1、班级：_姓名：_等第：_第九节空间向量的应用(2)一、填空题1. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有动点E，则AC与BE所成的角为_2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，F是BC的中点，点E在D1C1上，且D1ED1C1，则直线EF与平面D1AC所成角的正弦值为_ (第1题)(第2题)3. 如图，在空间四边形ABCD中，AB2，BC3，BD2，CD3，ABD30，ABC60，则AB与CD的夹角的余弦值为_4. 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_ (第3题) (第4题)5. 已知四
2、棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，PAADDC1，AB2，M是PB的中点，则平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值是_6. 如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，当CP_时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60. (第5题) (第6题)7. 在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为_8. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EBFB1，则二面角CDEC1的正切值为
3、_二、解答题9. (2010北京海淀区上学期期末调研)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点(1)求证：DE平面PFB；(2)已知二面角PBFC的余弦值为，求四棱锥PABCD的体积. 10. (2010南通市高三第三次调研测试)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且ABACA1B2.(1)求棱AA1与BC所成的角的大小；(2)在棱B1C1上确定一点P，使AP，并求出二面角PABA1的平面角的余弦值11. (2011如东中学高三期中试题)将图1中的直角梯形ABEF(图中数字表示对应线段
4、的长度)沿直线CD折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示(1)求异面直线BD与EF所成角的大小；(2)求二面角DBFE的大小12. (2010泰州第二学期期末考试)已知在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱CC1的中点，Q为正方形ABB1A1的中心，点M，N分别在直线AD和A1B1上(1)若M，N分别为棱AD，A1B1的中点，求直线MN与PQ所成角的余弦值；(2)若直线MN与直线PQ垂直相交，求此时线段MN的长；(3)在(2)的条件下，求直线PQ与MN所确定的平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值答案1. 90解析：如图，以C为坐标原点，CD，CB，CC1所
5、在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(a,1a,1)，(1，1,0)，(a，a,1)，所以cos，0，90，所以异面直线AC与BE所成的角为90.2. 解析：设正方体棱长为1，以，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系的Dxyz，则各点的坐标分别为B1(1,1,1)，E，F，所以(1,1,1)，.又为平面D1AC的法向量，cos，所以直线EF与平面D1AC所成角的正弦值为.3. 解析：，|cos，B|cos，22cos 15023cos 120633，cos，AB与CD的夹角的余弦值为.4. 90解析：不妨设棱长为2，则，c
6、os，0，90.5. 解析：如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M.平面AMC的法向量n1(1，1,2)，可求得平面BMC的法向量为n2(1,1,2)，cosn1，n2，故所求余弦值为.6. 解析：设CPm，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0), B1(1,1,2)，D1(0,0,2)，所以(1，1,0)，(0,0,2)，(1,1，m)，(1,1,0)又由0，0，知为平面BDD1B1的一个法向量
7、设AP与平面BDD1B1所成的角为，则sin ，解得m.7. 解析：取AC中点的E，连结BE，则BEAC，如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A，D(0,0,1)，则.平面ABC平面AA1C1C，BEAC，BE平面AA1C1C，为平面AA1C1C的一个法向量，cos，设AD与平面AA1C1C所成的角为，sin |cosA，|.8. 解析：如图，以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，(3，3,0)，(1,3,2)，(4,2,2)设向量n(x，y，z)与平面C1D
8、E垂直，则xyz.n(1，1,2)，其中z0.取n0(1，1,2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量向量(0,0,2)与平面CDE垂直，n0与所成的角为二面角CDEC1的平面角cos ，tan .9. (1)证明：因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，所以BE綊FD，所以四边形BEDF为平行四边形，得EDFB，又因为FB平面PFB，且ED平面PFB，所以DE平面PFB.(2)如图，以D为原点，射线DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系设PDa，可得如下点的坐标：P(0,0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，则有(1,0，a)，(1,2,0)因为
9、PD底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m(0,0,1)设平面PFB的一个法向量为n(x，y，z)，则可得即令x1，得z，y，所以n.由已知，二面角PBFC的余弦值为，由cosm，n，解得a2.因为PD是四棱锥PABCD的高，所以，其体积为VPABCD24.10. (1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则C(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,2,2)，B1(0,4,2)，(0,2,2)，(2，2,0)，cos，故AA1与BC所成的角是.(2)设(2，2，0)，则P(2，42，2)于是AP( 舍去)，则P为棱B1C1的中点，其坐标为P(1,3,2)设平面PAB的法向量
10、为n1(x，y，z)，则故n1(2,0,1)而平面ABA1的法向量是n2(1,0,0)，则cosn1，n2，故二面角PABA1的平面角的余弦值是.11. 由题意，知平面ABCD平面DCEF，ABCD为正方形，DCEF为直角梯形，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DF所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，E(0,1,1)，F(0,0,2)(1)(1,1,0)，(0，1,1)，cos，异面直线BD与EF所成的角为.(2)ACBD，ACDF，AC平面BDF，所以取平面BDF的法向量为(1,1,0)，又设平面BEF的法向量为
11、n(x，y，z)，则由取z1，平面BEF的法向量为n(1,1,1)，cos，n0.所以二面角DBFE的大小为90.12. (1)以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,2,1)，Q(2,1,1)，M(1,0,0)，N(2,1，2)，(2，1，0)，(1,1,2)设与所成的角为，则cos ，直线MN与PQ所成角的余弦值为.(2)设点M(m,0,0)，N(2，n,2)，则(2m，n,2)，(2，n2,1)，(m，2，1)，0，即(2m)2n(1)200，2mn4.设直线PQ与直线PN确定平面，其法向量n1(x1，y1，z1)，则有直线PQ与MN所确定的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
