1、广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合A=x|0x3且xN的真子集的个数是（）A16B8C7D42（5分）集合，则（）AM=NBMNCMNDMN=3（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A命题“若x23x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C若pq为假命题，则p、q均为假命题D对于命题p：xR，使得x2+x+10则p：xR，均有x2+x+104（5分）下列四个不等式：x+2（x0
2、）；（abc0）；（a，b，m0）；（）2恒成立的个数（）A3B2C1D05（5分）函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n0，则+的最小值为（）A6B8C4D106（5分）设，是两个非零向量，则使=|成立的一个必要非充分条件是（）A=BC=（0）D7（5分）若存在实数x使|xa|+|x1|3成立，则实数a的取值范围是（）A1a3B1a3C2a4D2a48（5分）若x，y满足且z=yx的最小值为4，则k的值为（）A2B2CD二、填空题（5×6=30）9（5分）若不等式|xa|1的解集为x|1x3，则实数a的值为10（5分
3、）执行如图的程序框图，若输出S=7，则输入k（kN*）的值为11（5分）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是12（5分）设为锐角，若cos（）=，则sin（）=13（5分）已知aR，若关于x的方程x22x+|a+1|+|a|=0有实根，则a的取值范围是14（5分）函数y=loga（x2ax+2）在2，+）恒为正，则实数a的范围是三、解答题（12+12+14+14+14+14=80，请书写规范答题过程）15（12分）已知集合A=x|x2+x60，B=x|x26x+50，C=x|m1x2m（）求AB，（RA）B； （）若BC=C，求实数m的取值范围16（12分）（文科）设
4、函数f（x）=x22ax8a2（a0），记不等式f（x）0的解集为A（1）当a=1时，求集合A；（2）若（1，1）A，求实数a的取值范围17（14分）已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0）（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（x）22，求函数g（x）的最小正周期与单调递增区间18（14分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是，乙，丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值（数学期望
5、）19（14分）已知椭圆+=1（a1）的左右焦点为F1，F2，抛物线C：y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），点M在x轴上方，直线F1M与抛物线C相切（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；（2）设A，B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P，QMPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由20（14分）设函数f（x）=ax3（a+b）x2+bx+c，其中a0，b，cR（1）若f（）=0，求f（x）的单调区间；（2）设M表示f（0）与f（1）两个数中的最大值，求证：当0x1时，|f（x
6、）|M广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合A=x|0x3且xN的真子集的个数是（）A16B8C7D4考点：子集与真子集 专题：阅读型分析：由集合A=x|0x3且xN，根据真子集的定义即可得出答案解答：解：集合A=x|0x3且xN=0，1，2，集合A的真子集是：，0，1，2，0，1，0，2，1，2，共有7个，故选C点评：本题考查了集合的子集，属于基础题，关键是掌握真子集的定义2（5分）集合，则（）AM=NBMNCMNDMN=考点：集合
7、的包含关系判断及应用 分析：首先分析M、N的元素，变形其表达式，使分母相同，观察分析其分子间的关系，即可得答案解答：解：对于M的元素，有x=，其分子为的奇数倍；对于N的元素，有x=，其分子为的整数倍；分析易得，MN；故选C点评：本题考查集合的包含关系的判断，注意先化简元素的表达式，进而找其间的关系3（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A命题“若x23x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C若pq为假命题，则p、q均为假命题D对于命题p：xR，使得x2+x+10则p：xR，均有x2+x+10考点：命题的真假判断与应用；四
8、种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：综合题分析：根据四种命题的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断D的真假，进而得到答案解答：解：命题“若x23x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”故A为真命题；“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件故B为真命题；若pq为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：xR，使得x2+x+10则非p：xR，均有x2+x+10，故D为真命题；故选C点评：本
