1、专题检测六函数与导数一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022山东济宁一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),则f(2 022)=()A.0B.1C.-1D.2 0222.(2022浙江7)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=()A.25B.5C.259D.533.(2022四川泸州诊断测试)函数f(x)=0,x=0,x-sinxln|x|,x0的部分图象大致为()4.(2022河北石家庄二中模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f(2)ex-2-f(0)x+12x2,则f(x)的单调递减区间
2、为()A.(-,0)B.(1,+)C.(-,1)D.(0,+)5.(2022广东惠州一模)5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog21+SN,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN叫做信噪比.当信噪比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计,按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比SN从1 000提升至5 000,则C大约增加了()(附:lg 20.301 0)A.20%B.23%C.28%D.50%6.(2022四川凉山三模)函数f(x)=a2x2-sin x,若f(x)在0,2上有最小值,
3、则实数a的取值范围是()A.(0,+)B.(0,1)C.(-,0)D.(-1,0)7.(2022广东韶关二模)已知直线l:y=kx(k0)既是函数f(x)=x2+1的图象的切线,同时也是函数g(x)=pxx+1+ln x(pR)的图象的切线,则函数g(x)零点个数为()A.0B.1C.0或1D.1或28.(2022全国甲理12)已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,则()A.cbaB.bacC.abcD.acb9.(2022江苏盐城模拟)函数f(x)=12ax2-(a+2)x+2ln x在定义域上单调递增的充要条件为()A.a2B.a=2C.a0),若函数y=g(x+1)为奇函数
4、,则的值可以为()A.4B.2C.D.3411.(2022广东佛山三模)已知0ba1,则下列不等式成立的是()A.logablogbaB.logab1C.aln bbln b12.(2022广东茂名模拟)设函数f(x)=x-ln|x|x,则下列选项中错误的是()A.f(x)为奇函数B.函数y=f(x)-1有两个零点C.函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D.过原点与函数f(x)的图象相切的直线有且只有一条二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021新高考14)写出一个同时具有下列性质的函数f(x):.f(x1x2)=f(x1)f(x2);当x(0,+)时,
5、f(x)0;f(x)是奇函数.14.(2022山东烟台一模)已知f(x)为R上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,当-1x0时,f(x)=2x,则f(2+log25)的值为.15.(2022北京14)设函数f(x)=-ax+1,x0,则实数m的取值范围是.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=log32-axx-2(aR)的图象关于原点对称.(1)求a的值;(2)当x3,5时,f(x)21a+1.专题检测六函数与导数1.A解析: 因为f(x-2)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2
6、)=f(x),所以f(x)的周期为4.又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(2)=-f(0)=0,f(2 022)=f(5054+2)=f(2)=0.2.C解析: 由log83=b,得8b=3,即23b=3,则2a-3b=2a23b=53,所以4a-3b=259,故选C.3.D解析: 当x0时,f(-x)=-x-sin(-x)ln|-x|=-x+sinxlnx=-f(x),f(0)=0,所以f(x)是奇函数,排除A,B;易知当x=1时,为临界点.又6-sin 6=6-120,ln60,故f60,排除C.故选D.4.A解析: 由题设f(x)=f(2)ex-2-f(0)+x
