1、第6讲指数与指数函数最新考纲考向预测1.了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型.命题趋势在指数函数中，比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点，题型一般为选择、填空题，中档难度.核心素养数学运算、直观想象1根式(1)根式的概念一般地，如果一个实数x满足xna(n1，nN*)，那么称x为a的n次实数方根式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()
2、na(nN*，且n1)2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；ars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yax(a0且a1)a10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1在R上是增函数在R上是减函数常用结论指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象(2)
3、函数yax与y(a0，且a1)的图象关于y轴对称(3)指数函数yax与ybx的图象特征：在第一象限内，图象越高，底数越大；在第二象限内，图象越高，底数越小常见误区解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a1及0a1)的值域是(0，)()(5)函数y2x1是指数函数()(6)若am0，且a1)，则mn.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2化简(x0，y0)得()A2x2yB2xyC4x2yD2x2y解析：选D.因为x0，y0时，函数f(x)(3a2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是()A.B(，1)C(1，)D.解析：选C.根据指数函数性质知3a21，解得a1.故选C.
4、4(易错题)若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点P，则f(1)_解析：由题意知a2，所以a，所以f(x)，所以f(1).答案：5(易错题)已知函数f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值比最小值大，则实数a的值为_解析：当0a1时，a2a，所以a或a0(舍去)综上所述，a或a.答案：或指数幂的化简与求值题组练透1若实数a0，则下列等式成立的是()A(2)24B2a3C(2)01D(a)4解析：选D.对于A，(2)2，故A错误；对于B，2a3，故B错误；对于C，(2)01，故C错误；对于D，(a)4.2计算：(0.002)_解析：原式1010.答案：103已知f(x)2x2x，若f
5、(a)3，则f(2a)_解析：由f(a)3得2a2a3，所以(2a2a)29，即22a22a29.所以22a22a7，故f(2a)22a22a7.答案：74化简下列各式：(1)(0.064)2.5 0；(2)ab2(3ab1)(4ab3).解：(1)原式11110.(2)原式ab3(4ab3)ab3(ab)ab.提醒运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一 指数函数的图象及应用 (1)已知y1，y23x，y310x，y410x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为()(2)若函数y|3x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围为_【解析】(1)y23x与y
6、410x在R上单调递增；y1与y310x在R上单调递减，在第一象限内作直线x1(图略)，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.(2)函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示由图象知，其在(，0上单调递减，所以k的取值范围为(，0【答案】(1)A(2)(，0【引申探究】1(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)|3x1|k有一个零点，则k的取值范围为_解析：函数f(x)有一个零点，即y|3x1|与yk有一个交点由本例(2)得y|3x1|的图象如图所示，故当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的
7、图象有惟一的交点，所以函数f(x)有一个零点答案：01，)2(变条件)若本例(2)的条件变为：若函数y|3x1|m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是_解析：作出函数y|3x1|m的图象如图所示由图象知m1，即m(，1答案：(，1指数函数图象问题的求解策略变换作图对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解数形结合一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 1(2020南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数
8、，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0解析：选D.由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以bbcBacbCbcaDcba【解析】方法一：由指数函数y0.3x在定义域内单调递减，得ab，故选D.方法二：因为0.31，且ba，故选D.【答案】D比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出
9、大小关系三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小 角度二解简单的指数方程或不等式 (1)若2x21，则函数y2x的值域是()A.B.C.D2，)(2)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_【解析】(1)因为2x21242x，则x2142x，即x22x30，所以3x1，所以y2.(2)当a1时，不成立应舍去故a的值为.【答案】(1)B(2)解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论 角度三研究指数型函数的性质 (1)函数f(x)的单调递
10、减区间为_(2)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_【解析】(1)设ux22x1，因为y在R上为减函数，所以函数f(x)的单调递减区间即为函数ux22x1的单调递增区间又ux22x1的单调递增区间为(，1，所以函数f(x)的单调递减区间为(，1(2)令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减而y2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4【答案】(1)(，1(2)(，4求指数型复合函数的单调区间和值域的方法(1)形如yaf(x)(a0，且a1)的函
11、数求值域时，要借助换元法：令uf(x)，先求出uf(x)的值域，再利用yau的单调性求出yaf(x)的值域(2)形如yaf(x)(a0，且a1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：当a1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)D)具有单调性，则函数yaf(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；当0a0且a1)的值域为1，)，则f(4)与f(1)的关系是()Af(4)f(1)Bf(4)f(1)Cf(4)1，所以f(4)a3，f(1)a2，由指数函数的单调性知a3a2，所以f(4)f(1)2若函数f(x)，则f(x)的单调递减区间是()
12、A(，2B2，)C2，)D(，2解析：选B.将原函数看成复合函数f(x)，u|x2|，f(x)是关于u的减函数，u在2，)为增函数，在(，2为减函数，由复合函数的性质知，f(x)的单调递减区间是2，)3定义：区间x1，x2(x1x2)的长度为x2x1.已知函数y2|x|的定义域为a，b，值域为1，2，则区间a，b的长度的最大值与最小值的差为()A.B1C.D2解析：选B.如图是函数y2|x|值域为1，2上的图象，使函数y2|x|的值域为1，2的区间长度最小的区间为1，0，0，1，区间长度最大的区间为1，1，从而由定义可知区间a，b的长度的最大值与最小值的差为211.高考新声音系列2德育为先，立
13、德树人以德育为背景的高考试题道德源于生活，以德育为背景的考题，多以民族精神、理想信念、道德品质、文明行为、社会公德、遵纪守法、心理健康等生活内容为题材，考查学生的数学建模、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养 (2020新高考卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病
14、例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A1.2天B1.8天C2.5天D3.5天【解析】因为R01rT，所以3.2816r，所以r0.38.若则e0.38(t2t1)2，0.38(t2t1)ln 20.69，t2t11.8，选B.【答案】B例题以新冠肺炎为背景设计，情境贴近实际，引导学生关注现实社会，体现了品德教育的素养导向，着重考查学生的理性思维以及使用数学模型解决实际问题的能力 (2019高考全国卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：(Rr).设.由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为()A.RB.RC.RD.R解析：选D.由(Rr)，得M1.因为，所以(1)M1，得.由33，得33，即3，所以rR，故选D.