9、题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型4（5分）下列四个不等式：x+2（x0）；（abc0）；（a，b，m0）；（）2恒成立的个数（）A3B2C1D0考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：中当x0时，不等式不成立；利用不等式的性质推断恒成立；取ab时，不等式不成立利用作差法可证明解答：当x0时，x+0，不等式不成立；abc0，故恒成立；假设不等式成立，则不等式等价于ab+bmab+am，等价于bmam，等价于ba，若ab则不等式不成立；（）2=0，（）2恒成立故恒成立的结论是，故选：B点评：本题主要考查了基本不等式的
10、应用考查了学生分析和推理的能力5（5分）函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n0，则+的最小值为（）A6B8C4D10考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用对数函数的性质可得：函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点A（2，1），把点A代入直线mx+ny+1=0，2m+n=1再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出解答：解：函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点A（2，1），把点A代入直线mx+ny+1=0，可得2mn+1=0，化为2m+n=1m，n0，+=（2m+n）=4+4+
11、2=8，当且仅当n=2m=时取等号+的最小值为8故选：B点评：本题考查了对数函数的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题6（5分）设，是两个非零向量，则使=|成立的一个必要非充分条件是（）A=BC=（0）D考点：平面向量数量积的运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：平面向量及应用分析：利用向量的数量积求出两个向量的夹角即可推出结果解答：解：，是两个非零向量，则=|，=|cos=|，cos=1，是两个非零向量，则使=|成立的一个必要非充分条件是故选：D点评：本题考查向量的数量积以及充要条件的判定，基本知识的应用7（5分）若存在实数x使|xa|+|x1|
12、3成立，则实数a的取值范围是（）A1a3B1a3C2a4D2a4考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：利用绝对值三角不等式可得3|xa|+|x1|（xa）（x1）|=|a1|，从而可得实数a的取值范围解答：解：3|xa|+|x1|（xa）（x1）|=|a1|，3a13，解得：2a4故选：D点评：本题考查绝对值不等式的解法，利用绝对值三角不等式得到|a1|3是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题8（5分）若x，y满足且z=yx的最小值为4，则k的值为（）A2B2CD考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：对不等式组中的kxy+20讨论，当k0时，
13、可行域内没有使目标函数z=yx取得最小值的最优解，k0时，若直线kxy+2=0与x轴的交点在x+y2=0与x轴的交点的左边，z=yx的最小值为2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：对不等式组中的kxy+20讨论，可知直线kxy+2=0与x轴的交点在x+y2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kxy+2=0，得x=，B（）由z=yx得y=x+z由图可知，当直线y=x+z过B（）时直线在y轴上的截距最小，即z最小此时，解得：k=故选：D点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形
14、结合的解题思想方法，是中档题二、填空题（5×6=30）9（5分）若不等式|xa|1的解集为x|1x3，则实数a的值为2考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：解绝对值不等式|xa|1，可求得其解为a1xa+1，依题意知，a1=1且a+1=3，从而可得实数a的值解答：解：|xa|1，1xa1，a1xa+1，不等式|xa|1的解集为x|a1xa+1，不等式|xa|1的解集为x|1x3，a1=1且a+1=3，解得：a=2故答案为：2点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的应用，属于中档题10（5分）执行如图的程序框图，若输出S=7，则输入k（k
15、N*）的值为3考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算运行的结果，直到输出S=7时，确定此时的n值，从而确定条件nk的k值解答：解：由程序框图知，程序第一次运行n=1，S=0+211=1；第二次运行n=1+1=2，S=1+21=3；第三次运行n=3，S=1+21+22=7输出S=7，程序运行终止时n=3，又不满足条件nk时输出S，k=3，故答案为：3点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法11（5分）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与
