1、易错点23 数列的综合应用一、单选题1. 等比数列an，0a1f(x)g(x)，且f(x)=axg(x)(a0,且a1),f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=103，若数列f(n)g(n)的前n项和大于363，则n的最小值为A. 4B. 5C. 6D. 77. 数列an满足an+1=-an2+an(nN*)，a10,12，则以下说法正确的个数0an+1an；a12+a22+a32+an2b成立an1n+1A. 1B. 2C. 3D. 48. “垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等
2、等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是100-200910n万元，则n的值为A. 7B. 8C. 9D. 10二、填空题9. 已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列，令bn=(-1)n-14nanan+1，则数列bn的前99项和T99=_10. 正项等比数列an满足a1+a3=54，且2a2，12a4，a3成等差数列，则(a1a2)(a2a3)(anan+1)取得最小值时的n值为_11. 定义各项为正数
3、的数列pn的“美数”为，若各项为正数的数列an的“美数”为12n+1，且bn=an+14，则1b1b2+1b2b3+1b2019b2020=_12. 对于数列an，定义An=a1+2a2+2n-1ann为数列an的“好数”，已知某数列an的“好数”An=2n+1，记数列an-kn的前n项和为Sn，若SnS7对任意的nN*恒成立，则实数k的取值范围是_三、解答题13. 已知正项数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足2an=Sn+Sn-1(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)记数列1anan+1的前n项和为Tn，若对任意的nN*，不等式5Tn0，数列bn满足bn=log2an.若b1=4，b
4、2=3()求数列an的通项公式；()设数列bn+m前n项和为Sn，若当且仅当n=5时，Sn取得最大值，求实数m的取值范围已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，且(n+1)an=2Sn(nN*)，数列bn满足b1=12，b2=14，对任意nN*，都有bn+12=bnbn+1(1)求数列an、bn的通项公式；(2)令Tn=a1b1+a2b2+anbn；(i)求证：12Tn2；(ii)若对任意的nN*，不等式nTn+2bnSn2(n+2bn)恒成立，求实数的取值范围一、单选题1. 等比数列an，0a1a4=1使不等式(a1-1a1)+(a2-1a2)+(an-1an)0成立大自然数A. 5B. 6
5、C. 7D. 8【答案】C【解析】解：在等比数列an，0a11，n=4时，an-1an0a7=a4q3=q3=1a1a6=a4q2=q2=1a2，a5=a4q1=q=1a3，(a1-1a1)+(a2-1a2)+(a3-1a3)+(a4-1a4)+(a5-1a5)+(a6-1a6)+(a7-1a7)=0，a2=a1q=1q2，所以n的大值7n7时，(a1-1a1)+(a2-1a2)+(an-1an)0，故选C在等比数列an中，由a11，故n4时，an-1an0.a4=a1q3=1知a1=1q3，故a7=a1q6=q3=1a1，理得a6=a1q5=q2=1a2，a5=a1q4=q=1a3，a4=1
6、=1a4/空/，所以(a1-1a1)+(a2-1a2)+(a3-1a3)+(a4-1a4)+(a5-1a5)+(a6-1a6)+(a7-1a7)0，由此求出n最大值2. 已知等差数列an(公差不为零)和等差数列bn，如果关于x的实系数方程9x2-(a1+a2+a9)x+b1+b2+b9=0有实数解，那么以下九个方程x2-aix+bi=0(i=1,2，3，9)中，无实数解的方程最多有A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B【解析】解：设等差数列an(公差d1不为零)和等差数列bn的公差为d2，则关于x的方程9x2-(a1+a2+a9)x+b1+b2+b9=0有解，则(a1+a2+a9)
7、2-49(b1+b2+b9)0，即有(9(a1+a9)2)2-36(9(b1+b9)2)20，即有a524b5，则第5个方程有解，若d2=0，则若d10，则a9a8a7a6a5，即有5个方程有解，最多4个方程无解，若d1a2a3a4a5，即有5个方程有解，最多4个方程无解故选：B3. 设等差数列an满足sin2a4cos2a7-sin2a7cos2a4sin(a5+a6)=1，公差d(-1,0)，当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，求该数列首项a1的取值范围A. (43,32)B. 43,32C. 76,43D. (76,43)【答案】A【解析】解：等差数列an满足sin2a4
8、cos2a7-sin2a7cos2a4sina5+a6=1，(sina4cosa7-sina7cosa4)(sina4cosa7+sina7cosa4)=sin(a5+a6)=(sina5cosa6+sina6cosa5)，sin(a4-a7)sin(a4+a7)=sin(a5+a6)=sin(a4+a7)，即sin(a4-a7)=1或sin(a4+a7)=0，sin(3d)=-1，d(-1,0)，3d(-3,0)，则3d=-2，d=-6，Sn=na1+nn-12d=-12n2+a1+12n，对称轴方程为n=6a1+12，由题意当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，1726a1+
