1、专题26 圆锥曲线巧设直线必刷100题方法提示:在圆锥曲线联立与设线的问题当中,设直线的方法比较多.常见有几下几种类型:当题干中直接或者隐含直线过定点时,可设点斜式局限性:局限性:不能表示垂直于轴的直线,需要单独讨论.当题干中含有过轴上一定点时,或者在解题步骤中需要或,需要消掉,保留时,设会简化解题步骤和计算量.局限性:不能表示垂直于轴的直线,需要单独讨论.,当题干中含有过轴上一定点时,或者在解题步骤中需要或,需要消掉,保留时,设会简化解题步骤和计算量.局限性: 不能表示平行于轴的直线,需要单独讨论.一、单选题1已知直线与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则
2、的值为（ ）A4B2C1D2已知弦经过抛物线的焦点，设，则下列说法中错误的是（ ）A当与轴垂直时，最小BC以弦为直径的圆与直线相离D3过点的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则（ ）ABCD4若直线ykx+2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）A， B C D5已知过抛物线C：y24x的焦点F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）A5B6C7D86已知抛物线y24x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为（）A2BCD17已知直线与抛物线交于两
3、点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是（ ）ABCD8平面直角坐标系中，已知直线l与抛物线交于A、B两点，、的斜率分别为和，满足，F是抛物线的焦点，则的面积的最小值为（ ）ABCD9已知抛物线，和分别为抛物线上的两个动点，若（为坐标原点），弦恒过定点，则抛物线方程为（ ）ABCD10已知点F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则（ ）A9BCD11已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于AB两点，若AB的中点为，则线段AB的长为（ ）AB4C5D4或512已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（ ）
4、ABCD13已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（ ）ABCD14椭圆上到直线距离最近的点的坐标是（ ）A B C D15过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，且的面积为，则抛物线C的标准方程为（ ）ABCD16已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（ ）ABCD917设F为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆C交于两点，设直线的斜率分别为，则为（ ）A1B-1C4D-418设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）则直线过
5、定点（ ）ABCD19过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）ABCD20已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF面积的最大值为（ ）A6B15C20D1221过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D22若过点的直线与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线的共有（ ）A一条B两条C三条D四条23如图，在抛物线的准线上任取一点（异于准线与x轴的交点），连接并延长交抛物线于点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则直线与轴的交点坐标为（ ）A与点位置有关 B C D24已知抛物线C：y28ax(a0)的焦点F与双曲线D：的一个焦点重合，
6、过点F的直线与抛物线C交于点A，B，则|AF|2|BF|的最小值为（ ）A34B6+4C7D1025已知为坐标原点，、分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于、的动点，直线、分别与轴交于点、.则（ ）ABCD26已知点为抛物线的焦点，过点的直线线交抛物线于两点，且，则（ ）ABCD27已知椭圆：上有一动点（异于顶点），点分别在轴上，使得为的中点，若轴上一点，满足，则的最小值为（ ）A3BCD528已知椭圆，P为E的长轴上任意一点，过点P作斜率为的直线l与E交于M，N两点，则的值为（ ）A4B5C6D729已知直线过抛物线（）的焦点，与抛物线交于，两点.若直线的斜率为，以为直径的圆与轴交于，则（
7、）ABCD30已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，则的最小值为（ ）AB2C3D31已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，并与抛物线交于，两点，且，则的值为（ ）A1B2C3D432两个长轴在轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆若，分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线，切点分别为，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）ABCD33过点（1，2）且与双曲线没有交点的直线l斜率的取值范围是（）A（2，+）B2，+）C2，2D2，+）34已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（ ）A2B4C5D635已知F是抛物线C：
8、的焦点，O为坐标原点，过F的直线交C于A，B两点，则三角形OAB面积的最小值为（ ）ABCD236已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）ABCD37对正整数，设抛物线，过点任作直线交抛物线于，两点，则数列的前项和公式是（ ）ABCD38已知，是椭圆：的两个焦点，左顶点为A，过点的直线交椭圆于，两点，若则（ ）ABCD39设A，B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点，设过P的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的右支于S，T两点，且=2，则BST的面积为（ ）A B C D40已知斜率不为0