7、,则f(2)=f(2)-f(0)+2,可得f(0)=2,而f(0)=f(2)e-2=2,则f(2)=2e2,所以f(x)=2ex-2x+12x2,即f(x)=2ex-2+x,则f(0)=0且f(x)单调递增,当x0时f(x)0,即f(x)单调递减,故f(x)的单调递减区间为(-,0).5.B解析: 将信噪比SN从1 000提升至5 000时,C大约增加了Wlog2(1+5 000)-Wlog2(1+1 000)Wlog2(1+1 000)=log25 001-log21 001log21 001lg5 000lg2-lg1 000lg2lg1 000lg2=lg53=1-lg230.23=23
8、%.6.A解析: 由题意,函数f(x)=a2x2-sin x,可得f(x)=ax-cos x,若a0时,当x0,2时,可得f(x)0时,令f(x)=0,即ax-cos x=0,即y=ax与y=cos x的图象的交点的横坐标,画出函数y=ax与y=cos x的示意图象,如图所示,结合图象,可得存在x00,2,使得f(x0)=0,当x(0,x0)时,f(x)0,f(x)单调递增,此时函数f(x)在0,2上有最小值,符合题意,综上可得,实数a的取值范围是(0,+).7.B解析: 设A(x1,x12+1)是函数f(x)=x2+1图象的切点,则k=f(x1)=2x1,x1=k2,又x12+1=kx1,将
9、代入消去x1整理得k2=4,k=2(k=-2舍去),设Bx2,px21+x2+ln x2是函数g(x)=pxx+1+ln x的切点,据题意g(x2)=p(1+x2)2+1x2=2,又px21+x2+ln x2=2x2,故2x22-x2+ln x2-1=0,令h(x)=2x2-x+ln x-1(x0),h(x)=4x-1+1x24x1x-1=30,当且仅当x=12时取等号,故h(x)=2x2-x+ln x-1(x0)在定义域上为增函数,又h(1)=0,故x2=1,故g(1)=1+p4=2,p=4,g(x)=4xx+1+ln x=ln x-4x+1+4在(0,+)上是增函数,当x=1e2时,g1e
10、20;由零点存在定理可得,g(x)存在唯一一个x01e2,1,使g(x0)=0,故函数零点个数是1.8.A解析: 因为a=3132=1-132,构造函数h(x)=1-12x2-cos x,x0,2,则g(x)=h(x)=-x+sin x,g(x)=-1+cos x0,所以g(x)在0,2上单调递减,g(x)g(0)=0,即h(x)0,则h(x)在0,2上单调递减,所以h14=a-bh(0)=0,即ax,所以cb1,即bba.故选A.9.B解析: 由函数f(x)=12ax2-(a+2)x+2ln x在区间(0,+)上单调递增,则f(x)=ax-(a+2)+2x=ax2-(a+2)x+2x0在区间
11、(0,+)上恒成立,即ax2-(a+2)x+20在区间(0,+)上恒成立,当a=0时,-2x+20x1,不满足题意;当a0时,ax2-(a+2)x+2=ax-2a(x-1)0,又2a0时,ax2-(a+2)x+2=ax-2a(x-1)0,又2a0,ax2-(a+2)x+20在区间(0,+)恒成立,则=(a+2)2-8a=(a-2)20a=2,综上,函数f(x)=12ax2-(a+2)x+2ln x单调递增的充要条件为a=2.10.B解析: 因为f(1+x)+f(1-x)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,要使g(x+1)=f(x+1)sin(x+1)为奇函数,因为f(x+1)关于点(
12、0,0)对称,为奇函数,所以只需使y=sin(x+1)=sin(x+)为偶函数即可,所以=2+k,kZ,故符合题意的为B.11.C解析: 选项A:logab-logba=lgblga-lgalgb=lg2b-lg2algalgb=(lgb-lga)(lgb+lga)lgalgb,由0ba1,可得lg blg a0,lg b-lg a0,lg b+lg a0,则logablogba,故A错误;选项B:由0a1,可得y=logax为(0,+)上的减函数,又0blogaa=1,故B错误;选项C:由0a1,可知y=ax为R上的减函数,又baa,由a0,可知y=xa在(0,+)上单调递增,又ba,则ba
13、ba,又y=ln x为(0,+)上的增函数,则ln abln ba,则aln bbln a,故C正确;选项D:令a=1e,b=1e2,则0ba1,aln a=1eln1e=-1e,bln b=1e2ln1e2=-2e2,则aln a-bln b=-1e+2e2=2-ee20,即aln a0时,f(x)=1-lnxx,f(x)=lnx-1x2,则f(t)=1-lntt,f(t)=lnt-1t2,故过点(t,f(t)的切线方程为y-1-lntt=lnt-1t2(x-t),将(0,0)代入上式得0-1-lntt=lnt-1t2(0-t),整理得2ln t-t-1=0,构造函数h(t)=2ln t-t
