1、 外接球垂面模型一、知识要点：公式：方法：第一步：分别取两垂面的外心、的外心和其交线的中点,球心，垂径定理得第二步：算出、的外接圆半径，由于垂面易得是个矩形得第三步：勾股定理：二、例题精讲：例1、在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为_例2、在三棱锥中，平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的表面积为ABCD例3、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，平面平面，则球的体积为ABCD例4、矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为 三、习题精
2、练：1、如图，正方形与正方形所在的平面互相垂直，点，在同一个球面上，则该球的体积是ABCD2、已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，则三棱锥外接球的体积为（ ）ABCD3、已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为4、在三棱锥中，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为5、在菱形中，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为6、在三棱锥中，平面平面，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为ABCD7、如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，则四棱锥的外接球的表面积为ABCD8、如图，在
3、直角梯形中，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为_；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为_. 外接球垂面模型一、知识要点：公式：方法：第一步：分别取两垂面的外心、的外心和其交线的中点,球心，垂径定理得第二步：算出、的外接圆半径，由于垂面易得是个矩形得第三步：勾股定理：二、例题精讲：例1、在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为_【答案】【解析】取的中点，连，如图：依题意可知，因为平面CDEF与平面ABF
4、E所成的二面角为直二面角，即平面CDEF平面ABFE，所以平面，所以，因为，且，所以平面，所以，因为为的中点，所以，所以为四面体CEGF的外接球的球心，其半径为，所以其表面积为故答案为：例2、在三棱锥中，平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的表面积为ABCD【解答】解：解法一：三棱锥中，若球是三棱锥的外接球，如图所示：在平面中，过点作于点，由于平面平面，故平面，所以，由于故平面，所以由于，故，所以，进一步求出，设的中心为，设，利用，解得，所以该三角形的中心在三角形的外部，即，由于三角形为直角三角形，点为的中点，所以，过点作平面，所以，即外接球的半径为，故故选：方法二：由于平面平面可直接用公式：
5、由于,，所以面的外接圆半径由勾股定理可求出，所以是的等腰三角形，所以面的外接圆半径；两垂面的交线 ；带入公式得：故故选：例3、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，平面平面，则球的体积为ABCD【解答】解：因为，可知，又，所以，故，取的中点，则，又平面平面，且平面平面，所以平面，设的外接圆的圆心为，则在的延长线上，因为，所以，所以，设为的外接圆的圆心，则为的中点，连结，由球的性质可知，平面，所以，同理可得，所以四边形为正方形，所以球的半径为，所以，则球的体积为故选：例4、矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为 【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线上，
6、且其半径为长度的一半，则故答案为：三、习题精练：1、如图，正方形与正方形所在的平面互相垂直，点，在同一个球面上，则该球的体积是ABCD【解答】解：如图，连接，交与，则，连接、，设，则，连接，则，平面平面，平面平面，平面，则，即为点，所在球的球心，半径所求球的体积是故选：2、已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，则三棱锥外接球的体积为（ ）ABCD【答案】D【分析】由为直角三角形，可知中点为外接圆的圆心，又平面平面，所以球心在过与平面垂直的直线上，且球心为的外心.利用正余弦定理求出外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.【详解】解：取中点，过点做直线垂直，因为为直角三角形，所
7、以点为外接圆的圆心，又平面平面，所以平面，根据球的性质，球心一定在垂线上，且球心为的外心.在中，所以，则外接圆的半径为即外接球的半径为，所以体积为.故选：D3、已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为【解析】因为为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内，根据球的性质，球心一定在垂线，球心一定在面内，即球心也是外接圆的圆心，在中，由余弦定理得，由正弦定理得：，解得，三棱锥外接球的表面积为，故答案为：4、在三棱锥中，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为【解析】如图，设的外接圆的圆心为连接，连接由题意可得，且，因为平面平面，且，所以平面，
8、且设为三棱锥外接球的球心，连接，过作，垂足为，则外接球的半径满足，即，解得，从而，故三棱锥外接球的表面积为故答案为：5、在菱形中，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为【解析】取的中点，连接，在等边三角形中，在等边三角形中，由平面平面，平面平面，可得平面，即有，为等腰直角三角形，设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，底面的中心为，面的外心为，则，在直角三角形中，而，解得，则，解得，故答案为：6、在三棱锥中，平面平面，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为ABCD【解析】如图，过点 作 于， 为 的中点，设 的外心是，半径是，连接，由正
9、弦定理得，则， 为 的中点，所以，因为平面平面， 于，平面平面，则平面，所以直线 与平面 所成的角是，则，即，因为，所以，则，故，设三棱锥 外接球球心是，连接，过 作 于，则平面，于是，从而 是矩形，所以外接球半径 满足，解得所以外接球的表面积为故选：7、如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，则四棱锥的外接球的表面积为ABCD【解析】取的中点，连接，中，设的中心为，球心为，则，设到平面的距离为，则，四棱锥的外接球的表面积为故选：8、如图，在直角梯形中，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为_；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为_.【答案】 ； .【解析】在直角梯形中，可得，即，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，取中点E，中点F，连接，则，平面平面，且平面平面，平面，以E为坐标原点，分别以所在直线为xyz轴建立空间直角坐标系，则，设异面直线与所成角为，则 ，即异面直线与所成角的余弦值为；显然，又，所以点是三棱锥外接球的球心，且球半径.由，解得.故答案为： ； .