9、的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，轴上的点满足，则的取值范围为（ ）A，B，C，D，第II卷（非选择题）二、填空题41已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线在第一象限内交于点，为坐标原点.若，则的面积为_.42已知直线l分别切抛物线（）和圆于点A，B（A，B不重合），点F为抛物线的焦点，当取得最小值时，_.43抛物线C：y2=4，直线绕旋转，若直线与抛物线C有两个交点则直线的斜率k的取值范围是_44已知点在椭圆：（）上，左顶点为，点，分别为椭圆的左、右焦点，的最大值和最小值分别为4和直线点，且与平行，过，两点作的垂线，垂足分别为，当矩形的面积为时，则直线的斜率是_45已知斜率为1的直线l经
10、过椭圆的一个焦点，与椭圆交于A，B两点.直线l1，l2分别过点A，B，且与x轴平行，在直线l1，l2上分别取点M，N（M，N分别在点A，B的右侧），分别作ABN和BAM的角平分线相交于点P，则PAB的面积为_.46已知抛物线C：y24x的焦点为F，M为C上的动点，直线MF与C的另一交点为A，M关于点P（12，4）的对称点为B，当|MA|+|AB|的值最小时，直线AM的方程为 _47已知点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的倾斜角为_48点分别为椭圆的左右顶点，直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，则的最小值为_49已知椭圆，一组平行直线的斜率为，经计算当这些平行线与椭圆相
11、交时，被椭圆截得的线段的中点在定直线l上，则直线l的方程为_.50已知直线与抛物线交于，两点.且线段的中点在直线上，若（为坐标原点），则的面积为_51已知直线与抛物线交于，两点.且线段的中点在直线上，若（为坐标原点），则的面积为_52已知抛物线C：y24x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若线段AF，BF的中点在y轴上的射影分别为P，Q，且PQ4，则直线l的方程为_53已知抛物线C： 的焦点为F，过点F斜率为k的直线l与C交于M， N两点，若O为坐标原点，OMN的重心为点G，则k=_.54如图，过点作直线、与抛物线相交，其中与交于、两点，与交于、两点，直线过E的焦点F，若、的斜率为，
12、满足，则实数的值为_55已知点P为直线l：x2上任意一点，过点P作抛物线y22px(p0)的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x2为定值，则该定值为_56已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线与交于，两点，在的准线上的投影分别为，两点，则_.57已知椭圆，过椭圆在第二象限上的任意一点作椭圆的切线与轴相交于 点，是坐标原点，过点作，垂足为，则的取值范围是 _58已知椭圆C：1，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为_59抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与交于，两点，的准线与轴的交点为，若的面积为，则_.60已知斜率
13、不为0的直线过椭圆：的左焦点且交椭圆于两点，轴上的点满足，则的取值范围是_.三、解答题61己知抛物线C： y2=2px (p0)，过抛物线的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于不同的两点A，B, 且（1）求抛物线C的方程；（2）若不经过坐标原点O的直线与抛物线C相交于不同的两点M，N, 且满足.证明直线过x轴上一定点Q，并求出点Q的坐标.62设抛物线的焦点为，过焦点作直线交抛物线于，两点.（1）若，求直线的方程；（2）若点的坐标为，直线，分别与抛物线的准线相交于，两点，求证：.63设抛物线的焦点为，过焦点作直线交抛物线于，两点（1）若，求直线的方程；（2）设为抛物线上异于，的任意一点，直线，分别
14、与抛物线的准线相交于，两点，求证：以线段为直径的圆经过轴上的定点64在平面直角坐标系中，点，点，点P是平面内一动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过点的直线l与C交于A，B两点，则在x轴上是否存在定点D，使得的值为定值？若存在，求出点D的坐标和该定值；若不存在，请说明理由65已知抛物线， 点是抛物线上的点（1）求抛物线的方程及的值；（2）直线与抛物线交于 两点，且，求的最小值并证明直线过定点66已知是抛物线（）的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，若.（1）求抛物线的标准方程；（2）动直线垂直于线段，且与抛物线交于，两点
15、，当四边形面积为时，求直线的方程.67椭圆的两个焦点坐标分别为F1(，0)和F2(，0)，且椭圆过点.（1）求椭圆方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由.68已知椭圆和抛物线，点F为的右焦点，点H为的焦点（1）过点F作的切线，切点为P，求抛物线的方程；（2）过点H的直线l交于P，Q两点，点M满足，（O为坐标原点），且点M在线段上，记的面积为的面积为，求的取值范围69已知椭圆的方程为：（），离心率为，椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点作不平行于轴的直线交椭圆于、两点，点关于轴对称
16、点为，求证：直线过定点70已知双曲线的两个焦点分别为，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若轨迹上存在两点，满足（，分别为直线，的斜率），求直线的斜率的取值范围.71已知椭圆：的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为且，求直线的倾斜角.72设分别是平面直角坐标系中轴正方向上的单位向量，若向量，且，其中.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线与轨迹交于，两点，设，是否存在直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.73已知抛物线上的一点到焦点的距离等于3.（1）求抛物线的方程；
17、（2）若过点的直线与抛物线相交于，两点，.求直线的斜率.74已知点皆为曲线C上点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为.（1）求曲线C的方程；（2）若曲线的右焦点为，过的直线与曲线交于，求证：直线与直线斜率之和为定值.75已知椭圆C：，且椭圆C右焦点为，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线l交椭圆C于A，B两点，若，求直线l的方程.76已知点皆为曲线C上点，P为曲线C上异于M，N的任意一点，且满足直线PM的斜率与直线PN的斜率之积为.（1）求曲线C的方程；（2）若曲线上点，经过曲线C右焦点的直线与曲线C交于，（异于）两点，与直线交于点，设，
18、的斜率分别为，求证：.77已知双曲线的离心率为2，且过点.（1）求C的方程；（2）若斜率为的直线l与C交于P，Q两点，且与x轴交于点M，若Q为PM的中点，求l的方程.78已知椭圆的长轴长是，以其短轴为直径的圆过椭圆的焦点（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是，求的最小值；79已知抛物线C：的焦点到其准线的距离为2，（1）求抛物线C的标准方程；（2）直线l过点与抛物线交于不同的两点A，B点A关于y轴的对称点为，连接求证：直线过y轴上一定点，并求出此定点坐标80已知椭圆的左右顶点分别为A，