16、距离分析：根据三视图判断得几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，根据正视图可得高为=3，由底面为菱形，求出底面面积代入棱锥的体积公式计算解答：解：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，由正视图可得高为=3，底面为菱形，对角线互相垂直平分，底面面积S=241=4，几何体的体积V=43=4故答案为：4点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断三视图的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键12（5分）设为锐角，若cos（）=，则sin（）=考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的求值分析：根据题意求得sin（+）=，再根据sin（）=sin
17、（+），再利用两角差的正弦公式计算求得结果解答：解：为锐角，cos（）=为正数，+是锐角，sin（+）=，sin（）=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=，故答案为：点评：本题着重考查了两角和与差的正弦公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题13（5分）已知aR，若关于x的方程x22x+|a+1|+|a|=0有实根，则a的取值范围是1，0考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：分a1，1a0，a0三种情况进行分类讨论，由此能求出a的取值范围解答：解：当a1时，x22x+|a+1|+|a|=0等价于：x22x2a1=0，=4+8a+40，解得a1，不成立；当1a0时
18、，x22x+|a+1|+|a|=0等价于：x22x+2a+1=0，=48a40，解得a0，1a0；当a0时，x22x+|a+1|+|a|=0等价于：x22x+2a+1=0，=48a40，解得a0，不成立综上，a的取值范围是1，0故答案为：1，0点评：本题考查a的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质和绝对值意义的合理运用14（5分）函数y=loga（x2ax+2）在2，+）恒为正，则实数a的范围是1a考点：对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得x2ax+10在2，+）恒成立，当a1时，应有 ，或由此求得a的范围当0a1时，由题意可得，对数的真数 x2ax
19、+2在2，+）上的范围为（0，1），由，求得a的范围，综合可得结论解答：解：由函数y=loga（x2ax+2）在2，+）恒为正，可得x2ax+21，即x2ax+10在2，+）恒成立，当a1时，应有 ，或解求得a，解求得1a当0a1时，由题意可得，对数的真数 x2ax+2在2，+）上的范围为（0，1），此时，0，由，求得a综上可得，实数a的范围为（1，）点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题三、解答题（12+12+14+14+14+14=80，请书写规范答题过程）15（12分）已知集合A=x|x2+x60，B=x|x26x+50，C=x|
20、m1x2m（）求AB，（RA）B； （）若BC=C，求实数m的取值范围考点：交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用 专题：集合分析：（）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出A与B的交集，求出A补集与B的并集即可； （）根据B与C的交集为C，得到C为B的子集，分C为空集与不为空集两种情况考虑，求出m的范围即可解答：解：（）A=x|x3或x2，B=x|1x5，AB=x|2x5，RA=x|3x2，则（RA）B=x|3x5； （）BC=C，CB，当C=时，则有m12m，即m1；当C时，则有，解得：2m，综上，m的取值范围是（，1）（2，）点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握
21、各自的定义是解本题的关键16（12分）（文科）设函数f（x）=x22ax8a2（a0），记不等式f（x）0的解集为A（1）当a=1时，求集合A；（2）若（1，1）A，求实数a的取值范围考点：集合的包含关系判断及应用 专题：集合分析：（1）当a=1时，f（x）=x22x8，不等式x22x80，化为（x4）（x+2）0，解出即可（2）由x22ax8a20，可得（x4a）（x+2a）0，由于a0，可得2ax4a，即A=2a，4a由于（1，1）A，可得，解得即可解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x22x8，由不等式x22x80，化为（x4）（x+2）0，解得2x4，集合A=x|2x4（2）x22a
22、x8a20，（x4a）（x+2a）0，又a0，2ax4a，A=2a，4a又（1，1）A，解得，实数a的取值范围是点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题17（14分）已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0）（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（x）22，求函数g（x）的最小正周期与单调递增区间考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：函数的性质及应用分析：（1）根据函数f（x）的图象经过点，可得，由此求得a的值（2）由（1）得，利用三角恒等变换化简g（x）=f（x）
