1、考点突破练20利用导数研究函数的零点问题1.(2022江苏苏锡常镇二模)设函数f(x)=aex+sin x-3x-2,e为自然对数的底数,aR.(1)若a0,求证:函数f(x)有唯一的零点;(2)若函数f(x)有唯一的零点,求a的取值范围.2.(2022山东日照三模)已知函数f(x)=(x-2)ex-ax+aln x(aR).(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当ae时,讨论f(x)的零点个数.3.(2022全国乙文20)已知函数f(x)=ax-1x-(a+1)ln x.(1)当a=0时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.4.(2022贵州贵阳模
2、拟)已知函数f(x)=ax3-3x2+a+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有三个零点时a的取值范围恰好是(-3,-2)(-2,0)(0,1),求b的值.5.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围.考点突破练20利用导数研究函数的零点问题1.(1)证明 当a0时,f(x)=aex+cos x-30恒成立,所以f(x)单调递减,又f(0)=a-2aea3-1-3a3-1-3=aea3-1-a0,所以存在唯一的x0a3-1,0,使得f(x0)=0,命题得证.(2)
3、解 由(1)知,a0符合题意.()当a=2时,由f(x)=2ex+sin x-3x-2,得f(x)=2ex+cos x-3.当x0时,f(x)2ex-20时,设h(x)=f(x),则h(x)=2ex-sin x2ex-10,所以f(x)在(0,+)上单调递增,从而,当x0时,f(x)f(0)=0,所以f(x)单调递增,于是f(x)f(0)=0,当且仅当x=0时取等号,故此时f(x)有唯一的零点x=0.()当a2时,f(x)2ex+sin x-3x-20,此时f(x)无零点;()当0ax22.设g(x)=ex-x22,x0,则g(x)=ex-x,设p(x)=g(x),则p(x)=ex-10,所以
4、g(x)在0,+)上单调递增,故g(x)g(0)=10,所以g(x)在0,+)上单调递增,因此g(x)g(0)=10,即当x0时,exx22.当x0时,f(x)aex-3x-3a2x2-3x-3,令a2x2-3x-3=0,得x=39+6aa.取x0=3+9+6aa0,则f(x0)0.又f(0)=a-20,因此,当0a0恒成立,所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,即f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+).(2)由题意,函数f(x)=(x-2)ex-ax+aln x=(x-2)ex-a(x-ln x),x0,设m(x)=x-ln x,x0,则m(x)=1-1x
5、=x-1x,当x(0,1)时,m(x)0,m(x)单调递增,又由m(1)=1,所以m(x)1,令f(x)=0,可得(x-2)ex-ax+aln x=0,所以a=(x-2)exx-lnx,其中x0,令g(x)=(x-2)exx-lnx,可得g(x)=ex(x-1)(x-lnx)2x-ln x+2x-1,令h(x)=x-ln x+2x-1,则h(x)=1-1x-2x2=x2-x-2x2=(x-2)(x+1)x2(x0),可得0x2时,h(x)2时,h(x)0,h(x)单调递增;所以h(x)min=h(2)=2-ln 20,即x0时,h(x)0恒成立;故0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)单
6、调递增;所以g(x)min=g(1)=-e又由x0时,g(x)0,当x+时,g(x)+,画出函数g(x)的图象如右图所示,结合图象可得,当a-e时,无零点;当a=-e或0ae时,一个零点;当-ea0,函数f(x)单调递增;当x(1,+)时,f(x)0,函数f(x)单调递减.因此,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=-1.(2)函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=a+1x2-a+1x=ax2-(a+1)x+1x2=(ax-1)(x-1)x2.由(1)知,当a=0时,f(x)max=-10,故f(x)无零点.当a0时,ax-10,f(x)f(1)=a-10时,f(x)=ax2x-1a(x
7、-1).当0a1.f(x),f(x)的变化情况如下表所示.x(0,1)11,1a1a1a,+f(x)+0-0+f(x)单调递增a-1单调递减1-a+(a+1)ln a单调递增x0,1a,f(x)f(1)=a-11时,01a0.又当x0时,f(x)-,f(x)恰有一个零点.综上,若f(x)恰有一个零点,则a的取值范围为(0,+).4.解 (1)f(x)的定义域为R,f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),若a=0,则f(x)0-6x0x0,f(x)0,f(x)在(-,0)内单调递增,在(0,+)内单调递减,若a0,则f(x)0x2a,f(x)00x2a,f(x)在(-,0)内单调递增,在0,
8、2a内单调递减,在2a,+内单调递增,若a02ax0,f(x)0x0,f(x)在-,2a内单调递减,在2a,0内单调递增,在(0,+)内单调递减.(2)可知f(x)要有三个零点,则a0,且f(0)f2a0,由题意,即f(0)f2a0的解集就是(-3,-2)(-2,0)(0,1),也就是关于a的不等式(a+b)a+b-4a20(a+b)(a3+ba2-4)a20的解集就是(-3,-2)(-2,0)(0,1),令h(a)=(a+b)(a3+ba2-4)a2,h(1)=(b+1)(1+b-4)=(b+1)(b-3)=0,所以有b=-1或b=3,当b=3时,h(a)=(a+3)(a3+3a2-4)a2
9、0(a+3)(a3-a2+4a2-4)a20,(a+3)(a-1)(a2+4a+4)a20的解是(-3,-2)(-2,0)(0,1),满足条件,当b=-1时,h(a)=(a-1)(a3-a2-4)a20,不满足条件,故b-1,综合上述b=3.5.解 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b,切线斜率k=f(0)=b,又f(0)=c,所以切点坐标为(0,c),所以所求切线方程为y-c=b(x-0),即bx-y+c=0.(2)由a=b=4得f(x)=x3+4x2+4x+c,f(x)=3x2+8x+4=(3x+2)(x+2).令f(x)=0,得(3x+2)(x+2)=0,解得x=-2或x=-23,f(x),f(x)随x的变化情况如下:x(-,-2)-2-2,-23-23-23,+f(x)+0-0+f(x)cc-3227所以当c0且c-32270时,存在x1(-,-2),x2-2,-23,x3-23,+,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0,故由f(x)的单调性知,