14、-1(t0),h(t)=2t-1=2-tt,h(t)在(0,2)上,h(t)0,h(t)单调递增;在(2,+)上,h(t)0,h(t)单调递减.h(2)=2ln 2-3=ln 4-ln e30,所以h(t)0时,不存在过原点的切线.当x0时,f(x)=x-ln(-x)x=1-ln(-x)x,f(x)=-1-ln(-x)x2=ln(-x)-1x2,同理,设f(x)图象上一点(t,f(t),则f(t)=1-ln(-t)t,f(t)=ln(-t)-1t2,故过点(t,f(t)的切线方程为y-1-ln(-t)t=ln(-t)-1t2(x-t),将(0,0)代入上式得0-1-ln(-t)t=ln(-t)
15、-1t2(0-t),整理得2ln(-t)-1-t=0,构造函数m(t)=2ln(-t)-1-t(t0),m(t)=2t-1=2-tt0,所以m(t)在(-,0)上单调递减,m(-1)=2ln 1-1-(-1)=0,所以m(t)有唯一零点t=-1,也即当x0,且f(x)为奇函数,满足.14.-45解析: 由题设,f(2-x)=-f(x)=f(-x),故f(2+x)=f(x),即f(x)的周期为2,所以f(2+log25)=f22+log254=flog254=-flog245,且-1log2450,所以f(2+log25)=-2log245=-45.15.0(第一空答案不唯一)1解析: 根据题意
16、可以用0,2为a的取值的分界点,研究函数f(x)的性质.当a0时,f(x)=-ax+1,xa,该函数的值域为(-,-a2+1),故整个函数没有最小值;当a=0时,f(x)=-ax+1,xa,该函数的值域为1,而函数f(x)=(x-2)2,xa的值域为0,+),即存在最小值为0,故a的一个取值可以为0;当0a2时,f(x)=-ax+1,xa,该段函数的值域为(-a2+1,+),而函数f(x)=(x-2)2,xa的值域为0,+),若存在最小值,则需满足-a2+10,于是结合0a2可得02时,f(x)=-ax+1,x0恒成立,x1+x2=4m-23,x1x2=-2m3,f(x1)+f(x2)=x13
17、+(1-2m)x12-2mx1+x23+(1-2m)x22-2mx2=x13+x23+(1-2m)(x12+x22)-2m(x1+x2)=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)+(1-2m)(x1+x2)2-2x1x2-2m(x1+x2)=(x1+x2)(x1+x2)2-3x1x2+(1-2m)(x1+x2)2-2x1x2-2m(x1+x2)=4m-234m-232+2m+(1-2m)4m-232+4m3-2m4m-23=-427(2m-1)(4m2+5m+1),因为f(x1)+f(x2)0,所以(2m-1)(4m2+5m+1)0,4m2+5m+10或2m-10,解得m-1或-14m12,
18、所以实数m的取值范围是(-,-1)-14,12.17.解 (1)函数f(x)=log32-axx-2的图象关于原点对称,则函数f(x)=log32-axx-2为奇函数,有f(-x)=-f(x),即log32+ax-x-2=-log32-axx-2,即log32+ax-x-22-axx-2=0,即4-a2x24-x2=1,解得a=1,当a=1时,不满足题意,a=-1.(2)由f(x)log3(x+2k),得log32+xx-2x+2x-2-x恒成立,令g(x)=x+2x-2-x=1+4x-2-x,易知g(x)在x3,5上单调递减,则g(x)的最大值为g(3)=2.又当x3,5时,f(x)x+2x
19、-2-x在x3,5恒成立,且x+2k0,2k2,k1,即实数k的取值范围为(1,+).18.解 (1)函数f(x)=x3-3x2+a的定义域为R,f(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f(x)=0,可得x=0或x=2,列表如下:x(-,0)0(0,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)增a减a-4增故函数f(x)的极大值为f(0)=a,极小值为f(2)=a-4.(2)对于x11,3,x21e,e,都有f(x1)g(x2),则f(x1)ming(x2)max.由(1)可知,函数f(x)在1,2)上单调递减,在(2,3上单调递增,故当x1,3时,f(x)min=f(2)=a-4,因为g(x
20、)=xln x,且x1e,e,则g(x)=1+ln x0且g(x)不恒为零,故函数g(x)在1e,e上单调递增,故g(x)max=g(e)=e,由题意可得a-4e,故ae+4,故a的取值范围是e+4,+).19.解 (1)因为AB为半圆弧的直径,则ACB=90,则BC=AB2-AC2=100-x2,由题意可得x0,100-x20,可得0x10,所以y=2x+m100-x2,其中0x10,当点C在AB的中点时,x=52,此时y=52(2+m)=302,解得m=4,因此y=2x+4100-x2,其中0x10.(2)因为y=2x+4100-x2,其中0x10,则y=2-4x100-x2=2(100-