23、22的解析式为，可得函数的最小正周期令2k2x+2k+，kz，求得x的范围，可得函数的增区间解答：解：（1）函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点，即，即，解得（2）由（1）得g（x）=f（x）22=函数的最小正周期为函数y=sinx的单调递增区间为（kZ），令2k2x+2k+，kz，求得 kxk+，函数的单调递增区间为（kZ）点评：本题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力，属于中档题18（14分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是，乙，
24、丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值（数学期望）考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，由已知A1，A2，A3相互独立，由此能求出乙，丙各自能被聘用的概率（2）的可能取值为1，3分别求出P（=1）和P（=3），由此能求出的分布列和数学期望解答：解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，由已知A1，A2，
25、A3相互独立，且满足解得，乙，丙各自能被聘用的概率分别为，（2）的可能取值为1，3=P（A1）P（A2）P（A3）+1P（A1）1P（A2）1P（A3）=P（=1）=1P（=3）=的分布列为13P点评：本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识19（14分）已知椭圆+=1（a1）的左右焦点为F1，F2，抛物线C：y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），点M在x轴上方，直线F1M与抛物线C相切（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；（2）设A，B是抛物线C
26、上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P，QMPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由c2=a2b2即可得到椭圆的焦点，进而得到p即抛物线的方程，设点M的坐标写出方程，与抛物线的方程联立，消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程，由相切得到判别式=0即可求出；（2）设A，B即可表示出kMA，kMB，由MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，可得kMA=kMB进而可证明kAB为定值解答：解：（1）由椭圆方程得半焦距=1椭圆焦点为F1（1
27、，0），F2（1，0）又抛物线C的焦点为，解得p=2抛物线C的方程：y2=4x点M（x1，y1）在抛物线C上，直线F1M的方程为代入抛物线C得，即F1M与抛物线C相切，=0，x1=1M、N的坐标分别为（1，2）、（1，2） （2）直线AB的斜率为定值1证明如下：设A，B则=，同理，MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，kMA=kMB即，化为y1+y2+4=0得y1+y2=4kAB=1所以直线AB的斜率为定值1点评：熟练掌握椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与曲线相交相切问题转化为方程联立得到一元二次方程得根与系数的关系及0、MPQ是以MP、MQ为腰的等腰三角形可得kMA=kMB等设解题的关键
28、20（14分）设函数f（x）=ax3（a+b）x2+bx+c，其中a0，b，cR（1）若f（）=0，求f（x）的单调区间；（2）设M表示f（0）与f（1）两个数中的最大值，求证：当0x1时，|f（x）|M考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（1）由f（）=0，得a=b当a0时，通过求导，利用导数与单调性的关系列出表格即可得出单调区间；（2）对a，b分类讨论，利用二次函数的单调性即可证明解答：解：（1）f（x）=ax3（a+b）x2+bx+c，f（x）=3ax22（a+b）x+b，由f（）=0，得a=b当a=0时，则b=0
29、，f（x）=c不具备单调性当a0时，可得f（x）=ax32ax2+ax+c由f（x）=a（3x24x+1）=0得x1=，x2=1列表：x（，）（，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可得，函数f（x）的单调增区间是（，）及（1，+）单调减区间是，1（2）当a=0时，f（x）=2bx+b， 若b=0，则f（x）=0， 若b0，或b0，f（x）在0，1是单调函数，f（0）=f（1）f（x）f（0），或f（1）=f（0）f（x）f（1）|f（x）|M当a0时，f（x）=3ax22（a+b）x+b=3a（x）2 当1或0时，则f（x）在0，1上是单调函数，f（1）f（x）f（0）或f（0）f（x）f（1），且f（0）+f（1）=a0Mf（x）M 当01，即ab2a，则f（x）M （i） 当ab时，则0a+bf（1）=a20Mf（x）M （ii） 当b2a时，则（b）（b2a）0，即a2+b2ab0b=0，即f（0）Mf（x）M综上所述：当0x1时，|f（x）|M点评：熟练掌握导数与单调性的关系并列出表格、分类讨论的思想方法、二次函数的单调性设解题的关键
