax(aR,e是自然对数的底数).若有且仅有3个负整数x1，x2，x3，使得f(x1)0，f(x2)0，f(x3)0，则a的最小值是_【答案】53e2【解析】由f(x)0可得(2x+1)ex+1ax令g(x)=(2x+1)ex+1，(x)=ax，则g(x)=(2x+3)
17、ex+1，当x32，g(x)32，g(x)0，故x=32是极小值点，且g(12)=0，故g(x)的图象如图所示显然，当a0时满足f(x)0的负整数x有无数个，因此a(4)即5e23a7e34a，解得53e2a74e3，则a的最小值是53e2，故答案为53e216. 对于函数y=lgx3和y=sinx2(4x10)，下列说法正确的是_(1)函数y=lgx3的图象关于直线x=3对称；(2)y=sinx2(4x10)的图象关于直线x=3对称；(3)两函数的图象一共有10个交点；(4)两函数图象的所有交点的横坐标之和等于30；(5)两函数图象的所有交点的横坐标之和等于24【答案】(2)(3)(4)【解
18、析】在同一坐标系中画出函数y=lg|x3|和y=sinx2(4x10)的图象如下图所示：由图可知：函数y=lg|x3|的图象关于直线x=3对称，故(1)错误；当x=3时，y=sinx2取最小值1，即直线x=3为函数y=sinx2的一条对称轴，又由定义域关于x=3对称，故(2)正确；两函数的图象一共有10个交点，故(3)正确；由图知，两曲线的10个交点关于直线x=3对称，即这些交点的平均数为3，故所有交点的横坐标之和等于30，故(4)正确，(5)错误，故正确的命题有(2)(3)(4)故答案为(2)(3)(4)四、解答题17. 设函数，其中03，已知f(6)=0()求；()将函数y=f(x)的图象
19、上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在4,34上的最小值【答案】解：()函数f(x)=sin(x66)+sin(x2)=sinxcos6cosxsin6sin(2x)=32sinx32cosx=3sin(x3)，又f(6)=3sin(63)=0，63=k，kZ，解得=6k+2，又03，=2;()由()知，f(x)=3sin(2x3)，将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin(x3)的图象；再将得到的图象向左平移4个单位，得到ly=3sin(x+43)的图象，函数g(
20、x)=3sin(x12);当x4,34时，x123,23，sin(x12)32,1，当x=4时，g(x)取得最小值是323=3218. 已知函数f(x)=sinx2，将函数y=f(x)的图象上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图象上每个点的横坐标缩短到原来的12，然后向左平移6个单位，再向上平移32个单位，得到y=g(x)的图象(1)当x0,2时，求g(x)的值域；(2)已知锐角ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(A)=34，a=4，b+c=5，求ABC的面积【答案】解：(1)f(x)=sinx2，将函数y=f(x)的图象上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得f(x)=sinx
21、，再将图象上每个点的横坐标缩短到原来的12，得到f(x)=sin2x，然后向左平移6个单位，得到f(x)=sin2x+3，再向上平移32个单位，得到g(x)=sin2x+3+32；当x0,2，2x+33,43，则，sin2x+332,1所以g(x)=sin2x+3+320,1+32(2)f(A)=sinA2=34A=3或23(由题意三角形为锐角三角形，故舍去23)，SABC=12bcsinA，cosA=b2+c2a22bc=b+c22bca22bc，又a=4，b+c=5，代入得bc=3，则SABC=33419. 已知，将函数f(x)的图象向左平移12个单位得到函数y=g(x)的图象(1)求函数
22、g(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)当x4,4时，求函数g(x)的取值范围【答案】解：(1)由题意得，32=cosxsinx3cos2x+32=12sin2x32cos2x =sin(2x3)，所以g(x)=sin(2x6)，函数g(x)的最小正周期为T=22=，要求g(x)的单调递减区间，只需2k+22x62k+32，kZ，解得k+3xk+56，kZ，所以g(x)的单调递减区间为k+3,k+56，kZ；(2)由(1)得g(x)=sin(2x6)，因为4x4，所以232x63，此时sin(2x6)1,32，所以g(x)在区间4,4上的取值范围在区间为1,32.20. 已知函数f(x)=p
23、sin2xqcos2x(其中p，q是实数)的部分图象如图所示 (1)求函数f(x)=Asin(x+)形式的解析式及其最小正周期；(2)将函数y=f(x)的图象向左平移m(0m)个单位长度后，得到函数y=g(x)的图象，已知点P(0,5)，若函数y=g(x)的图象上存在点Q，使得PQ=3，求函数y=g(x)在区间6,23内的单调增区间和最值【答案】解：(1)f(x)=psin2xqcos2x，则由图象得psin6qcos6=3,psin43qcos43=2,解得p=3,q=1,故f(x)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+6)，故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+6)，最小
24、正周期T=(2)由(1)可知g(x)=f(x+m)=2sin(2x+2m+6).于是当且仅当Q(0,2)在y=g(x)的图象上时满足条件g(0)=2sin(2m+6)=2由0m1,x2,00)，若存在唯一的x，使得(x)=minf(x),g(x)的最小值为(x)，则实数a的取值范围为_(4)已知ABC中，3sin2B+7sin2C=2sinAsinBsinC+2sin2A，则sin(A+4)=_【答案】(1)23 (2)16n(n+1)(2n+1)(3)a0=a24a0或a=0，所以a0,4),故所求概率为46=23故答案为23(2)观察规律，可令a=1，b=n，则有12+22+n2=16n(
25、n+1)(2n+1)故答案为16n(n+1)(2n+1)(3)根据函数的性质，画出函数f(x)，g(x)的图象，(x)=minf(x),g(x)的最小值为(x)应为(1)=g(1)=a+2，所以a+20，即a2故答案为a2(4)设A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为3sin2B+7sin2C=2sinAsinBsinC+2sin2A，由正弦定理得3b2+7c2=2bcsinA+2a2，由余弦定理，cosA=b2+c2a22bc，故sinA=2cosA+12(bc+5cb)，故sinA2cosA=5sin(A)=12(bc+5cb)5，当且仅当b=5c时，取等号，而5sin(A)5，故sinA2cosA=5，又sin2A+cos2A=1，解得sinA=55，cosA=255，故sin(A+4)=sinAcos4+cosAsin4=1010故答案为1010