21、x2-2x)100-x2,因为函数f(x)=100-x2-2x在(0,10)上单调递减,由f(x)=0可得x=25(负值舍去),当0x0,此时函数y=2x+4100-x2单调递增,当25x10时,y=2(100-x2-2x)100-x20,此时函数y=2x+4100-x2单调递减,故当x=25时,函数y=2x+4100-x2取最大值,即ymax=205.20.解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f(x)=ex-1.当x0时,f(x)0时,f(x)0.所以f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)f(x)=ex-a.当a0时,f(x)0,所以f(x)在(-,+)单调递
22、增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a0时,由f(x)=0可得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).若01e,则f(ln a)0,所以f(x)在(-,ln a)存在唯一零点.由(1)知,当x2时,ex-x-20,所以当x4且x2ln(2a)时,f(x)=ex2ex2-a(x+2)eln(2a)x2+2-a(x+2)=2a0.故f(x)在(ln a,+)存在唯一零点.从而f(x)在(-,+)有两个零点.综上,a的取值范围是1
23、e,+.21.解 (1)f(x)=3x2-1,f(-1)=2.当x1=-1时,f(-1)=0,故y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2x+2.又y=2x+2与y=g(x)相切,将直线y=2x+2代入g(x)=x2+a,得x2-2x+a-2=0.由=4-4(a-2)=0,得a=3.(2)f(x)=3x2-1,f(x1)=3x12-1,则曲线y=f(x)在点x1,fx1处的切线为y-x13-x1=3x12-1x-x1,整理可得y=3x12-1x-2x13.由g(x)=x2+a,得g(x)=2x.设曲线y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线为y-(x22+a)=2x2(x-x2),整理
24、得y=2x2x-x22+a.由题可得3x12-1=2x2,-2x13=a-x22,a=x22-2x13=149x14-8x13-6x12+1.令hx1=9x14-8x13-6x12+1,则h(x1)=36x13-24x12-12x1=12x1(x1-1)(3x1+1).当x1-13或0x11时,hx10,此时函数y=hx1单调递减;当-13x11时,hx10,此时函数y=hx1单调递增.则h-13=2027,h(0)=1,h(1)=-4,hx1min=h(1)=-4,a-44=-1,即a的取值范围为-1,+).22.解 (1)f(x)定义域为(0,+),f(x)=2x-2(a+1)x-2a=-
25、2(x+1)(a+1)x-1x,当a-1时,有f(x)0恒成立,所以(0,+)是函数f(x)的单调递增区间,无递减区间;当a-1时,由f(x)0,解得x0,1a+1,由f(x)-1时,函数f(x)的单调递增区间是0,1a+1,单调递减区间是1a+1,+.(2)(i)由(1)知:当a-1时,f(x)在(0,+)上单调递增,函数f(x)不可能有两个零点;当a-1时,因为f(x)在0,1a+1上单调递增,在1a+1,+上单调递减,且当x0+时,f(x)-,当x+时,f(x)-,因此要使函数f(x)有两个零点,只需f1a+10,即2ln1a+1-(a+1)1a+12-2a1a+1+10,化简得2ln(
26、a+1)+aa+1-1,因为g(x)=2x+1+1(x+1)20,所以函数g(x)在(-1,+)上是单调递增函数.又g(0)=0,故不等式2ln(a+1)+aa+10的解为a(-1,0),因此实数a的取值范围是(-1,0).(ii)因为-1a1,2a+121a+1,下面先证明x1+x22a+1,根据()的结果,不妨设0x11a+12a+1-x2,因为f(x)在0,1a+1时单调递增,且x10,1a+1,2a+1-x20,1a+1,于是只需证明f(x1)f2a+1-x2,因为f(x1)=f(x2),所以即证f(x2)-f2a+1-x20,记F(x)=f(x)-f2a+1-x,x1a+1,+,F(x)=f(x)+f2a+1-x=4(a+1)x2a+1-x-4(a+1)4(a+1)1a+12-4(a+1)=0,所以F(x)在1a+1,+上单调递增,且F(x)0,