9、12192，解得43a1f(x)g(x)，且f(x)=axg(x)(a0,且a1),f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=103，若数列f(n)g(n)的前n项和大于363，则n的最小值为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】解：f(x)=axg(x)(a0且a1)，f(x)g(x)=ax，又f(x)g(x)f(x)g(x)，(f(x)g(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)g2(x)0，f(x)g(x)=ax是增函数，a1，f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=103a+a-1=103，解得a=13或a=3，综上得a=3数列f(n)g(n)为3n.数列f(n)g(n)的前
10、n项和大于363，3+32+33+3n=3(1-3n)1-3=12(3n+1-3)363，即3n+1729，n+16，解得n5n的最小值为6故选C7. 数列an满足an+1=-an2+an(nN*)，a10,12，则以下说法正确的个数0an+1an；a12+a22+a32+an2b成立an0，nN*所以an0，nN*又an+1-an=-an20故正确；对于：a12+a22+a32+an2=a1-a2+a2-a3+an-an+1=a1-an+11所以11-a1+11-a2+11-a3+11-amm所以对任意正数b，取正整数mb时，11-a1+11-a2+11-a3+11-ammb故正确;对于：当
11、n=1时，显然成立；假设当n=k(k1)时，ak1k+1成立又ak+1=-ak2+ak=-ak-122+14因为ak1k+112，所以ak+1-1k+12+1k+1=kk+121k+2所以当n=k+1时也成立故而an2且a7-7k0,a8-8k0，由a7-7k=16-7k0a8-8k=18-8k0，解得94k167故答案为94,167三、解答题13. 已知正项数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足2an=Sn+Sn-1(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)记数列1anan+1的前n项和为Tn，若对任意的nN*，不等式5Tna2-a恒成立，求实数a的取值范围【答案】解：(1)当n2时，2a
12、n=Sn+Sn-1，2(Sn-Sn-1)=Sn+Sn-1，即Sn-Sn-1=12，所以数列Sn是首项为1，公差为12的等差数列，故Sn=n+12，又由an=12(Sn+Sn-1)=12(n+12+n2)=2n+14(n2)，所以an=2n+14,n21,n=1. (2)n=1时,T1=45，当n2时，1anan+1=12n+142n+34=8(12n+1-12n+3)，Tn=45+8(15-17+17-19+12n+1-12n+3)=125-82n+3125，又因为T1125，则由5Tn0，数列bn满足bn=log2an.若b1=4，b2=3()求数列an的通项公式；()设数列bn+m前n项和
13、为Sn，若当且仅当n=5时，Sn取得最大值，求实数m的取值范围【答案】解：()由题意，设等比数列an的公比为q，则b1=log2a1=4，即a1=24=16b2=log2a2=3，即a2=23=8q=a2a1=816=12数列an的通项公式为an=16(12)n-1=25-n，nN*()由()知，bn=log225-n=5-n故bn+m=5-n+m数列bn+m是等差数列当且仅当n=5时，数列bn+m的前n项和Sn取得最大值，b5+m0b6+m05-6+m0解得0m1实数m的取值范围是(0,1)16. 已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，且(n+1)an=2Sn(nN*)，数列bn满足b1=
14、12，b2=14，对任意nN*，都有bn+12=bnbn+1(1)求数列an、bn的通项公式；(2)令Tn=a1b1+a2b2+anbn；(i)求证：12Tn2；(ii)若对任意的nN*，不等式nTn+2bnSn2(n+2bn)恒成立，求实数的取值范围【答案】解：(1)(n+1)an=2Sn，Sn=(n+1)an2，nN*，当n2时，an=Sn-Sn-1=(n+1)an2-nan-12，nan-1=(n-1)an，即anan-1=nn-1(n2)，an=anan-1an-1an-2a3a2a2a1a1=nn-1n-1n-2n-2n-332211=n(n2)又a1=1，也满足上式，故数列an的通
15、项公式an=n，(nN*)，由bn+12=bnbn+2，且b10，b1=12，b2=14，可知：数列bn是等比数列，其首项、公比均为12，数列bn的通项公式：bn=(12)n，综上所述：an=n，bn=(12)n(2)anbn=n(12)n，Tn=12+2(12)2+3(12)3+n(12)n，12Tn=(12)2+2(12)3+(n-1)(12)n+n(12)n+1Tn-12Tn=12+(12)2+(12)n-n(12)n+112Tn=12(1-12n)1-12-n(12)n+1，Tn=2-n+22n0，数列Tn为单调递增数列，所以n=1时，Tn取得最小值12，即Tn12，综上所述：12Tn2(ii)由(1)知：Sn=n(n+1)2，由(2)知：Tn=2-n+22n，不等式nTn+2bnSn2(n+2bn)恒成立，即n(2-n+22n)+n(n+1)2n2(n+22n)，即(1-)n2+(1-2)n-40，(nN*)恒成立设f(n)=(1-)n2+(1-2)n-4，(nN*)，当=1时，f(n)=-n-40恒成立，则=1满足条件；当1时，由于对称轴x=-1-22(1-)0，则f(n)在1,+)上单调递减，f(n)f(1)=-3-21满足条件综上所述，实数的取值范围是1,+)