19、B，右焦点为F，直线.（1）若椭圆W的左顶点A关于直线的对称点在直线上，求m的值；（2）过F的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合），直线与直线相交于点M，求证：A，D，M三点共线.81已知抛物线：上有一点.（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；（2）过点的直线交抛物线C于A，B两点，为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别为，求证：为定值.82已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点（1）证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；（2）设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点B？若存在，求出的值；
20、若不存在，请说明理由83已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心过点的直线交抛物线与圆分别为，（从上到下）（1）求抛物线方程并证明是定值；（2）若，的面积比是，求直线的方程84如图，已知椭圆C：，点，为其左右焦点，过点作直线与椭圆C交于A、B两点，点M为线段AB的中点. （1）若直线的斜率为2，求直线OM的斜率；（2）若，求的面积.85已知椭圆经过点，且椭圆E的离心率（1）求椭圆E的标准方程：（2）当直线l（斜率不为0）经过点F，且与椭圆E交于A、B两点时，问x轴上是否存在定点P，使得x轴平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由86若抛物线的交点为F，过F作直线l与抛物线交于A，B两点，分别
21、以线段AF，BF为直径作圆和圆.（1）证明：圆和圆均与y轴相切；（2）设圆与y轴相切于点D，圆与y相切于点E，求的值，并求面积的最小值.87已知椭圆：的离心率为，且点为椭圆上一点.（1）求椭圆的方程.（2）已知，直线：交椭圆于A，B两点，证明：直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.88已知抛物线C：，直线l过抛物线焦点F，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点M的纵坐标为1.（1）求直线l的方程；（2）求（O为坐标原点）的面积.89有一种画椭圆的工具如图1所示，定点O是滑槽AB的中点，短杆OP绕O转动，长杆PQ通过P处铰链与OP连接，PQ上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，当栓子D在滑槽AB内作往
22、复运动时，带动P绕O转动一周（D不动时，P也不动），Q处的笔尖画出的曲线记为C以O为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系（1）求曲线C的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，过点的动直线l与曲线C交于E、F两点，是否存在异于点M的定点N，使得MN平分？若存在，求点N坐标；若不存在，说明理由90已知椭圆：的右焦点和上顶点在直线上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值.91如图，椭圆：的离心率为，分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于点，是椭圆上不与，重合的动点，是坐标原点（1）若是的外心，求的值；（2）若是的重心，求的取值范围92已知
23、的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作ME垂直于直线m于点E（1）求椭圆C的标准方程；（2）（i）求证：线段EN必过定点，并求的值（ii）点O为坐标原点，求OEN面积的最大值93在直角坐标系中，椭圆（）的左右焦点分别为和，若为椭圆上动点，直线与椭圆交于另一点，若三角形的周长为为，且点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线、与直线分别交于点、，记直线和直线的斜率分别为和，若，试求直线的斜率94如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分过对称轴的截口BAC是椭圆的一部
24、分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线、的夹角相等已知，垂足为，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系（1）求截口BAC所在椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点是否存在m，使得P到和P到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；若的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线、的斜率分别为，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由95已知抛物线，直线经过点，并与抛物线交
25、于，两点（1）证明：在轴上存在一个定点，使得；（2）若直线，分别交轴于，两点，设的面积为，的面积为，求的最小值96已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点.（1）求抛物线的方程；（2）求的值；（3）如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，求的取值范围.97已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过点作斜率为的直线与相交于，且以为直径的圆过点，其中为坐标原点.（1）求椭圆的离心率；（2）若，过点作与直线平行的直线，与椭圆相交于，两点.求的值；点满足，直线与椭圆的另一个交点为，求的值.98已知抛物线，过点作直线，满足与抛物线恰有一个公共点，交抛物线于两点.（1）若，求直线的方程；（2）若直线与抛物线和相切于点，且的斜率之和为0，直线分别交轴于点，求线段长度的最大值.99已知是抛物线的焦点，点是抛物线上横坐标为2的点，且（1）求抛物线的方程；（2）设直线交抛物线于两点，若，且弦的中点在圆上，求实数的取值范围100已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点.（1）证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；（2）设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点.问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点A？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
